2024年中考数学复习：胡不归最值模型专项练习

胡不归最值模型专项练习

1.正切值与胡不归最值问题（初三）

如图,AABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,D是线段BE上的一个动点，则CD+的最小值是（）

42遍B.4V5C.5V3D.10

2.菱形中的胡不归最值问题（初二）

如图所示，菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4V5„P为OB上一动点，则AP+90P的最小值为（）

3.特殊角与胡不归最值问题（初二）

如图,在八ABC中，ZA=15°,AB=10,P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP,贝!J^AP+的最小值是（）

45&B.5V3C.竿D.8

4等边三角形中胡不归最值问题（初二）

如图,△ABC为等边三角形,BD平分NABC,AB=2,点E为BD上动点,连接AE,则AE+并E的最小值为（）

5尺规作图角平分线胡不归最值问题（初二）

如图，在Rt△ABC^.AACB=90。,乙4BC=30°,AC=4,按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD,AE,使AD=4E.②分

别以点D和点E为圆心，以大于：DE的长为半径作弧，两弧在NB4C内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点P是线段AF上的

一个动点，连接CP,贝（JCP+号4P的最小值是

A

'E

P

D

M

CB

6.平面直角坐标系中的胡不归最值问题（初二）

如图.在平面直角坐标系中，点A坐标为（（0,3包）,点C坐标为（2,0）,点B为线段OA上一个动点，则.^AB+BC的最小值为（）

4罢B.5C.3V5D.5V3

7二次函数中的胡不归最值问题（初三）

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0--3）„若P是x轴上一

动点点D（0,1）在y轴上,连接PD,则V2PD+PC的最小值是（）

8直角三角形中的胡不归最值问题（初二）

如图，在Rt△48c中=90。,乙4=30°„则AB=2BC.请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2，点D是AB的中点，P

为边CD上一动点，则4P+：CP的最小值为（）

9先提取系数型胡不归最值问题（初二）

如图,在^ABC中，NA=90。，ZB=60°,AB=2,若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为.

10三角函数值与胡不归最值问题（初三）

如图.在八ABC中.AB=5,AC=4,sin4=1,BD14c交AC于点D.点P为线段BD上的动点，则PC+|PB的最小值为

11平行四边行中的胡不归最值问题（初二）

如图尸ABCD中../DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则P8+。£＞的最小值等于

12胡不归最值问题（初三）

如图，AC垂直平分线段BD,相交于点O,且（OB=0C/B4D=120°.

⑴.乙4BC=

（2）.E为BD边上的一个动点,BC=6,当AE+最小时，BE=

13菱形中的胡不归最值问题（初三）

如图，已知菱形ABCD的周长为99V2,,面积为李点E为对角线AC上动点，则JE+BE的最小值为

14菱形中的胡不归最值问题（初二）

如图,菱形ABCD中,.乙4BC=60°,,边长为3,P是对角线BD上的一个动点，贝*BP+PC最小值是

A

15平面直角坐标系中的胡不归最值问题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=T+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B.若定点P的坐标为（0-6b），点Q是y轴

上任意一点，则\PQ+QB的最小值为一.

16二次函数抛物线中的胡不归最值问题（初三）

如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,若点P为y轴上的

一个动点，连接PD,贝［J噜PC+PD的最小值为一.

17三角形折叠与胡不归最值问题（初二）

如图①,在^ABC中,N4CB=90。，=30。,点C沿BE折叠与AB上的点D重合.连接DE,请你探究：器=;请在这一结论的

AD

基础上继续思考：如图②,在4OPM中,4PM=90。/"=30°„若OM=2,点G是OM边上的动点，则PG+：MG的最小值为一.

18胡不归最值模型的问题探究和应用题（初二）

【问题探究】在等边三角形ABC中,AD±BC于点D.AB=2.

⑴如图1.E为AD的中点，则点E到AB的距离为一;

（2）如图2,M为AD上一动点.则\AM+MC的最小值为一；

【问题解决】如图3,A,B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km.今

计划在铁路线AC上修一个中转站M,再在BM间修一条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么

为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地—km处.

19二次函数中的胡不归压轴题(初三)

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(aW0)与y轴相交于点C(0,-2),与x轴分别交于点B(3,0)和点A,且tanZ.CAO=1.

(1)求抛物线解析式.

