《电磁场理论》全册配套课件

《电磁场理论》全册配套课件电磁场理论小班授课第一讲电磁场的基本规律

电子科技大学3电荷：电荷的分布形式：体分布；面分布；线分布；点电荷。——定义、单位、与总电荷的关系。电流电流的分布形式：体分布；面分布；线分布。——定义、单位、与总电荷的关系。电荷与电流的关系——电流连续性方程。源——电荷、电流4一、库仑定律

E实验定律与位移电流假设1、表示式、表示式中各个字母的意义。2、条件3、不满足条件时5实验定律与位移电流假设非点电荷分布：体电荷、面电荷、线电荷的电场。非静态——法拉第电磁感应定律？？6二、安培力定律

B实验定律与位移电流假设1、表示式、表示式中各个字母的意义。2、条件3、不满足条件时7实验定律与位移电流假设非线电流分布：体电流、面电流、磁场。电流元非静态——位移电流假设？真空中的位移电流？8非真空——媒质的电磁特性

极化、磁化、传导

将媒质对电磁场的影响等效为电荷、电流。从而使讨论区域变为真空。9磁化：分子模型、磁化强度

、磁化体电流、磁化面电流。

极化：分子模型、极化强度

、极化体电荷、极化面电荷、极化电流。

？传导：传导电流

？10？定义：介质中的位移电流11麦克斯韦方程微分形式积分形式散度定理斯托克兹定理？12关于麦克斯韦方程组1、物理意义。2、电荷守恒定律可由麦克斯韦方程组导出。3、方程组中的独立方程数是否等于未知量数。咋办？13本构关系具体形式与媒质性质有关，一般情况比较复杂在场不强或线性各向同性媒质中。实验表明？！用处多多14本构关系媒质的分类1、均匀与非均匀媒质：是否与空间位置有关2、线性与非线性媒质：是否呈线性关系3、各向同性与各向异性媒质：15边界条件媒质1媒质2

分界面上的自由电荷面密度

分界面上的传导电流面密度？1616Maxwell方程组边界条件17微分方程边界条件18关于边界条件1、在边界面上才成立。2、不同特殊情况下的边界条件。3、遇到求解源量的面分布（面电荷、面电流）时需要用到边界条件。4、两个不同区域场的联系需要边界条件。19例题分析教材P47:例题2-7P48:例题2-8P48：习题1、2、3、4、5、6、7、8、920

例：如图所示，1区的媒质参数为,2区的媒质参数为。若已知自由空间的电场强度为试问关于1区中的和能求得出吗？1区2区xyz电介质与自由空间的分界面o21电磁场的能量守恒定律■电场能量（密度）■磁场能量（密度）■

电磁场能量（密度）■电磁场能量的流动——电磁能流密度矢量（坡印廷矢量）

与电磁场场量的关系？坡印廷矢量定义：方向：能量流动的方向大小：单位时间流过与之垂直的单位面积的电磁场能量22电磁场中的能量守恒定律——坡印廷定理流入V内的电磁场能量V内电磁场能量的增加V内电磁场能量所做的功（损耗）???23由麦克斯韦方程组可得到在任意闭曲面S所包围的体积V上，对上式两端积分？？坡印廷定理——电磁场中的能量守恒定理24

例4.3.1同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电流为I。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。25分析；1、传输的功率单位时间流过的能量坡印廷矢量E,H同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）26同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为内2、当导体的电导率σ为有限值时，通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率坡印廷矢量存在径向分量E,H27内导体表面外侧的坡印廷矢量为进入每单位长度内导体的功率为28麦克斯韦方程组的完备性

惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。

在以闭曲面S为边界的有界区域内V，如果给定t＝0时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在t

0时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在t>0时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。

？（证明）29电磁场的波动性

无源区的波动方程有源空间？导电媒质？

在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有

波动方程？P49:730电磁场的位函数解决有源空间波动性问题——引入位函数引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题（包含电流、电荷的区域）的分析得到简化。31已知电流、电荷分布区域32

位函数的定义电磁矢量位电磁标量位33

位函数的不确定性

原因

满足下列变换关系的两组位函数和能描述同一个电磁场问题。也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换为任意可微函数

