2024年辽宁省营口市某中学九年级中考数学模拟预测题(二)(解析版)

数学

注意事项：

1.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无

效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将

自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.某芯片公司的最新一代CPU的时钟频率是5.2GHz,该公司1971年研制的世界第一枚4位微型处理器的

时钟频率为0.000108GHz.将0.000108用科学记数法表示为（）

A.1.08x10-3B.1.08x10-4C.1.08x10-5D.10.8x10-5

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法的定义解答，把一个数表示成4X10〃（其中14网＜10,〃是整数）的形式，叫做

科学记数法，当表示的数的绝对值小于1时，〃的值等于原数中第一个非零数字前面所有的0的个数的相反

数.

解：0.000108=1.08x10-4.

故选：B.

【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义及10的得指数的计算方法.

2.棒卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫样,

凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可.

解：由题意，得：“卯”的主视图为：

故选C.

【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键.

3.估计理（A+M）的值应在（）

A.7和8之间B.8和9之间

C9和10之间D.10和H之间

【答案】B

【解析】

【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断.

解：江（^+皿）

=716+720

=4+275

,/2<5/5<2.5,

4<2>/5<5,

8<4+2,^5<9,

故选：B.

【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关

键.

4.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一

个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（）

2820

A.——B.-，

27927D27

【答案】B

【解析】

【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只

有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解.

解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的小正方体,

在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有

一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，

可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，

满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，

62

所以所求概率为方=..

故选：B.

【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题.

5.如图，某海域中有4,B,。三个小岛，其中/在5的南偏西40。方向，C在2的南偏东35°方向，且

8,C到/的距离相等，则小岛C相对于小岛N的方向是（）

A.北偏东70°B.北偏东75°C.南偏西70°D.南偏西20°

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得//8C=75°,AD//BE,AB=AC,再根据等腰三角形的性质可得/4SC=/C=

75°,从而求出/8/C的度数，然后利用平行线的性质可得/。/8=//3石=40°,从而求出/NC的度

数，即可解答.

解：如图：由题意得：

/ABC=NABE+/CBE=4Q°+35°=75°,AD//BE,AB=AC,

：.ZABC=ZC=75°,

.•.NA4C=180°-ZABC-ZC=30°,

'：AD//BE,

；・/DAB=NABE=40°,

：.ZDAC=ZDAB+ZBAC=40°+30°=70°,

，小岛。相对于小岛/的方向是北偏东70。，

故选：A.

【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

4（x-l）>3x-l

6若关于X的不等式组青〉3x+2a的解集为x>3,则。的取值范围是。

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是x>3求出。的取值范围即可.

4（x-l）>3x-1①

解■5x>3x+2a②

解不等式①得：x>3,

解不等式②得：x>a.

4（x-l）>3x-l

•.•关于x的不等式组<的解集为x>3,

5x>3x+2a

：.a<3,

故选：D.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到”的原则是解答此题的关键.

7.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹

饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第

二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千

克，依题意所列方程正确的是()

96006000八“96006000八，60009600八，60009600

A,_=0.4B.----------------=0.4C,----------------=0.4D.-------=0.4

1.5xxx1.5%1.5xxx1.5%

【答案】A

【解析】

【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程.

设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为l・5x千克，根据题意，得

96006000八,

----------------=0.4

1.5xx

故选：A

【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键.

8.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(加)与挖掘时间x(〃)之间的关系如图所

示.根据图象所提供的信息分析，下列说法正确的是()

A.甲队开挖到30m时，用了2〃

B.乙队在g烂6的时段，y与x之间的关系式y=5x+20

C.当两队所挖长度之差为5加时，x为3和5

D.x为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等

【答案】D

【解析】

【分析】图意是：甲、乙都是工作了6小时；甲用了6小时挖河渠的长度是60加，乙前2个小时挖河渠

30m,后4个小时挖河渠20机，乙一共挖了50加.

解：/、根据图示知，乙队开挖到30加时，用了2队甲队开挖到30加时，用的时间是大于2h.故本选项错

误；

B、根据图示知，乙队挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x5)之间的函数关系是分段函数：在0〜2人时，y

与x之间的关系式y=15x.故本选项错误；

C、由图示知，甲队挖河渠的长度j(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系为：y=10x(0<x<6),

乙队挖河渠的长度y(m)与挖掘时间X⑺之间的函数关系为：

15x(0<x<2)

y=〈

[5x+20(2<x<6),

当0SxW2时，当两队所挖长度之差为5%时得：15x-10x=5,

解得：x=l；

当2〈烂6时，当两队所挖长度之差为5%时得：|10x-(5x+20)|=5,

解得：x=3或5；

二当两队所挖长度之差为5加时，x为1,3和5；故本选项错误；

D、甲队4〃完成的工作量是：10x4=40(加)，

乙队4〃完成的工作量是：30+2x5=40(加)，

•.-40=40,

二当x=4时，甲、乙两队所挖河渠长度相同.故本选项正确；

故选D.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，施工距离、速度、时间三者之间的关系的运用，但难度不大，读懂

图象信息是解题的关键.

