函数、方程与不等式实际应用（解析版）-2024年中考数学题型归纳与变式演练（全国卷）

专题07函数、方程与不等式实际应用

目录

热点题型归纳...................................................................................

题型01一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值）............................................

题型02一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案）............................................

题型03二元一次方程（组）与不等式的实际应用（最值）.........................................

题型04二元一次方程（组）与不等式的实际应用（方案）.........................................

题型05分式方程的实际应用.....................................................................

题型06二次函数的实际应用（最值）............................................................

题型07反比例函数的实际应用...................................................................

中考练场.......................................................................................

热点题型归纳

题型01一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值）

【解题策略】

一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范

围是关键；

一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一

次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。

【典例分析】

例.（2023•江苏南通・中考真题）某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进

货价和销售价如下表：

类别价格A种B种

第1页共60页

进货价（元/盒）2530

销售价（元/盒）3240

（1）若经销商用1500元购进A,8两种粽子，其中A种的数量是8种数量的2倍少4盒，求

A,3两种粽子各购进了多少盒；

（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽

子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多

少？

【答案】（1）则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒

（2）购进A种“粽子”40盒，购进2种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元

【分析】（1）设未知数，根据A种的数量是8种数量的2倍少4盒，列方程求解；

（2）设购进B种“粽子盒，销售利润为W元，根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”

进货数量的2倍，可得加420,而W=3m+420,由一次函数性质可得购进A种“粽子”40

盒，购进8种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元.

【详解】（1）设购进8种粽子x盒，

25（2x—4）+30x=1500,解得x=20,2x—4=36,贝U购进8种粽子20盒，A种粽子36盒.

（2）设购进3种“粽子”小盒，销售利润为W元，则购进A种“粽子”（60-〃。盒，

•••根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，

60—m>2m,解得帆420,

根据题意得W=（40—30）〃?+（32—25）（60—m）=3m+420,

：3>0,随机的增大而增大，

...7〃=20时，W取最大值，最大值为

20x3+420=480（元），此时60—帆=60—20=40,

答：购进A种“粽子”40盒，购进2种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元.

【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题

第2页共60页

意，列出方程，不等式和函数关系式.

【变式演练】

1.（2023•贵州贵阳•二模）丹寨县的苗族蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店

选中A,8两款苗绣蜡染装饰品，其进货价和销售价如表：

类别

A款B款

价格

进货价（元/个）7068

销售价（元/个）8075

（1）第一次该店用1520元购进了A,8两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购

进的数量；

（2）第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A款进货数量不超过2款

进货数量的一半.应如何设计进货方案才能获得最大利润，并求出最大利润.

【答案】⑴第一次购进A款12个，8款10个；

⑵当购进A款12个，2款24个时获得最大利润，最大利润为288元

【分析】本题考查二元一次方程，一元一次不等式的应用及一次函数解实际应用题，读懂题

意，准确得到方程组及一次函数解析式是解决问题的关键.

（1）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品x个，则购进8款（22-力个，根据题意列一元

一次方程求解即可；

（2）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品。个，利润为y元，

【详解】（1）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品无个，则购进8款（22-力个，根据题

意表示出＞=3。+252,然后求出aW12,然后根据一次函数的性质求解即可.

根据题意：70x+68（22-尤）=1520.

解得x=12.

，2款苗绣蜡染装饰品购进了22-12=10（个）.

第3页共60页

，第一次购进A款12个，2款10个.

（2）设该店第一次购进A款苗绣蜡染装饰品。个，利润为y元.

根据题意得：y=（80-70）a+（75-68）（36-a）

化简得：y=3a+252

:A款苗绣蜡染装饰品的进货数量不超过B款进货数量的一半.

解得a412.

又所以。的取值范围为0WW12.

••丁随。的增大而增大，

...当。取12时，y取到最大值，最大值为288元.

当购进A款苗绣蜡染装饰品12个，2款苗绣蜡染装饰品24个时获得最大利润，最大利润

为288元.

2.（2024.河南•一模）春节期间，42两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠

方案，如下表：

A超市8超市

优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满100元返30元

⑴当购物金额为90元时，选择超市（填"A”或"B”）更省钱；当购物金额为120

元时，选择超市（填"A”或"B”）更省钱；

⑵若购物金额为了（1。0"<200）元时，请分别写出4、8两超市的实付金额y（元）与购物

金额尤（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？

（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%.若

在2超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明.