(2)抛物线上是否存在一点Q，使得乙BAQ=/-ABC,,若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；

(3)抛物线的对称轴交x轴于点D,在y轴上是否存在一个点P,使苧PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说

20二次函数中的胡不归压轴题(初三)

二次函数y=a/-2久+c的图象与x轴交于A、C两点点C(3,O),与y轴交于点B(0,-3).

⑴a=,c=.

(2)如图1,P是x轴上一动点，点D(0,1)在y轴上,连接PD,求y/2PD+PC的最小值；

(3)如图2,点M在抛物线上，若SMBC=3,求点M的坐标.

1.解:如图，作DH1AB于H,CM±AB于M.

•••BE^AC,，•••^AEB=90°,A:Etan/=—=2,

设AE=a,BE=2a,贝!］有：100=a2+4a2,a2=20,

a=2遍或—2场舍弃）,:.BE=2a=4倔

：AB=AC,BE±AC,CM±AB,

CM=BE=475（等腰三角形两腰上的高相等）,

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

BD

ACD+^=CO+DH,:.CD+DH>CM,

:.CD+^BD>4V5,

・•.CD+?3。的最小值为4愿.故选:B.

2.解:如图,过点A作AF±OC于点F,过点P作PE±OC于点E.连接AC交BO于点M.

•・♦四边形OABC是菱形，.•・AC_LOB,

0M=2V5,CM=V5,

:.PE=—OP:AP+—OP=AP+PE

•••当A、P、F三点共线,且垂直OC时,有最小值,AF即为所求，:.4P+$0P的最小值为4,故选:A.

3.解:如图,以AP为斜边在AC下方作等腰RtAADP,过B作BE1AD于E,

vZ-PAD=45

yXP+PB=DP+PB>BE,:ABAC=15°

・•・ZBAD=60°,.,.BE=ABsin60°=5V3,

：,^AP+PB的最小值为.故选:B.

彳/

E7

D

4.解:如图,过E作EH±BC于H,过A作AM±BC于M,

A

HM

・・・AABC为等边三角形,BD平分NABC,

LEBH=30。,EH=\BE,：.AE+^BE=AE+EH,当A、E、H三点共线,且垂直BC时AE+1BE有最小值，AM即为所求

的最小值.

在RtAABM中,NABM=60。,/.ZBAM=30°

BM=-AB=-x2=1

22

AM=V3BM=V3x1=V3,

AE+并E最小值为V5,故选:C.

5.解:理由如下:由作图步骤可知.射线AF为NCAB的角平分线，

•/ZABC=90°,ZB=30°,AZCAB=60°,

•；AM平分NCAB,

:.乙CAF=ABAF=^CAB=30。，过点P作PD±AB于点D,贝！]PD=^AP,

”CP+：4P=CP+PD,当C、P、D三点共线，且垂直于AB时，有最小值.

过点C做CE_LAB于点E,贝!]CE即为CP+的最小值，在RtAAPE中,NCAE=60。，<ZACE=30°,AE=^AC=4=2,二

CE=aAE=2V3

且垂直AD时,有最小值,CF即为所求，,.,CD=OD+OC=3=5,ZADC=60°,zDCF=30。，:DF=^CD=|,.-.CF=V3DF=学".^AB

+BC的最小值为第.故选:A.

7.解:过点P作PE±BC于点E,过点D作DF±BC于点F.

1•,二次函数y=必-2x+c的图象，与y轴交于点B(O,-3),

.,.c=-3，，二次函数的解析式为y=二-2>-3,令y=0,炉-2x-3=0,解得x=-1或3,

AA(-1,0),C(3,0),.t.08=00=3,

VZBOC=90o,ZOBC=ZOCB=45°,

在等腰RtACPE中,PE=苧PC

V2PD+PC=V2(PD+?PC)=&(PD+PE)

当PD+PE最小的时候,V2PD+PC有最小值.

二当D、P、E三点共线,且垂直BC时最小,DF即为所求DD(0,1),；.OD=1,BD=4,

.•.在RtADBF中,DF=瑞=/=2企

V2PD+PC的最小值为4.故选:A.

8.解:过C作CE，AB于E,过点P作PF±EC于F

VZACB=90°,点D是AB的中点，

CD="B=AD,

：NCAB=30°,.,.NB=60°,...△BCD为正三角形，

••.NDCE=30FPF=/P,

AP+^CP=AP+PF>AE,:乙CAB=30°,AC=2,

CE=^AC=1,.'.AE=y/AC2+CE2=V3,

AP+\CP的最小值为低故选:C.