？？

咋办？34

位函数的微分方程及规范条件35同样36位函数的微分方程——达朗贝尔方程位函数的规范条件洛仑兹规范条件库伦规范条件

若应用库仑条件，位函数满方程?位函数对应的E、H？37时谐电磁场

时谐电磁场的概念

如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。38

时谐电磁场的表示实数表示法或瞬时表示法振幅相位时间相位相位空间相位滞后（超前）39有一个复数与实数有一一对应关系称为时谐量的复数表示？一一对应关系本身对应关系与满足的方程与满足的方程的对应关系4041一个时谐量的两种表示之间的一一对应关系不是相等关系复数式只是数学表示方式，不代表真实的场真实场是复数式的实部，即瞬时表达式由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部份就可表示复矢量时谐电磁场，矢量场的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成

各分量合成以后，电场强度为

有关复数表示的进一步说明复矢量42

时谐电磁场的基本方程

瞬时形式

复数形式麦克斯韦方程、波动方程、达朗贝尔方程、电流连续性方程、洛仑兹条件。43平均能量密度和平均能流密度矢量

时谐场中二次式的表示方法

二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。

设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为

电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式。44则能流密度为

如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实部，再代入

45

二次式的时间平均值

在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均电场能量密度平均磁场能量密度

在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计算，有二次式只有实数的形式，没有复数形式!46

关于和

适用条件

？47

例

已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为，其中k和E0为常数。求：（1）磁场强度复矢量H；（2）瞬时坡印廷矢量S；（3）平均坡印廷矢量Sav。

例

已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为其中E0、H0和k为常数。求：(1)w和wav；(2)S和Sav。48

复电容率（复介电常数)有源空间√导电媒质？

在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有

波动方程49对于时谐场形式上与无耗介质中的麦克斯韦方程相同复电容率（复介电常数)

波动方程?50习题：P104，1——6题题4.16题例题由半径为的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为d，两板间充满介电常数为、电导率为的媒质，如图所示。设两板间外加缓变电压，略去边缘效应，试求（1）电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；（2）进入电容器的平均功率；（3）电容器内损耗的瞬时功率和平均功率；51总结王园电磁场理论小班授课第二讲静态场及边值问题

电子科技大学53

静态电磁场：场量不随时间变化，包括：

静电场、恒定电场和恒定磁场

时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立故可以分别讨论

54静电场的基本方程和边界条件静电场分析边界条件微分形式：本构关系：基本方程积分形式：静电场：55即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的标量电位或简称电位，具有明确的物理意义。

电位函数

位函数的定义电磁标量位静电场电位的不确定性？电位参考点的选择？56

位函数满足的方程和边界条件由达朗贝尔方程静电场57由和

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为

1和

2。当两点间距离⊿l→0时媒质2媒质158

位函数的计算已知电荷分布已知电场分布59对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：

故得点电荷的电位：线电荷的电位：60解决定解问题：

例：两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为

的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。obaxy两块无限大平行板61已知电场分布两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得P、Q两点间的电位差电场力对单位正电荷做的功62

例:

求均匀电场的电位分布。63电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率；

导体系统的电容与部分电容64

电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。

孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位

的比值，即

电容

孤立导体的电容

两个带等量异号电荷（

q）的导体组成的电容器，其电容为

电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。65(3)由 ，求出两导体间的电位差；

(4)求比值，即得出所求电容。(1)假定两导体上分别带电荷+q和-q；

(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的步骤：66

例：同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。

例:如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。

例：同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为

的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。同轴线67

多导体系统1、电位系数2、电容系数3、部分电容

在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。68电位系数——自电位系数——互电位系数69

αij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即αij=αji。

αij>

0；

电位系数的特点：70若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为

电容系数71

βij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即βij=βji。

βii>

0

、；72将各导体的电量表示为

式中：部分电容——导体i与导体j之间的部分电容——导体i与地之间的部分电容

73

Cij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即Cij=Cji。

部分电容的特点：74

在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值称为这两个导体间的等效输入电容。等效电容如图所示，有三个部分电容导线1和2间的等效电容为导线1和大地间的等效电容为导线2和大地间的等效电容为12大地大地上空的平行双导线75

静电场的能量

电场能量密度：

电场的总能量：

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

用电荷分布表示电场能量？用于多导体带电系统适用条件？76——

第i个导体的电位式中：——

第i个导体所带的电荷所有电荷产生的电位对于两个导体：自能自能相互作用能77点电荷系统的能量——

第i个点电荷所在位置ri处的电位——

第i个点电荷的电量除以外的其余点电荷产生的电位78

例：半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。

解：方法一，利用计算

方法二：利用计算

79

恒定电场与恒定磁场

恒定场问题：■导电媒质中的恒定电（流）场由麦氏方程组：恒定电场恒定磁场80导电媒质中存在恒定电流分布边界条件?导电媒质中的恒定电场基本方程恒定电场的场量：E和J将在空间的分布作为一个矢量场——恒定电流场为维持该恒定电流分布，必须存在恒定的电场——恒定电场与区域的静电场比较81媒质2媒质1媒质2媒质1