【答案】（1）4B

⑵当ioovx<2oo时，A超市函数表达式为y=0.8%,2超市函数表达式为y=彳-30；当

150<尤<200时，选择A超市更省钱；当了=150时，4、2两超市花费一样多；S100<x<150

第4页共60页

时，选择2超市更省钱

(3)不一定，见解析

【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关

键.

(1)根据题意，分别计算购物金额为90和120元时，两家超市的费用，比较即可求解；

(2)根据题意歹!J出函数关系，分三种情况：0.8x<x-30,O.8x=x-3O,O.8x>x-3O,分

别求出x的取值范围，结合题意，即可求解；

(3)根据题意以及(2)的结论，举出反例即可求解.

【详解】(1)解：V90<100,

超市八折优惠，2超市不优惠，

；・选择A超市更省钱；

V100<120<200,

超市应付：120x0.8=96(元)，8超市应付：120-30=90(元)，

V96>90,

，选择A超市更省钱；

故答案为：A；B.

(2)解：当100W200时，A超市函数表达式为：y=0.8x,8超市函数表达式为：y=尤-30,

当0.8彳<尤-30,即150<x<200时，选择A超市更省钱；

当0.8x=x-30,即x=150时，A、2两超市花费一样多；

当0.8x>x-30,即100<x<150时，选择2超市更省钱.

(3)解：不一定，例：

在8超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，

例如：当B超市购物100元，返30元，相当于打7折，即优惠率为-I0Gx1。。％=30%,

第5页共60页

当8超市购物120元，返30元，则优惠率为-------x100%=25%,

120

.,.在2超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大.

3.（2023・河南周口・二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁

班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元;

购进6副“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元.

（1）分别求这两种玩具的单价；

⑵该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数

量不少于70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？

【答案】⑴每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元

（2）购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元

【分析】（1）设每副“九连环元，每副“鲁班锁”〃元，列方程组可解得每副“九连环”40元，

每副“鲁班锁”80元；

（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”（2x+10）副，一共的购买费用为卬元，由两种益

智玩具的总数量不少于70副，可得x+（2x+10）\70,x>20,而

w=80x+40（2x+10）=160x+400,由一次函数的性质可得答案.

本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关

系式.

【详解】（1）设每副“九连环”〃2元，每副“鲁班锁””元,

2m+3〃=320

根据题意得

6m+4n=560

第6页共60页

fm=40

解得"

，每副“九连环”40元，每副“鲁班锁”80元.

（2）设购进“鲁班锁”x副，则购进“九连环”（2x+10）副，一共的购买费用为卬元,

两种益智玩具的总数量不少于70副，

x+（2x+10）>70,

解得xN20,

根据题意得：w=80x+40（2x+10）=160元+4。。，

160>0,

・••w随x的增大而增大，

.,.当x=20时，w取最小值，最小值为160x20+400=3600（元）；

此时2x+10=2x20+10=50,

；・购进“鲁班锁”20副，购进“九连环”50副，费用最少，最少费用为3600元

题型02一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案）

【解题策略】

根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。【典

一般答题思路：①根据题意列方程；②用含未知数的式子分别表示出几个未知的例分

量；

析】

③根据题意求自变量的取值范围；④根据题意列出符合题意的方

案；⑤选择最优方案。例.（2

023•内蒙

古呼和浩特•中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计

划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动.到达农场后分组进行劳动，若每位老师

带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6

名学生.劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每

辆车上至少要有1名老师.现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示

第7页共60页

甲型客车乙型客车

载客量/(人/辆)4530

租金/(元/辆)400280

(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需

租车辆；

(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名(2)6

(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元

【分析】(1)设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩

6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即

可；

(2)根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超

过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于言詈。6辆，即可解答;

(3)设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6-〃)辆，列出不等式组，解得4WaW5.1,设租车

费用为y元，得出y=120“+168。，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解

答.