9.如图，在菱形48C。中，分别以8、。为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点P、Q,连接

PQ,若直线P0恰好过点。与边8。交于点E,连接ZE,则下列结论错误的是()

A.ZCBA=120°B,若/。=3,则/£=生

2

CBE=-DEDS=25

2/\ADE/\ABE

【答案】c

【解析】

【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质即可求解.

解：根据题意，可知DELBC,BE=CE,即DE是8C的垂直平分线，

A选项,

•.•DE是的垂直平分线，

/.ZCED=90°,BE=CE=；BC,

•.・四边形48CD是菱形，

；,BC=CD,

BE=CE=—CD,且ACDE是直角三角形,

-ZCDE=30°,ZC=60°

二根据菱形的性质4811c。得，48=180°—60°=120。，故A选项正确，不符合题意;

B选项，

1•DE是BC的垂直平分线，BC//AD,

ZADE=90°,即V/DE是直角三角形，且4。=8=3,

・・•△8CZ）是直角三角形，NCDE=30。,

113

•CE=-CD=-x3=-

,,222'

在Rt^CQE中，£>E=JJCE=JJx?=亭，

.•.在RtA4D£中，AE=《ADz+DEz=+2+当。=浮,故B选项正确，不符合题意;

C选项，

•.•DE是的垂直平分线，四边形/BCD是菱形，

BE=CE=-BC=-CD,ZCED=90°,

22

...CD>DE,则1.CD>；DE,

BE>；DE,故C选项错误，符合题意；

D选项，

根据题意，BE=；AD,AD||BE,ED是△ADE,LABE的高,

△/£>瓦△48£的高相等，

S=LAD・EDS=-BE»ED=LXLADXED=LADXED

LADE244BE2224

・・・s=2S故D选项正确，不符合题意;

LADEAABE

故选：C.

【点睛】本题主要考查菱形，垂直平分线的综合，掌握菱形的性质，垂直平分线的性质，含30°角的直角三

角形的性质等知识是解题的关键.

10.如图，一次函数y=2x与反比例函数y=—(k>0)的图象交于A,B两点，点P在以C(-2,0)为圆

x

3

心，1为半径的。C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为则k的值为()

329

D.

。258

【答案】C

【解析】

【分析】如图，连接BP,由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=/BP,再根据OQ的最

大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BDLx轴于D,继而

k

根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=—(k>0)的图象上,

x

利用待定系数法即可求出k的值.

如图，连接BP,

由对称性得：OA=OB,

...Q是AP的中点，

.,.OQ=i-BP,

3

：OQ长的最大值为爹，

3

，BP长的最大值为］X2=3,

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD_Lx轴于D,

VCP=1,

；.BC=2,

在直线y=2x上，

设B(t,2t),贝！|CD=t-(-2)=t+2,BD=-2t,

在RtABC,D中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2,

/.22=(t+2)2+(-2t)2,

4

t=o(舍)或t=-5，

48

••B(-—,一§)，

k

•・•点B在反比例函数y=>k>。）的图象上,

4832

k=一一x(—)=—

5525

故选C.

【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基

本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时0Q有最大值是解题的关键.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）

11.已知。=2+、/与，b=2-yji3,则代数式。26-。拉的值等于,

【答案】273

【解析】

【分析】先求出。―6=23，ab=l,再由或'—=ab(a—6)进行求解即可.

解：a=2+y/3,b=2—W,

：.a-b=2+j3-2+^=2j3,仍=Q+0)xQ-Q)=4-3=1,

/.a2b-ab2

=ab(a-b)

=1x273

=2p,

故答案为：2r.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，正确得到a-b=2jl,=1是解题的关

键.

12.设a,0是方程jp—x—2023=0的两个实数根，则az+aB+B?的值为.

【答案】2024

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数关系可以求出a+P=1，ap=-2023,cu+aB+B?可化为

(a+B)2-a(3,代入求值即可解答.

.：a，B是方程x2—x—2023=0的两个实数根

由一元二次方程根与系数关系可得：

a+p=1,ap=-2023

而&2+邓+02=(a+P)2-aP

=1+2023

=2024

故答案为2024.