如

2>>σ1、且

2≠90°，则

1＝0，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面；

若媒质1为理想介质，即

1＝0，则

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即导体中的电流和电场与分界面平行。媒质2媒质1电力线与良导体表面不垂直82媒质2媒质1

如媒质2为导体，则即电场线垂直于导体表面。此时，导体表面为等位面；媒质2媒质1对于静电场83(1)即导体内有电荷流动,恒定电场与静电场重要区别：(2)恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面；（3）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。84由由由引入电位电位满足的方程电位满足的边界条件恒定电场的电位关于在恒定电场中的85●均匀导体内不会出现电荷堆积；●对于分块均匀的导体，电荷只能分布在分界面上。？导体内的电荷分布●恒定电场的源？86——驻立电荷电源中的非静电力产生，分布不变的动态面电荷87

例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为

1、

1和

2、

2，外加电压U。求分界面上的面电荷密度。88

例填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为

1和

2

、电导率为

1和

2

。设内导体的电压为U0

，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的电荷面密度。外导体内导体介质2介质189

工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。

漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即漏电导90

例求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I。91环形导电媒质块r1hr2

0σ●设在沿

方向的两电极之间外加电压U0

●设在沿

方向的两电极之间外加电压U0●设在沿z方向的两电极之间外加电压U092环形导电媒质块r1hr2

0σ沿

方向的两电极之间外加电压U0

沿

方向的两电极之间外加电压U0沿z方向的两电极之间外加电压U0？93恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场94

恒定磁场基本方程基本方程边界条件本构关系恒定磁场的矢量磁位矢量磁位的引入矢量磁位的不确定性和规范条件矢量磁位满足的方程矢量磁位的边界条件？已知电流分布计算矢量磁位？95矢量磁位的边界条件96对于面电流和线电流分布？已知电流分布计算矢量磁位由97

例求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I。

解如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与

无关，计算xz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRθIP细线电流：98对于远区，有r>>a

，所以由于在

=0面上

，所以上式可写成于是得到99式中S=πa2是小圆环的面积。

载流小圆环可看作为磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或

100恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。

标量磁位的引入标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程将代入——等效磁荷体密度101

标量磁位的边界条件？在线性、各向同性的均匀媒质中或——

等效磁荷面密度102IH0H1H2103静电位 磁标位

磁标位与静电位的比较静电位

0

P磁标位

m

0

m1041.磁通与磁链

电感

单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量N匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和CI

细回路磁力线套住的电流回路的电流CI

细回路II105CI粗回路

粗导线构成的回路，磁通分为两部分：一部分是粗导线(全部电流）包围的、磁力线不穿过导体的外磁通量

；另一部分是磁力线穿过导体、只有粗导线的一部分(部分电流）包围的内磁通量。106

设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为

，则磁链

与回路C中的电流I有正比关系，其比值称为回路C的自感系数，简称自感。——外自感

自感——内自感；粗导体回路的自感：L=Li+Lo

自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。

自感的特点：107则故单位长度的外自感为

例求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。

解：内、外导体间的外自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理108

求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理与dΦi交链的电流为与dΦi对应的磁链为109因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为单位长度的总自感为110

例计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D>>a。导线及周围媒质的磁导率为μ0。PII111称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。

互感同理，回路C2对回路C1

的互感为C1C2I1I2Ro112

互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。

满足互易关系，即M12=M21

当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。

互感的特点：113

纽曼公式

如图所示的两个回路C1和回路C2

，回路C1中的电流I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位回路C1中的电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为C1C2I1I2Ro故得同理纽曼公式114长直导线与三角形回路

例如图所示，长直导线与三角形（矩形）导体回路共面，求它们之间的互感。长直导线与矩形形回路115长直导线与矩形回路116

恒定磁场的能量

磁场能量密度：

磁场的总能量：

用电流分布表示磁场能量？适用条件？117回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能两个电流回路12一个电流回路?118

例

同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为

b和c，如图所示。导体中通有电流I

，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。

解：由安培环路定律，得119三个区域单位长度内的磁场能量分别为120单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感121静态场的边值问题及解的惟一性定理

边值问题的类型

已知场域边界面上的位函数值，即

边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即

已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）122

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。惟一性定理

惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据

惟一性定理的表述

惟一性定理的证明？123123qq′非均匀感应面电荷等效电荷

当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。

接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。镜像法124124接地导体球附近有一个点电荷，如图接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q非均匀感应电荷q′等效电荷