【详解】(1)解：设参加本次实践活动的老师有x名，

38x+6=40x—6,解得：x=6,：.38x4-6=38x6+6=234,

答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；

(2)解：•.•每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，...汽车总数不超

过6辆，

:要保证所有师生都有车坐，，汽车总数不少于生£心=修(辆)，则汽车总数最少为6

辆,

第8页共60页

.••共需租车6辆，故答案为：6.

.、[400a+280（6-a）<2300

（3）解：设租用甲客车。辆，则租用乙客车（6-a）辆，145a+30（6、）>240，解得：

4<tz<5.1,

Ta为整数，・・・a=4或〃=5,

方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；

方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；

设租车费用为y元，y=400a+280（6-a）=120o+1680,

..T20>0,随”的增大而增大，

.,.当a=4时，y最小，y=120x4+1680=2160,

综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函

数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、

一次函数表达式.

【变式演练】

1.（2024•辽宁沈阳•一模）为防控新型冠状肺炎疫情，某药店制定口罩进货方案如下表：

口罩类别A种B种

进价（单位：元）3元2元

1.用不超过26000元购进A、B两种口罩共10000个；

备注

2.A种口罩不少于4000个.

（1）已知A种口罩售价是8种口罩售价的1.5倍.某顾客购买100个A种口罩和50个8种口罩，

一共付款480元，求A、B两种口罩的售价；

（2）为共克时艰，让利群众，在（1）的条件下，药店调整了销售方案；A种口罩每个售价降

低a元（0.1<a<0.3），8种口罩售价不变，这样所有口罩可以全部售完.问该药店应如何

第9页共60页

进货才能获得最大利润？

【答案】(1M种口罩的售价为3.6元，8种口罩的售价为2.4元；

⑵①当0.1＜。＜0.2时，4种口罩购进6000个，8种口罩购进4000个，利润最大；②当。=0.2

时，利润均为4000元；③当0.2＜。＜0.3时，A种口罩购进4000个，2种口罩购进6000个,

利润最大.

【分析】本题考查了一次函数和不等式组的应用；(1)设8种口罩的数量的售价为x元，

则A种口罩的售价为1.5x元，，根据购买100个A种口罩和50个2种口罩，一共付款480元

即可列出方程求解，

(2)设购进A种口罩加个，则3种口罩的数量为(10000-m)个，根据商品利润计算总利润，

得到利润关于m的一次函数解析式，由。的取值范围分三种情况讨论即可.

【详解】(1)解：设B种口罩的数量的售价为x元，则A种口罩的售价为1.5x元，根据题

意得：

150x+50%=480,

解得x=2.4,

则L5x=3.6,

答：A种口罩的售价为3.6元，8种口罩的售价为2.4元；

(2)设购进4种口罩加个，则8种口罩的数量为(10000-相)个，根据题意得：

13加+2(10000-m)＜26000

＞4000

解得4000WaW6000,

设全部售完获得利润为y元，根据题意得：

y=(3,6—3—o)m+(2.4—2)(10000一〃?)=0.2m—am+4000=(0.2—a)m+4000,

,/0.1＜a＜0.3,

有以下三种情形：

①当0.1＜。＜0.2时，0.2—。＞0,随机的增大而增大，

第10页共60页

X4000<m<6000,

，〃?=6000时，y最大值；

故A种口罩购进6000个，8种口罩购进4000个，利润最大；

②当a=0.2时，0.2-a=0,获得利润均为4000元；

③当0.2<a<0.3时，0.2—。<0,

随机的增大而减小，

又40004机46000,

，〃?=400。时，y最大值；

故A种口罩购进4000个，8种口罩购进6000个，利润最大.

2.(2023・广东清远•二模)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，保障人民群众的身体

健康.据某市3月份统计，甲接种点完成一批加强针的接种任务用了小天，乙接种点完成

相同数量的加强针接种任务多用2天,且乙接种点平均每天接种加强针的人数比甲接种点少

20%.

(1)求整数机的值.

(2)接种工作包含登记、接种、留观，需要组队完成.某中学现有2160人符合接种加强针条

件，甲接种点需要组建A和8两种团队到校接种，A种团队每小时可完成100人的接种，B

种团队每小时可完成60人的接种.若A8两种团队共10个，其中A种团队不超过5个，要

求上午9点同时开始工作，中午12点前(包含12点)完成.问甲接种点有几种派遣方案前

往该中学可以在12点前(包含12点)完成该校加强针的接种.