【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题

的关键.

13.如图，在平面直角坐标系中，已知©£)经过原点。，与X轴、了轴分别交于A、8两点，点8坐标为

(0,273),OC与。。交于点C,ZG>G4=30°,则圆中阴影部分的面积为.

【答案】2兀一2jI##-2jJ+2p

【解析】

【分析】由圆周角定理可得N0A4=NC=30。，在RtZXAOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长,

然后根据S阴=$半-S4ABO求解即可・

连接48,

-.■ZAOB=90°,

・••/8是直径，

根据同弧对的圆周角相等得NOA4=NC=30°,

,­,OB=2>/3,

OA=OBtanAABO=OBtan30==273x^-=2,A8=NO+sin30。=4,即圆的半径为2,

nx221r—f—

:,S=S-S=--x2x2J3=2K-2J3.

阴影半圆A4BO22

故答案为2兀一2J5.

【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④

圆、直角三角形的面积分式.熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

14.如图，在一块斜边长30c机的直角三角形木板(R4CB)上截取一个正方形COE尸，点。在边8c上,

点E在斜边48上，点尸在边NC上，若AF：AC=1：3,则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面

积为________

【分析】设/尸=尤，根据正方形的性质用x表示出所、CF,证明根据相似三角形的性质

求出8C,根据勾股定理列式求出x,根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可.

设4产=x,

9：AF：AC=1：3,

：.AC^3x,CF=2x,

•四边形CDEF为正方形，

：.EF=CF=2x,EF//BC,

S.AAEF^^ABC,

EFAF1

"SC=AC=3*

.'.BC=6X9

在放△ZBC中，AB2=AC2+BC2,即302=(3x)2+(6x)2,

解得，x—2y/5,

:・AC=6y^,BC=\2p,

.••剩余部分的面积=/xl2Gx68-4J5"x46=100(cm2)

故答案为：100cm2.

【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题

的关键.

15.如图，将矩形纸片48。折叠，折痕为点/，N分别在边上，点C,。的对应点

分别在E,F,且点尸在矩形内部，血口的延长线交边8。于点G,跖交边于点H.EN=1,

48=4,当点"为GN三等分点时，的长为.

【答案】2nzi或3

2

【解析】

【分析】根据点〃为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明

ZGMN=ZMNG,得到MG=NG,证明AFGHS^ENH,求出尸G的长，过点G作GP_L4D于点尸，

则尸G=48=4,设MD=MF=x,根据勾股定理列方程求眇即可.

解：①当初=：GN时，GH=2HN,

;将矩形纸片48C。折叠，折痕为

MF=MD,CN=EN,NE=NC=ND=AMFE=90°,ZDMN=NGMN,AD//BC,

ZGFH=90°,NDMN=ZMNG,

ZGMN=ZMNG,

:.MG=NG,

■：ZGFH=NE=90°,ZFHG=ZEHN,

:AFGHSAENH,

FGGH-

•___=____=2

■'WHN，

FG=2EN=2,

过点G作于点尸，如图所示：

贝ijPG=AB=4,

设MD=MF=x,则MG=GN=x+2,

；.CG=x+3,

PM=3,

-：GP2+PM2=MG2,即42+32=（x+2>,解得x=3或（舍去）,

:.MD=3.

②当G8=；GN时，HN=2GH,

•:4FGHs^ENH,

FG_GH

■,W-W-2'

FG=—EN=—

22

MG=GN=x+—

2，

3

CG=x+—

2

3

...PM=-

2

1|2,解得x=与1或S-1

-.■GP2+PM2=MGi,42+x+_(舍去),

22

“3

故答案为：哼1或3.

【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、相似三角形判定与性质、分类讨论的

思想等，根据勾股定理列方程求解是解题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，共75分.)

16.(1)计算：一|一3|+4COS45O-(-1)2023-褥

(11Aa-2

(2)计算：卜亍

1a+342—9/2a+6

2

【答案】(1)-2(2)―-

a-3

【解析】

【分析】(1)本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行特殊角的三角函数，乘方和开

方运算，再进行加减运算即可；

(2)本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可.

解：(1)原式=—3+4x#—(―1)-2/=—3+271+1—26=—2；

«-3+12(tz+3)

(2)原式二岛沿3)，不二

a-22(a+3)

G+3)G-3)a-2

_2

17.为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知

甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造

面积.

(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？

(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工

费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成.哪

一种方案的施工费用最少？

【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）

选择方案①完成施工费用最少

【解析】

【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米

的绿化改造面积，列出方程，求解即可；

（2）利用施工费用二每天的施工费用义施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用，再比较后即可得出结

论.