问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代125

镜像法的原理

镜像法的理论基础——解的惟一性定理

个数、位置及其电量大小

镜像法应用的关键点确定镜像电荷的两条原则

等效求解的“有效场域”。

镜像电荷的确定：

像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；

像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。方法：在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用目的：使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题1261.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。

接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因z=0时，q有效区域q127有效区域2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间(z≥0）的电位函数？导体平面上的感应电荷密度为？导体平面上的总感应电荷为？1283.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像

如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q位于(d1,d2)处。显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。对于平面1：对于平面2：电位函数q

d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1其中+q、-q各为多少个？129

例一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。q'qx=∞

0d-d130

导体球面的镜像1.点电荷对接地导体球面的镜像方法：利用导体球面上电位为零确定

和q′。PqarRdqPaq'rR'Rdd'131像电荷的位置像电荷的电量球外的电位函数?导体球面上的总感应电荷为?球面上的感应电荷面密度?？？qPaq'aR'Rdd'1322.点电荷对接地空心导体球壳的镜像

如图所示接地空心导体球壳的内半径为a

、外半径为b，点电荷q位于球壳内，与球心相距为d(d<a)。

由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。

|q‘|>|q|像电荷的位置和电量与外半径b无关。?aqdobq'rR'Raqdod'球内的电位函数?导体球面上的总感应电荷为?球内表面上的感应电荷面密度?1333.点电荷对不接地导体球的镜像

导体球不接地时的特点：

导体球面是电位不为零的等位面

球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应电荷为零

点电荷q位于一个半径为a的不接地导体球外，距球心为d。PqarRd134

而原问要求r=a的球面总电荷为零。将电荷－q’加于r=a的球面上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷－q'可用一个位于球心的镜像电荷q"来替代，即球外任意点的电位为qPaq'rR'Rdd'q"

先在d’放置q’

r=a的球面电位为零，有总电荷量为q'的感应电荷分布135PqarRdUPqarRdQaqQbQqaboo'd136qdha137

导体圆柱面的镜像图1线电荷与导体圆柱图2线电荷与导体圆柱的镜像1.线电荷对接地导体圆柱面的镜像导体圆柱面外的电位函数?导体圆柱面上的感应电荷面密度?导体圆柱面上单位长度的感应电荷?138由于导体圆柱接地，所以当时，电位应为零，即

设镜像电荷的线密度为，且距圆柱的轴线为，则由和共同产生的电位函数

线电荷与导体圆柱的镜像RR’139上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到比较的系数1402.两平行圆柱导体的电轴图1两平行圆柱导体

两平行圆柱导体的电轴

由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。

将导体表面上的电荷用线密度分别为、且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代141图2两平行圆柱导体的电轴

通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。由

利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b

。

若两圆柱半径不同，可否用该方法？142

点电荷与无限大电介质平面的镜像

图1点电荷与电介质分界平面图2介质1的镜像电荷图3介质2的镜像电荷143可得到利用电位满足的边界条件电场？电荷受力？极化电荷？144图1线电流与磁介质分界平面图2磁介质1的镜像线电流

线电流与无限大磁介质平面的镜像

图3磁介质2的镜像线电流145可得到利用矢量磁位满足的边界条件单位长载流导线所受的力？磁化电流密度？146分离变量法

例

无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。

例均匀外电场中，有一半径为a、介电常数为ε的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内外的电位函数和电场强度。

xyaE0oεP(ρ,

)147

例设半径为a，介电常数为

的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场E0

的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。

E0zx

a

0

例

高为h，半径为L的金属圆柱形空腔，上下各有一盖板，盖板与金属柱绝缘，上盖板电位为U0，金属柱和下盖板接地，如图所示，试计算此柱内的电位分布。（若上下盖板接地，圆柱电位为U0，结果如何？）148zx

a

0q0d可否用镜像法求解？zx

a

00d王园电磁场理论小班授课第三讲平面电磁波

电子科技大学均匀平面波在无界空间的传播

均匀平面波的反射与透射

均匀平面波在无界空间的传播

理想介质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波电磁波的极化色散与群速EHz波传播方向

均匀平面波波阵面xyo

均匀平面波的概念

波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面

平面波：等相位面为无限大平面的电磁波

均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波，且传播方向与等相位面垂直

均匀平面波是电磁波的一种理想情况，其分析方法简单，但又表征了电磁波的重要特性。理想介质中的均匀平面波

一维波动方程的均匀平面波解

理想介质中均匀平面波的传播特点

沿任意方向传播的均匀平面波

条件：无限大的无源空间中；充满线性、各向同性的均匀理想介质；时谐场；均匀平面波。

求解波动方程：

一维波动方程的均匀平面波解

设均匀平面波沿z轴传播，等相位面即为xy平面，则电场强度和磁场强度均不是x和y的函数，即由于同理

结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播方向——横电磁波（TEM波）这时：设电场只有x分量，即其解为：