【答案】⑴8

(2)有3种派遣方案

【分析】(1)根据题意列方程求解即可；

(2)根据题意，列不等式，解不等式即可；

(1)

解：根据题意得，

第11页共60页

机=(租+2)(1-20%)

解得：m—8

所以m的值为8.

(2)

设有A种团队x个，8种团队(10-x)个；

3[100x+60(10-x)]>2160

x<5

[x>3

解得：八

[x<5

x的解集为：34x45,

当x=3时，10-x=7；

当x=4时，10-x=6；

当x=5时，10-x=5；

所以有3种派遣方案.

3.(2023・山东济宁•一模)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月

20日在北京市和张家口市联合举行，北京是唯一一个既举办冬季奥运会又举办夏季奥运会

的城市.为了迎接2022年北京冬季奥运会，某校准备举行冬季长跑比赛,为奖励长跑优胜者，

学校需要购买一些冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融中性笔和徽章.了解到某商店中性笔的单价

比徽章的单价多11元，若买2支中性笔和3个徽章共需67元.

⑴中性笔和徽章的单价各是多少元？

(2)该商店推出两种优惠方案，方案一：消费金额超过200元的部分打八折；方案二：全店

商品打九折.若学校需要购买10支中性笔和30个徽章，选择哪种方案更优惠？

【答案】(1)中性笔和徽章的单价分别是20元和9元

(2)选择方案一更优惠

【分析】(1)设中性笔的单价是x元，则徽章的单价是(x-ll)元，根据买2支中性笔和3

第12页共60页

个徽章共需67元，即可列出一元一次方程，解出即可；

(2)根据方案一与方案二进行计算，比较结果即可得出那个方案更优惠.

【详解】(1)(1)设中性笔的单价是x元，则徽章的单价是(％-11)元，

根据题意，得：2x+3(x-ll)=67,

解得x=20,

x—11=20—11=9.

答：中性笔和徽章的单价分别是20元和9元.

(2)(2)方案一：10x20+9x30=470；

(470-200)x0.8=216,

200+216=416,

方案二：(10x20+9x30)x0.9=423.

因为416<423所以选择方案一更优惠.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题目条件正确的列出一元一次方程是解决

问题的关键.

题型03二元一次方程(组)与不等式的实际应用(最值)

【解题策略】

一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为X和y并列方程；②解二元一次

方程组。

③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一答题即可。

【典例分析】

例.(2023•黑龙江哈尔滨•中考真题)佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A,8两种不

同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套5款服装所用布料的米数相同，若

1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米.

(1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；

第13页共60页

（2）该中学需要A,8两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生

产多少套8款服装？

【答案】（1）每套A款服装用布料1.8米，每套8款服装需用布料1.6米

（2）服装厂需要生产60套B款服装

【分析】（1）每套A款服装用布料。米，每套8款服装需用布料方米，根据题意列出二元

一次方程组，解方程组即可求解；

（2）设服装厂需要生产x套8款服装，则生产。00-x）套A款服装，根据题意列出一元一

次不等式，解不等式即可求解.

【详解】（1）解：每套A款服装用布料。米，每套B款服装需用布料6米，根据题意得，

{a+2b=5

[3。+6=7'

[a=1.8

解得：A1^

答：每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；

（2）设服装厂需要生产x套8款服装，则生产（100-x）套A款服装，根据题意得，

1.8（100-无）+1.6x4168,

解得：x>60,

为正整数，

•••X的最小值为60,

答：服装厂需要生产60套8款服装.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式

以及方程组是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023・辽宁阜新•二模）在2022年卡塔尔世界杯期间，某商店分两次购入某款纪念册和

某款吉祥物两种商品进行销售，若两次进价相同，第一次购入25件纪念册和20件吉祥物共

第14页共60页

花费5250元，第二次购入20件纪念册和25件吉祥物共花费6000元.

（1）分别求每件纪念册和每件吉祥物的进价；

（2）为满足市场需求，商店准备第三次购入纪念册和吉祥物共400件，且购入吉祥物的数量不

超过纪念册数量的2倍，若进价不变，每件纪念册与每件吉祥物的售价分别为65元、220元，

求购入纪念册和吉祥物分别多少件时，商店获得利润最高.