解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，

依题意得：x+x+200=800

解得：x=300,

x+200=500

•••甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米.

（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=600x罂9=14400（元）；

选择方案②乙队单独完成所需费用=400x黑9=16000（元）；

选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（400+600）x^2=15000（元）；

二选择方案①完成施工费用最少.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利

用总费用=每天支出的费用x工作时间，分别求出选择各方案所需费用.

18.为了解2018-2022年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘

2018-2022年吉林省粮食总产量及其增长速度

（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）

本年粮食总产量-去年粮食总产量

注:增长速度=xlOO%

去年粮食总产量

根据此统计图，回答下列问题：

(1)2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多万吨.

(2)2018—2022年全省粮食总产量的中位数是万吨.

(3)王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨.

结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“J”，错误的画“x”

①2018—2022年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产

量最高.()

②如果将2018-2022年全省粮食总产量的中位数记为。万吨，2017-2022年全省粮食总产量的中位数

记为6万吨，那么。<"()

【答案】(1)161.3

(2)3877.9

(3)①X；②J

【解析】

【分析】(1)根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9,

作差即可求解.

(2)根据中位数的定义，即可求解.

(3)①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高；

②根据中位数的定义可得分=--------------->3877.9,即可求解.

【小问1】

解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；

2019年全省粮食总产量为3877.9,

.•.2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.2—3877.9=161.3(万吨)；

故答案为：161.3.

【小问2】

将2018—2022年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8.

...2018-2022年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨

故答案为：3877.9.

[小问3]

①2018-2022年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总

产量不是最高.

故答案为：x.

ccrrc,3877.9+4039.2、。““八

②依题意，。=3877.9,b=-------------------->3877.9

,•b>a，

故答案为：V.

【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键.

19.某公司2月份销售新上市的N产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销

售N产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.

(1)求该公司销售/产品每次的增长率；

(2)若/产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价

措施，经调查发现，/产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70

万元，则每套/产品需降价多少？

【答案】(1)50%

(2)1万元

【解析】

【分析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,根据2月份及4月份该公司A产品的销售量，即可

得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设每套A产品需降价了万元，则平均每月可售出(30+/x20)套，根据总利润=每套的利润义销售数

量，即可得出关于了的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论.

【小问a

解：设该公司销售A产品每次的增长率为x,

依题意,得:20(1+。=45,

解得：5=0.5=50%,%2=-2.5(不合题意，舍去).

答：该公司销售A产品每次的增长率为50%.

【小问2】

设每套A产品需降价了万元，则平均每月可售出(30+言x20)套，

依题意，得：(2-y)(30+二x20)=70,

整理，得：4y2-5歹+1=0,

1

解得：y=-r,y=1.

142

答；尽量减少库存，

y=1.

答：每套A产品需降价1万元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

20.如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点3,A,D,E

均在同一直线上，AB=AC=AD,测得N8=55°,BC=1.8m,DE=2m（结果保留小数点后一位）

(1)连接C7),求证：DC-LBC；

（2）求雕塑的高（即点E到直线3c的距离）.

（参考数据:sin55°~0.82,cos55°«0.57,tan55°*1.43）

【答案】（1）见解析（2）雕塑的高约为4.2米

【解析】

【分析】（1）根据等边对等角得出=/ACB/ACD=NADC,根据三角形内角和定理得出

2（NB+NADC）=180°,进而得出/BCD=90°,即可得证；

Be]8

（2）过点E作斯,80,交6c的延长线于点尸，在RtAADC中，得出幺。=一-=——,则

cos5cos550

18

BE=AD+DE=2+——-,在RtZkEAF中，根据EF=8£-sinB,即可求解.

cos55°

【小问11

解：•.•48=/C=4D,

二NB=NACB/ACD=ZADC

•;/B+ZADC+ZBCD=180°

即2(N8+ZADC)=180。

ZB+ZADC=9Q°

即ZBCD=90°

DCLBC.

[小问2]

如图所示，过点E作EF,BC,交的延长线于点少,

在RtABDC中，ZS=55°,SC=1.8m,DE=2m

〃BC

cos5cos55°

1Q

・・.BE=BD+DE=2+-：-

cos55°

EF

在RtZ\£BF中，sin5=——,

BE

EF=BE-sinB

2+1-8

xsin55°

cos55°

2+篇

x0.82

~4.2（米）.

答：雕塑的高约为4.2米.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角

函数的定义是解题的关键.

21.如图，8。是。。的直径，A是。。上异于£C的点.。。外的点E在射线C8上，直线E4与S

垂直，垂足为。，且=设的面积为SQNCD的面积为s.