第一项

理想介质中均匀平面波的传播特性振幅相位时间相位空间相位初相位时间特性周期T

：时间相位变化2π的时间间隔，即角频率ω

：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s

频率f

：

t

T

o

xE

的曲线k的大小等于空间距离2π内所包含的波长数目，因此也称为波数。波长λ

：空间相位差为2π

的两个波阵面的间距，即相位常数

：表示波传播单位距离的相位变化,单位为

o

xE

lz的曲线空间特性时空特性传播方向：相速v：电磁波的等相位面在空间中的移动速度保持相位恒定，当时间增加时，等相位面移动的方向。即，沿+z方向传播

第二项

的波形由，可得

其中称为媒质的本征阻抗。在真空中

相伴的磁场

同理，对于磁场与电场相互垂直，且同相位

结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相互垂直，且同相位。1、已知理想介质中的均匀平面波的表示式振幅T

ω

f传播方向

相伴的磁场常见问题求该电磁波的传播特性：2、已知一电磁场的相关传播特性，求表示式或能量密度与能流密度由于，于是有能量的传输速度等于相速故电场能量与磁场能量相同xyzEHo理想介质中均匀平面波的和EH

电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM

波）

无衰减，电场与磁场的振幅不变

波阻抗为实数，电场与磁场同相位

电磁波的相速与频率无关，无色散

电场能量密度等于磁场能量密度，

能量的传输速度等于相速

根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：

例频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为εr=2.26。若磁场的振幅为7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。

解：由题意因此

例

均匀平面波的磁场强度的振幅为A/m，以相位常数为30rad/m在空气中沿方向传播。当t=0和z=0时，若取向为，试写出和的表示式，并求出频率和波长。

解：以余弦为基准，直接写出因，故则

例

频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿+z方向传播，其电场。已知该媒质的相对介电常数εr=4、相对磁导率μr=1，且当t=0、z=1/8m时，电场幅值为10－4V/m。试求电场强度和磁场强度的瞬时表示式。

解：设电场强度的瞬时表示式为对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件t=0、z=1/8m时，电场达到幅值，得式中

解：电场强度的复数表示式为垂直穿过半径R=2.5m的圆平面的平均功率

例自由空间中平面波的电场强度求在z=z0处垂直穿过半径R=2.5m的圆平面的平均功率。沿+z方向传播的均匀平面波沿任意方向传播的均匀平面波沿传播方向的均匀平面波沿任意方向传播的均匀平面波

波传播方向

z

y

x

o

rne等相位面

P(x,y,z)yzxo沿＋z方向传播的均匀平面波P(x,y,z)波传播方向r等相位面

解：（1）因为，所以则

例

在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为式中A为常数。求：（1）波矢量；（2）波长和频率；（3）A的值；（4）相伴电场的复数形式；（5）平均坡印廷矢量。（2）（3）（4）（5）

电磁波的极化

极化的概念

线极化波

圆极化波

椭圆极化波极化波的合成与分解极化的概念

波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性,是电磁理论中的一个重要概念。

在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹。

波的极化

一般情况下，沿+z方向传播的均匀平面波，其中

电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、椭圆极化。

极化的三种形式

线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段

圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆

椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆

线极化波随时间变化

条件：或

合成波电场的模

合成波电场与+x轴的夹角

特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢端，轨迹与x轴的夹角始终保持不变。

结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的相位相同或相差为±π

时，其合成波为线极化波。常数

圆极化波则

条件：

合成波电场的模常数

合成波电场与+x轴的夹角随时间变化

特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，电场的矢端在一个圆上并以角速度ω

旋转。

结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的振幅相同、相位差为±π/2时，其合成波为圆极化波。右旋圆极化波oExyxE

Eya

左旋圆极化波oxEyxEyEa

右旋圆极化波：若电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波

左旋圆极化波：若电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波其它情况下，令，由

可得到

特点：合成波电场的大小和方向都随时间改变，其端点在一个椭圆上旋转。椭圆极化波椭圆极化波也有左旋和右旋之分。顺时针逆时针关于电场矢端的旋转方向xy相位超前的分量相位落后的分量左旋右旋传播方向（1）或电场只有一个分量，为线极化波。（2）电场两个分量和垂直，即若因为为右旋为圆极化为椭圆极化（3）电场两个分量为椭圆极化沿任意方向传播的电磁波极化判定实数