【答案】（1）每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价200元；

⑵购入纪念册134件和吉祥物266件时,商店获得利润最高.

【分析】（1）设每件纪念册的进价为。元，和每件吉祥物的进价△元，根据题意列出相应

的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）设购入纪念册为机件，吉祥物购入（400-m）件，利润为w元，根据题意可以写出利

润与加的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值;

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键

是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质

解答.

【详解】（1）解：设每件纪念册的进价为。元，和每件吉祥物的进价b元,

25a+206=5250

由题意得

20a+256=6000

。=50

解得:

6=200

答：每件纪念册的进价为50元，每件吉祥物的进价200元;

（2）设购入纪念册为机件，吉祥物购入（400-〃?）件，利润为w元,

.=(65-50)+(220-200)(400-m),

w=15m+20(400-m),

整理得w=—5x+8000,

,：k=-5<0,

第15页共60页

，W随加的增大而减小，

:购入吉祥物的数量不超过纪念册数量的2倍，

400-m<2m,

,.400

・・mN----,

3

•••〃?为正整数，

加最小=134,而此时w取得最大值,

400—134=266,

答：购入纪念册134件和吉祥物266件时，商店获得利润最高.

2.(2023•江苏常州•二模)学校开展大课间活动，某班需要购买42两种跳绳.已知购买

2根A型跳绳和1根B型跳绳共需35元；购买3根A型跳绳和2根8型跳绳共需60元.

(1)购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元？

(2)若班级计划购买A,B两型跳绳共45根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购

买A型跳绳相根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？

【答案】(1)购买1根A型跳绳需10元，购买1根2型跳绳需15元

(2)购买跳绳所需最少费用是600元

【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，不等式的应用及一次函数的应用，理解题意,

列出相应方程及关系式是解题关键.

(1)设购买1根A型跳绳需x元，购买1根8型跳绳需y元，根据题意列出二元一次方程

组求解即可；

(2)设所需的费用为卬元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：设购买1根A型跳绳需x元，购买1根2型跳绳需y元，

2x+y=35

根据题意，得

3犬+2y=60

解这个方程组，得

第16页共60页

答：购买1根A型跳绳需10元，购买1根3型跳绳需15元.

(2)解：设所需的费用为W元，则

W=10m+15(45-ni)=-5/?;+675,

根据题意，得45-〃z>2m,

m<15,

■■m的最大值是15,

左=-5<0,W随相的增大而减小，

当初=15时，W的最小值是-5x15+675=600,

答：购买跳绳所需最少费用是600元.

3.(2023・湖北十堰,二模)某汽车贸易公司销售A,5两种型号的新能源汽车，A型车进货

价格为每台12万元，8型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车,

可获利19万元；销售1台A型车和2台8型车，可获利8万元.

(1)求销售一台A型、一台8型新能源汽车的利润各是多少万元？

(2)该公司准备用不超过300万元，采购A,3两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型

新能源汽车多少台？

(3)公司按照原售价销售B型新能源汽车，每月可卖100台，售价每降1000元，销量涨10台.设

该公司每台8型新能源汽车降r千元，要使降价后每月销售8型新能源汽车所得的利润超过

不降价时的每月销售B型新能源汽车所得的利润，直接写出整数f的最大值.

【答案】(1)销售一台A型、一台8型新能源汽车的利润分别为2万元，3万元

(2)最少需要采购A型新能源汽车10台

(3)整数t的最大值为19

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及二次函数的应用，解题

的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，

正确列出一元一次不等式；(3)根据各数量之间的关系，正确列出二次函数的表达式.