9.解:：24D+CD=2（4D+匆D）,...当AD+最小时2AD+CD有最小值.如图，作NBCG=30。,过D作DE_LCG于E,DE=

|CD,：.AD+^CD=AD+DE,当A、D、E三点共线.且垂直于CG时,AD+DE有最小值,AF即为AD+\CD的最小值，

由题意，乙4CF=60°,ACAF=30°,CF=^AC=V3,AF=V3CF=3,即2AD+CD的最小值为6.故答案为:6.

10.解:过点P作PE1AB于点E,过点C作CH±AB于点H,VBD1AC,AZADB=90°,

..BD4.„Lcnx

smA=—=-,AB=5".BD=4,

AB51

由勾股定理得AD=>JAB2-BD2=3,

40PE3LC3c

smz.ABD=—=—=一，EP=-BP,

ABBP55

PC+,PB=PC+PE,即点C、P、E三点共线时,PC+：PB最小，PC+/B的最小值为CH的长，

■:SABC=-xACxBD=-xABxCH,

•••4x4=5xCH,CH=芋

PC+qPB的最小值为当.故答案为：系.

11解如图，过点P作PE_LAD,交AD的延长线于点E,过点B作BF_LAD,交AD的延长线于点F.

VAB^CD,.•.ZEDP=ZDAB=60°,/.ZDPE=30°,

•••DF=iDP,.-.PE=V3DF=yPD,

PB+与PD=PB+PE,：.当点B,点E三点共线且BE1AD时,PB+PE有最小值,EF即为所求的最小值.

•/ZA=60°,ZABF=30°,

AF=^AB=3,.'.BF=y[3AF=38，故答案为：3V3

12.解：(1)VAC垂直平分线段BD,...AB=AC,.\ZABD=ZADB,VZBAD=120°ZABD=(180°-120°)+2=30°,YOB=OC,OB±

OC,ZOBC=45°,ZABC=30°+45°=75°,故答案为:75°;

BC

(2)作A关于OB的对称点A,,过A作AG±A'B于G,过E作EF±A'B于F,：ZABO=30°,AZA'BO=30°,FE=|BE,AE+

BE=AE+FE>AG,

设AG与OB交于E',BE即为当AE+：BE最小时的BE,VBC=6,ZOBC=45°,.•.OB=OC=3V2,

•/ZA'BA=60°,AB=AB,AABA，为等边三角形，

：或.故答案为：

BG=^ZBA'=V6,.-.cos^ABDCO=D券C=Z*=4,.BE'=22^2.

13.解:连接BD交AC于点O,过点E作EF±AD于点E,过点D作DH±AB于点H,

HB

菱形ABCD的周长为9&YD=4B=竽,

•.•菱形ABCD的面积为竽，即苧X=竽,

ADH=2,

・••在RtAADH中,AH=VXD2-DH2=—,

_4

•••BH=,.在RtABDH中,BD=当,

:四边形ABCD是菱形.OB=OD=当,BDLAC,

・••在RtAAOD中，sinZ-DAO=

・••在RtAEAF中，EF=^AE,：.^AE+BE=EF+BE,

・•・当BE+EF最小时,豺E+BE最小,过点B作BG±AD于点G,BG为BE+EF的最小值,

、，立

,**A♦DnBG=9V29V2BG=9—

x—2,•0•—4x2

BG=2,.-.^AE+BE的最小值为2.

14.解:如图，作PM±AB于M,CH±AB于H,

C

"四边形ABCD是菱形,4PBM=*BC=30",

PM=+pc=PM+PC,根据垂线段最短可知,CH即为CP+PM的最小值.

在RtACBH中NHBC=60。，ZBCH=30°,

BH=-BC=CH=y/3BH=—,

222

■•.jBP+PC最小值是手,故答案为：吟

15.如图，作NOPG=30。,交x轴的负半轴于点G,过点Q作QE1PG于点E,则QE=\PQ,

■■^PQ+QB=QE+QB,当B、Q、E三点共线且垂直PG时,QE+QB有最小值.

过点B做BF±PG于点F.BF即为所求.