例

说明下列均匀平面波的极化方式。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

极化波的分解与合成任何一个线极化波都可以表示成旋向相反、振幅相等的两圆极化波的叠加,即任何一个椭圆极化波也可以表示成旋向相反、振幅不等的两圆极化波的叠加，即任何一个线极化波、圆极化波或椭圆极化波可分解成两个相互垂直线极化波的叠加。

导电媒质中的均匀平面波一般导电媒质中的均匀平面波

弱导电媒质中的均匀平面波良导体中的均匀平面波

导电媒质中的均匀平面波

导电媒质的典型特征是电导率

≠0

电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E存在，同时伴随着电磁能量的损耗

电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同

引入复介电常数后，导电媒质中电磁场满足的方程与理想介质中相同。对于时谐场形式上与无耗介质中的麦克斯韦方程相同复电容率（复介电常数)

波动方程?沿z轴传播的均匀平面波解为令，则均匀平面波解为

一般导电媒质中的均匀平面波

称为电磁波的传播常数瞬时值形式波动方程——复波数与理想介质的均匀平面波比较：传播特性：振幅、角频率、频率、周期、相位常数、波长、传播方向、相速度、相伴的磁场、本证阻抗。振幅衰减常数相位常数波长相速度本征阻抗

相伴的磁场导电媒质中的电场与磁场非导电媒质中的电场与磁场

导电媒质中均匀平面波的传播特点

电场强度E、磁场强度H与波的传播方向相互垂直，是横电磁波（TEM波）；

媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于电场

角；

在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；

波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而与频率有关（有色散）。

电场能量密度<=>磁场能量密度？平均坡印廷矢量xyzEHo理想介质中均匀平面波的和EH

电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM

波）

无衰减，电场与磁场的振幅不变

波阻抗为实数，电场与磁场同相位

电磁波的相速与频率无关，无色散

电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速

理想介质中的均匀平面波的传播特点为弱导电媒质：

弱导电媒质中的均匀平面波

弱导电媒质中均匀平面波的特点

相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；电场和磁场存在较小的相位差。色散效应可以忽略衰减小；良导体：

良导体中的均匀平面波

金、银、铜、铁、铝等金属对于无线电波均是良导体。例如铜：

良导体中均匀平面波的特点

相位常数？电场和磁场存在？的相位差。色散效应？忽略衰减？；趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。

趋肤深度（

）：电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的

1/e时所传播的距离。即趋肤深度

铜：导体内每单位宽度的总电流为如果用表示导体表面z=0处的体电流密度的大小，则在导体内处的电流密度为由于良导体内电流主要分布在表面附近，因此可将该电流看作是集中于导体表面的面电流

zxy1O

导体中的体电流xzy1导体表面的等效面电流o导体表面的电场为导体中的电流式中称为导体的表面阻抗良导体中每单位表面的平均损耗功率在实际计算时，通常是先假定导体的电导率为无穷大（理想导体），由

得表5.3.1一些金属材料的趋肤深度和表面电阻材料名称电导率σ

/(S/m)趋肤深度δ

/m表面电阻RS/Ω银6.17×107

紫铜5.8×107

铝3.72×107

钠2.1×107

黄铜1.6×107

锡0.87×107

石墨0.01×107瞬时值形式弱导电煤质良导体zxy1O

导体中的体电流良导体中的电流xzy1导体表面的等效面电流o良导体中每单位表面的平均损耗功率假定导体为理想导体

例5.3.1

一沿x方向极化的线极化波在海水中传播，取+z轴方向为传播方向。已知海水的媒质参数为εr=81、μr=1、σ=4S/m，在z=0处的电场Ex=100cos(107πt)V/m。求：（1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；（2）电场强度幅值减小为z=0处的1/1000时，波传播的距离（3）z=0.8m处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；（4）z=0.8m处处穿过1m2面积的平均功率。解：（1）根据题意，有所以此时海水可视为良导体。故衰减常数相位常数本征阻抗相速波长趋肤深度（2）令e-αz＝1/1000，即eαz＝1000，由此得到电场强度幅值减小为z=0处的1/1000时，波传播的距离故在z=0.8m处，电场的瞬时表达式为磁场的瞬时表达式为（3）根据题意，电场的瞬时表达式为

