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文档简介
江苏省连云港市东海高级中学2025届高三1月模拟调研数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.2.函数的图象大致是()A. B.C. D.3.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()A.4 B. C. D.4.设,,则()A. B. C. D.5.记等差数列的公差为,前项和为.若,,则()A. B. C. D.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2337.从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图:根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.9.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.10.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.11.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,满足条件,则的最大值为__________.14.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之________.“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:1.同意画“○”,不同意画“×”.2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.甲乙丙15.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.16.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,点、分别为,的中点,且平面平面.(1)求证:平面.(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,点Q为AE的中点.(1)求证:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC与平面DQF所成角的正弦值.19.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.20.(12分)如图,在三棱锥中,,,侧面为等边三角形,侧棱.(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥外接球的体积.21.(12分)已知中,,,是上一点.(1)若,求的长;(2)若,,求的值.22.(10分)如图所示,在四棱锥中,∥,,点分别为的中点.(1)证明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.2.B【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设,,则的定义域为.,当,,单增,当,,单减,则.则在上单增,上单减,.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.3.C【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点,得到,再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆,所以,解得,因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,即,解得,此时,因为,在递增,所以的最大值.故选:C本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系以及二次函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4.D【解析】
集合是一次不等式的解集,分别求出再求交集即可【详解】,,则故选本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算,属于基础题.5.C【解析】
由,和,可求得,从而求得和,再验证选项.【详解】因为,,所以解得,所以,所以,,,故选:C.本题考查等差数列的通项公式、前项和公式,还考查运算求解能力,属于中档题.6.C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.C【解析】
由题可得,解得,则,,所以这部分男生的身高的中位数的估计值为,故选C.8.D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.9.A【解析】
作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.10.D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.11.C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.12.B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
作出可行域,由得,平移直线,数形结合可求的最大值.【详解】作出可行域如图所示由得,则是直线在轴上的截距.平移直线,当直线经过可行域内的点时,最小,此时最大.解方程组,得,..故答案为:.本题考查简单的线性规划,属于基础题.14.91【解析】
设共有选票张,且票对应张数为,由此可构造不等式组化简得到,由投票有效率越高越小,可知,由此计算可得投票有效率.【详解】不妨设共有选票张,投票的有,票的有,票的有,则由题意可得:,化简得:,即,投票有效率越高,越小,则,,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为.故答案为:.本题考查线性规划的实际应用问题,关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.15.【解析】
利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】,所以复数的实部为2.故答案为:2本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.16.【解析】
易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,,因,所以,所以数列是以为首项,3为公差的等差数列,故,所以.故答案为:本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)【解析】
(1)首先可得,再面面垂直的性质可得平面,即可得到,再由,即可得到线面垂直;(2)过点做平面的垂线,以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出线面角;【详解】解:(1)∵,点为的中点,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分别为,的中点,∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)过点做平面的垂线,以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,∵,∴,,,,∴,,,设平面的法向量为,由,得,令,得,∴,∴直线与平面所成角的正弦值为.本题考查线面垂直的判定,面面垂直的性质定理的应用,利用空间向量法求线面角,属于中档题.18.(1)见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,连接,通过证明,证得平面.(2)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算出线面角的正弦值.【详解】(1)证明:连接交于点,连接,因为四边形为正方形,所以点为的中点,又因为为的中点,所以;平面平面,平面.(2)解:,设,则,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如图建立的空间直角坐标系.在等腰梯形中,可得.则.那么设平面的法向量为,则有,即,取,得.设与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.本小题主要考查线面平行的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理对式子化简求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面积,求解三角形的周长即可.【详解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周长为本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的面积公式,也考查计算能力,属于基础题.20.(1)见解析;(2).【解析】
(1)设中点为,连接、,利用等腰三角形三线合一的性质得出,利用勾股定理得出,由线面垂直的判定定理可证得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先确定三棱锥的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半径,再由球体的体积公式可求得结果.【详解】(1)设中点为,连接、,因为,所以.又,所以,又由已知,,则,所以,.又为正三角形,且,所以,因为,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的斜边的中点,所以点是的外心,由(1)知平面,所以三
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