ZOPG=30°,ZFGO=60°,GO==6,

AGB=10,

在RtABGF中,乙GBF=30。，：.GF=^GB=5,BF=5^3

16.解:y=-x2+2x+3=-(%-3)(%+1)=-(%-l)2+4,:.当x=0时,y=3,当y=0时,x=3或x=l,该函数的对称轴是直线x=

1,

•・•二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,

・••点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3),点D的坐标为(1,0),

连接CD,作PE±CD于点E,

VOD=1,0C=3,ZCOD=90°,

CD=V10sin/。CD=,

Vio10

BPsin/PCE=PE=—PC,

r1010_

1/点A和点D关于点O对称，则PA=PD,则^PC+PD=PD+PE=PA+PE

当APE三点共线时,PE+PD的最小值就是AE的长，

ZEAD+ZEDA=ZDCO+ZEDA=90°,

.■^EAD=^DCO,.：s^EAD=^,

，厂.八3V10

•••cosZ-EAD=---,

io

AD=2,.-.AE=2X^=等，即*PC+PD的最小值为争，故答案为3V10

5'

17.解:@VZACB=90°,ZA=30°,

•••NABC=60。,,.•点C沿BE折叠与AB上的点D重合,

.,.ZDBE=ZCBE=30°,/.ZA=ZABE,

,.•ZBDE=ZC=90°,.,.AD=BD,

・••BC=BD,，AB=2BC,••.BC/ABj

②如图2,在OM的下方作NOME=30。,作GE±ME于点E,贝!JGE=GM,PG+^MG=PG+GE,当P、G、E三点共线,且垂直M

E时,有最小值，作PF±ME于点F,则PF即为所求,在RtAPMF中,PF=|,

PG+/MG）的最小值为I,故答案为：11-

18.解:（1）如图1,VAABC是等边三角形，

.•.AB=BC=2ZBAC=ZACB=ZABC=60°,

VAD±BC,AZBAD=30°,BD=1,.\AD=V3,

过E作EF±AB于点F,：E为AD的中点，

;EF==与故答案为：圣

图1图2

⑵如图2,作MG±AB于点(G,GM=\AM,：.\AM+MC=GM+CM作CH±AB于点H,由题意可知CH即为所求，求得(CH=

V3

即，M+MC的最小值为迎故答案为：V3;

【问题解决】如图3,作BD_LAC,垂足为点D,在AC异于点B的T则作NCAN=30。,作BF_LAN,垂足为点F,交AC于M,则点

M即为所求,在RtAABD中,4B=600km,BD=360km,；.AD=V6002-3602=480易知ZMBD=/MAF=30°,在RtAMBD中.ZM

BD=30°,BD=360km,贝!]MB=2MD,由勾股定理得MD=120A/3km,，AM=AD-MD=(480-1204)km.故答案为(480-120V3).

19.解:⑴'yo,-2),：.OC=2,VtanZCAO=1,=1,OA=2,4(-2,0)将A(-2,0),B(3,0),C(0,-2)代入y=ax2+bx+c,并

解得:a-b=—^,c=—2,

•••抛物线解析式为y=|x2-1x-2;

(2)存在一点Q,使得NBAQ=NABC,理由如下:如图，过A作AM〃BC交y轴于M,交抛物线于Q,作M关于x轴的对称点M1作

直线ANT交抛物线于QL•；AM〃BC,二NQAB=NABC,即Q是满足题意的点,TB(3,0),C(0,-2),

直线BC解析式是y=|x-2,

设直线AM解析式为y=|x+m,将A(-2,0)代入得4E=?,-g+nt=0,m=:

•••直线AM解析式为y=|工+%M(0,3把抛物线与直线AM联立方程组，解得｛获蓝(与A重合,舍去)或

M关于x轴对称，,ZQ,AB=ZQAB=ZABC,(0,-Q，是满足题意的点设直线AQ为y=kx-g,将A(-2,0)代入得-

4

2y=0,

・•・k=-1直线AQ为y=-|x-海抛物线与直线AM联立方程组，并解得代二孩借去)或/:工,Q(l，-2);

综上所述，点Q坐标是(5号)或(1,-2);

(3)在y轴上存在一个点P,使日PC+尸。值最小，理由如下:过P作PH1AC于H,过D作DG1AC于G,如下图：

•••抛物线对称轴是直线x=|,.-.D(1.0),

•••OA=OC=2,••.△AOC是等月要直角三角形，

.•./OCA=45o=/OAC,,45是等腰直角三角形,PH=^PC,.-.^PC+PD=PH+PD,

■.当D、P、H三点共线,且垂直AC时最小,DG即为所求的与P