（4）在z=0.8m处的平均坡印廷矢量穿过1m2的平均功率Pav=0.75mW

由此可知，电磁波在海水中传播时衰减很快，尤其在高频时，衰减更为严重，这给潜艇之间的通信带来了很大的困难。若为保持低衰减，工作频率必须很低，但即使在1kHz的低频下，衰减仍然很明显。海水中的趋肤深度随频率变化的曲线色散与群速

色散现象：相速随频率变化

单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。

电磁波的传播特性与介质参数(

、

和

)有关，当这些参数和传播常数随频率变化时，不同频率电磁波的传播特性就会有所不同，这就是色散效应，这种媒质称为色散媒质。

两个振幅均为Em、角频率分别为

+和－、相位常数分别为

+

和－的同向行波振幅，包络波，以角频率

缓慢变化

不同频率电磁波的叠加行波因子，代表沿z轴传播的行波合成波电场包络波，速度vgz载波，速度vp——无色散——正常色散——反常色散

群速vg：包络波的恒定相位点推进速度由

相速vp：载波的的恒定相位点推进速度推进速度

均匀平面波的反射与透射均匀平面波对分界面的垂直入射

均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射均匀平面波对理想导体表面的斜入射208边界条件入射波（已知）＋反射波（未知）透射波（未知）

现象：电磁波入射到不同媒质分界面上时，一部分波被分界面反射，一部分波透过分界面。均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面

入射方式：垂直入射、斜入射；

媒质类型：理想导体、理想介质、导电媒质

分析方法：209

均匀平面波对分界平面的垂直入射

对导电媒质分界面的垂直入射zx媒质1：媒质2：y

沿x方向极化的均匀平面波从媒质1垂直入射到与导电媒质

2的分界平面上。

z<0中，导电媒质1的参数为

z>0中，导电媒质2的参数为210媒质1中的入射波：媒质1中的反射波：媒质1中的合成波：211媒质2中的透射波：在分界面z=0上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即212

讨论：

和

是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波都不同。

若媒质2理想导体，即

2=，则η2c=0，故有

若两种媒质均为理想介质，即

1=2=0，则得到式中分界面的反射系数分界面的透射系数213对理想导体表面的垂直入射x媒质1：媒质2：zz=0y媒质1为理想介质，σ1＝0媒质2为理想导体，σ2＝∞故媒质1中的入射波：媒质1中的反射波：则在分界面上，反射波电场与入射波电场的相位差为π214

媒质1中合成波的电磁场为合成波的平均能流密度矢量瞬时值形式理想导体表面上的感应电流?215波节点

波腹点216

媒质1中的合成波是驻波。

电场振幅的最大值为2Eim，最小值为0；磁场振幅的最大值为2Eim/η1，最小值也为0。驻波217

坡印廷矢量的平均值为零，不发生能量传输过程，仅在两个波节间进行电场能量和磁场能的交换。

在时间上有π/2

的相移

在空间上错开λ/4，电场的波腹（节）点正好是磁场的波节腹）点；

两相邻波节点之间任意两点的电场同相。同一波节点两侧的电场反相——电场

——磁场218

一均匀平面波沿+z方向传播，其电场强度矢量为

解：(1)电场强度的复数表示

（1）求相伴的磁场强度；（2）若在传播方向上z=0处，放置一无限大的理想导体平板，求区域z<0中的电场强度和磁场强度；（3）求理想导体板表面的电流密度。则

219写成瞬时表达式(2)反射波的电场为反射波的磁场为220在区域z<0的合成波电场和磁场分别为(3)理想导体表面电流密度为

221

对理想介质分界面的垂直入射设两种媒质均为理想介质，即

1=2=0则

讨论

当η2>η1时，Γ>0，反射波电场与入射波电场同相

当η2<η1时，Γ<0，反射波电场与入射波电场反相x介质1：介质2：zz=0y222媒质1中的入射波：媒质1中的反射波：媒质1中的合成波：媒质2中的透射波：223

合成波的特点

这种由行波和纯驻波合成的波称为行驻波（混合波）——

合成波电场——

驻波电场z——

行波电场224

合成波电场振幅

当η2>η1时，Γ>0分界面为合成波电场的最大值点。经后为最小值点

当η2<η1时，Γ<0？225

驻波系数S定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之比，即驻波系数(驻波比)S

讨论：

当Г＝0时，S＝1，为行波；

当Г＝±1时，S=

，是纯驻波。

当时，1<S<

，为混合波。S越大，驻波分量越大，行波分量越小；226

例在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内传输波的波长是自由空间波长的1/6，且分界面上为驻波电场的最小点。求介质的相对磁导率和相对介电常数。解：因为驻波比由于界面上是驻波电场的最小点，故又因为2区的波长而反射系数式中227媒质2中的平均功率密度媒质1中沿z方向传播的平均功率密度