(1)设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万

元，根据“公司销售2台A型车和5台B型车，可获利19万元；销售1台A型车和2台5型车，

第17页共60页

可获利8万元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论;

（2）设需要采购A型新能源汽车加台，则采购8型新能源汽车（22-m）台，根据总价=单价

x数量，结合总价不超过300万元，即可得出关于根的一元一次不等式，解之取其中的最小

值即可得出结论；

（3）设该公司每台5型新能源汽车降f千元后的利润为w元，根据题意可得

w=-lOOOOr2+200000?+3000000,然后计算当w=3000000时所对应的f的值，从而可确定

“降价后每月销售B型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售5型新能源汽车所得

的利润”的r取值范围，结合题意可得结论；

【详解】（1）解：设销售一台A型新能源汽车的利润是X万元，销售一台B型新能源汽车

的利润是y万元，

f2x+5y=19

由题意，得：-,

[x+2y=o8

（x—2

解得：.，

U=3

答：销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润分别为2万元，3万元；

（2）设需要采购A型新能源汽车加台，则采购8型新能源汽车（22-祖）台，

由题意，得：12%+15（22-尤）4300,

解得：x>10,

答：最少需要采购A型新能源汽车10台；

（3）降价前每月销售B型新能源汽车的利润为：30000x100=3000000（元），

设每台B型新能源汽车降/千元，

.•.降价后每月销售8型新能源汽车的利润：

w=(30000-10007)(100+10。=—10000/+2000007+3000000,

当.=3000000时，得：-10000/+2000001+3000000=3000000，

解得：/■=0或r=20,

第18页共60页

，坟>3000000时，0<r<20,

；・整数/的最大值为19.

4.(2024.陕西西安.一模)为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行

销售.通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每

千克的进价比甲种水果多2元.

(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？

(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克,若水果店购进这两种水果共300

千克,其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍.则水果店应如何进货才能获得最大利润，

最大利润是多少？

【答案】(1)甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元

(2)水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元

【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量

的增减性是本题的关键.

(1)分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；

(2)将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于

这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字

母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量.

【详解】(1)解：设甲、乙两种水果的进价分别是X元和y元.

,—,f5x+3y=38

根据题意，得一，

[y=x+2

fx=4

解得/,

[y=6

甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元.

(2)解：设购进甲水果加千克，那么购进乙水果(300-加)千克，

m>2(300—m),

解得力2200,

第19页共60页

根据题意，售完这两种水果获得的总利润w=(6-4)m+(9-6)(300-m)=-m+900,

■.-l<0,

二w随加的减小而增大，

.,.当加=200时，w最大，此时w=—200+900=700,

300-200=100(千克)，

•••水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元.

题型04二元一次方程(组)与不等式的实际应用(方案)

【解题策略】

一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为X和y并列方程；②解二元一次方

程组。

③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一；如与方案性问

题综合，则参考题型。

【典例分析】

例.(2023•湖北恩施•中考真题)为积极响应州政府“悦享成长•书香恩施”的号召，学校组织

150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装.经市场调查得知，

购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同.

(1)男装、女装的单价各是多少？

(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的;，购买服装的总费用不超过17000元，那

么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？

【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元.

⑵学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用

为16800元

【分析】(1)设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；

(2)设参加活动的女生有。人，则男生有(150-a)人，列不等式组找到。的取值范围，再

设总费用为w元，得到w与。的关系，根据一次函数的性质可得当。取最小值时w有最小

值，据此求解即可.

第20页共60页

【详解】（1）解：设男装单价为X元，女装单价为y元,

x+y-220

根据题意得:

6%=5y

解得:

答：男装单价为100元，女装单价为120元.

（2）解：设参加活动的女生有。人，则男生有（150-a）人,

2

150—aW—a

根据题意可得3

120a+100（150-fz）<17000

解得：90<A<100,

••%为整数，

二。可取90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,一共11个数，

故一共有11种方案，

设总费用为卬元，贝Iw=120o+100（150-a）=15000+20a,

20>0,

...当a=90时，w有最小值，最小值为15000+20x90=16800（元）.

此时，150-a=60（套）.

答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元.

【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等

关系是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•山东荷泽・二模）当前我国约有十分之一的教师因为种种原因患上嗓音疾病.针对

于此，某校工会计划为超课时任务的教师配备音频放大器.已知购买2个A型音频放大器和

3个B型音频放大器共需352元；购买3个A型音频放大器和4个B型音频放大器共需496

第21页共60页

A型B型

(1)求AB两种类型音频放大器的单价;

(2)该校准备采购A3两种类型的音频放大器共30个，且A型音频放大器的数量不少于8型

音频放大器数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，并说明理由.

【答案】(1)A型音频放大器的单价是80元，B型音频放大器的单价是64元;

(2)最省钱的购买方案为：购买20个A型音频放大器，10个8型音频放大器.

【分析】(1)根据题意可以列出二元一次方程组，从而可以解答本题；

(2)根据题意列不等式，即可得到结论.

本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.利用方程的思想解答.

【详解】(1)解：设A型音频放大器的单价是x元，8型音频放大器的单价是>元,

2x+3y=352x=80

根据题意得:解得:

3x+4y—496y=64

答：A型音频放大器的单价是80元，8型音频放大器的单价是64元;

(2)解：最省钱的购买方案为：购买20个A型音频放大器，10个8型音频放大器，理由

如下:

设采购加个A型音频放大器，则采购(30-/71)个B型音频放大器，

根据题意得:m>2(30-/71),

解得：m>20.

设采购AB两种类型的音频放大器共需w元，则W=80〃Z+64(30-〃2),

即狡=16?”+1920.

16>0,

第22页共60页

随Hl的增大而增大,

又•〃?220,

...当〃2=20时，我取得最小值，此时30-%=30-20=10,

..•最省钱的购买方案为：购买20个A型音频放大器，10个B型音频放大器.

2.(2023・河南•三模)“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一，期间，节能

与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%,为历届冬奥会最高，某企业准备采购A,B

两种型号的新能源客车，若采购2辆A型新能源客车，5辆3型新能源客车则共需要430万

元，若采购5辆A型新能源客车，2辆8型新能源客车则共需要550万元.

(1)求A,B两种型号新能源客车的采购单价分别是多少万元？

(2)该企业准备采购A,B两种型号新能源客车共10辆，但能用来采购的资金不超过700万元,

A型新能源客车每辆可以载客36人，8型新能源客车可以载客22人，那么如何安排采购方

案，可以使这些车辆每天的载客量最大？每天最多可载客多少人？

【答案】(1)4种型号新能源客车的采购单价是90万元，2种型号新能源客车的采购单价是50

万元；

(2)4型新能源客车采购5辆，3型新能源客车采购5辆，可以使这些车辆每天的载客量最大,

每天最多可载客290人.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，掌握题意，列出一次函数和二

元一次方程是关键.

(1)设A,B两种型号新能源客车的采购单价分别是x万元、y万元，根据采购2辆A型

新能源客车，5辆3型新能源客车则共需要430万元，若采购5辆A型新能源客车，2辆8

型新能源客车则共需要550万元，列出二元一次方程组进行解答；

(2)设A种型号新能源客车的采购数量是m辆，则8种型号新能源客车的采购数量是

(10-加)辆，根据能用来采购的资金不超过700万元，列不等式求出机取值范围，再使这些

车辆每天的载客量最大，进行解答.

【详解】(1)解：设A,8两种型号新能源客车的采购单价分别是x万元、y万元,

2x+5y=430

根据题意得:

5x+2y=550

第23页共60页

答：A种型号新能源客车的采购单价是90万元，8种型号新能源客车的采购单价是50万元；

(2)解：设A种型号新能源客车的采购数量是加辆，则8种型号新能源客车的采购数量是

(10-㈤辆,

I艮据题意可得：90m+50x(10-/77)<700,

解得：m<5,

又A型新能源客车每辆可以载客36人，5型新能源客车可以载客22人，要使这些车辆每

天的载客量最大，应让A型新能源客车尽量多，

即机=5,A型新能源客车采购5辆，B型新能源客车采购5辆，36x5+22x5=290(人)，

答：A型新能源客车采购5辆，5型新能源客车采购5辆，可以使这些车辆每天的载客量最

大，每天最多可载客290人.

题型05分式方程的实际应用

【解题策略】

列分式方程解应用题的基本步骤：分式方程中常见的数量关系：

(1)审一一仔细审题，找出等量关系；、击击至V甲路程乙路程

速度差『V占甲时向乙时间

(2)设一一合理设未知数；

时间差=T~Tz卷等

(3)列一一根据等量关系列出方程；甲速度乙速度

(4)解一一解出方程；数量差=甲数量-乙数量号舞Iff

甲单价乙单价

(5)验一一检验增根；