电磁能流密度由入射波平均功率密度减去反射波平均功率密度228

例

入射波电场，从空气（z<0）中正入射到z=0的平面边界面上，对z>0区域μr=1、εr=4。求反射波和透射波的电场和磁场。媒质1媒质2zxy229

解：

230

例

已知媒质1的εr1=4、μr1=1、σ1=0

；媒质2的εr2=10、μr2=4、σ2=0。角频率ω＝5×108rad/s的均匀平面波从媒质1垂直入射到分界面上，设入射波是沿x轴方向的线极化波，在t＝0、z＝0时，入射波电场的振幅为2.4V/m。求：

(1)β1和β2；

(2)反射系数和透射系数

；

(3)1区的电场；

(4)2区的电场。231（2）

（3）1区的电场（4）解:（1）

232在两个分界面上发生多次反射与透射现象。均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射

0dz①②③

1,

1k1iH1iE1ik1rH2iE2ik2iE1rH1rk2rE2rH2rk3iH3iE3i

2,

2

3,

3x界面1界面2

各区中的磁场由233根据边界条件，在分界面z=d上，得在分界面z=0

上，，得其中：等效波阻抗0dz①②③

1,

1k1iH1iE1ik1rH2iE2ik2iE1rH1rk2rE2rH2rk3iH3iE3i

2,

2

3,

3x界面1界面2234

说明引入等效波阻抗以后，在计算第一层媒质分界面上的反射系数时，第二层媒质和第三层媒质可以看作等效波阻抗为

的一种媒质。0dz①②③

1,

1k1iH1iE1ik1rH2iE2ik2iE1rH1rk2rE2rH2rk3iH2iE3i

2,

2

3,

3x界面1界面20z①②

1,

1k1iH1iE1ik1rH2E2k2E1rH1r

efx界面1由235

关于等效波阻抗则媒质②中任一点的波阻抗为

定义媒质中任一点的合成波电场与合成波磁场之比称为该点的波阻抗，即

由此可见，即为媒质②中z＝0

处的波阻抗。

在z＝0

处236d1d2d1237

设两种理想介质的波阻抗分别为η1

与η2

，为了消除分界面的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。

首先求出第一个分界面上的等效波阻抗。考虑到η1ηη2②①为了消除反射，必须要求，那么由上式得四分之一波长匹配层238同时，

半波长介质窗

如果介质1和介质3是相同的介质，即,当介质2的厚度时，有由此得到介质1与介质2的分界面上的反射系数

结论：电磁波可以无损耗地通过厚度为的介质层。因此，这种厚度的介质层又称为半波长介质窗。η1η2η3②①239

此外，如果夹层媒质的相对介电常数等于相对磁导率，即

r=

r

，那么，夹层媒质的波阻抗等于真空的波阻抗。?

由此可见，若使用这种媒质制成保护天线的天线罩，其电磁特性十分优越。但是，普通媒质的磁导率很难与介电常数达到同一数量级。近来研发的新型磁性材料可以接近这种需求。

当这种夹层置于空气中，平面波向其表面正投射时，无论夹层的厚度如何，反射现象均不可能发生。换言之，这种媒质对于电磁波似乎是完全“透明”的。应用：雷达天线罩的设计就利用了这个原理。为了使雷达天线免受恶劣环境的影响，通常用天线罩将天线保护起来，若天线罩的介质层厚度设计为该介质中的电磁波的半个波长，就可以消除天线罩对电磁波的反射。240

均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射

当平面波向平面边界上以任意角度斜投射时，同样会发生反射与透射现象，而且通常透射波的方向与入射波不同，其传播方向发生弯折，因此，这种透射波又称为折射波。入射面：入射线与边界面法线构成的平面反射角θr：反射线与边界面法线之间的夹角入射角θi

：入射线与边界面法线之间的夹角折射角θt：折射线与边界面法线之间的夹角均匀平面波对理想介质分界面的斜入射

iqrqtqzxyiE//iEi^E入射波

反射波

透射波

分界面

入射面

//rEr^ErEt^EtE//tEikrktk241入射波波矢量透射波波矢量、场量？反射波波矢量、场量？入射波的电场强度入射波的磁场强度xzkikrktθiθtθr242入射波的电场强度可以表示为反射波及折射波电场分别为

反射定律与折射定律由于分界面(z