12

A

D

（1）判断直线EZ与。0的位置关系，并证明你的结论;

（2）若BC=BE,S、=mSj求常数加的值.

【答案】（1）EZ与。。相切，理由见解析

⑵I

【解析】

【分析】（1）E/与OO相切，理由如下：连接。4,先证AA4cs△/℃得=又证

/4BO=/BAO=ND4C,进而有NO4D=Na4C+NZX4c=90°,于是即可得E4与。。相切；

ScsAC2c8c23

（2）先求得q3=2,再证△£4§SA£C,得孝心==2,从而有=又

34SAB2AC22

△HBE^ABE

△B4CS“DC,即可得解.

【小问1】

解：E4与。0相切，理由如下：

.•8C是。。的直径，直线切与CD垂直,

•./BAC=/ADC=90。,

-DAAC=DCAB,

DA_DC

,商一记’

­.ABAC^ADC

:/ABO=/DAC,

-OA=OB,

,ZABO=ZBAO=ZDAC,

：ZBAC=ZBAO+ZOAC=90°,

.ZOAD=ZOAC+ZDAC=90°,

.OALDE,

.EA与O。相切；

[小问2]

解：：BC=BE,

•S=2S=2SS=S=S

△EAC&ABE1'"BCAEAB1，

Sc

•AEAC=2

,,S'

aABE

•：OAVDE,

.-.ZOAB+ZBAE=ZOAE=90°,

BAC=9Q°,ZOBA=ZOBA,

.-.ZOBA+ZECA=90°,

.../E4B=/EC4,

・"E=/E,

：.AEABS^ECA,

SAC2c

・AF4c=_______=2

,1s~ABT'

^ABE

ABi_1

"^O-2

又•.•NB/C=90。，

BC2_AC2+AB2_2+l_3

"~AC^~ACiF―2'

.AC2_2

••---------

BC23

ABAC^^ADC,

SSAC22

•m=_2_=△//,,=______=_

"SSBC23,

1MAC

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾

股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾

股定理等知识是解题的关键.

22.已知抛物线了=—x2+bx+cS,c为常数，c＞l的顶点为p,与x轴相交于A,3两点点A在点3的

左侧，与〉轴相交于点°,抛物线上的点"的横坐标为冽，且—c＜根＜?,过点"作W/C,垂足

为N.

（1）若6=-2,c=3.

①求点P和点A的坐标；

②当=/时，求点河的坐标；

（2）若点A的坐标为（一〃0）,且10〃/。，当/N+3〃N=9/时，求点用■的坐标.

【答案】⑴①点P的坐标为（T4）；点A的坐标为（—3,0）；②点M的坐标为（一2,3）

【解析】

【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得P的坐标，令y=o,解方程，即可求得

A的坐标；

②过点"作轴于点E,与直线NC相交于点少.得出。4=OC.可得RtA/。。中，

ZOAC=45°.Ri^AEF中，EF=AE,设点M—加2—2加+3）,点£（机,0）,根据“N=,解

方程即可求解；

（2）根据题意得出抛物线的解析式为>=—x2+（l—c）x+c.得点M（m,一加2+（1—c）加+c）,其中

1—C（\—C（1+c）2）1—C

-c<m<.则顶点尸的坐标为一一,---,对称轴为直线/:%二.过点“作于

点0,则/MQP=90。，点。（二3+（1—c）根+，.由儿得/PM0=45。.于是

MQ=QP.得出[=-2机一1,°2=—2机+1（舍）.，同⑴，过点“作MELx轴于点E,与直线/C相

交于点少，则点£（见0）,点尸（私一机T）,点初配,加2-1）.根据已知条件式，建立方程，解方程即

可求解.

[小问1]

解：①由b=—2,c=3,得抛物线的解析式为y=%2—2x+3.

y=-X2-2x+3=-（x+1）2+4,

.,.点P的坐标为（一1,4）,

当y=0时，一X2—2X+3=0.解得X]=—3,》2=1.又点A在点8的左侧，

..•点A的坐标为（一3,0）.

②过点M作ME_Lx轴于点£,与直线4。相交于点尸.

•.•点/(—3,0),点C(0,3),

OA=OC,可得Rb/IOC中，ZO/1C=45°.

：.Rt^AEF中，EF=AE.

:抛物线了=-天2-2工+3上的点”的横坐标为加,其中一3＜加＜一1,

点E（m,0）

得EF—AE—m—(—3)=加+3即点/（私加+3）.

(-m2-2m+3)-(m+3)=

：.FM=-m2-3m

RMKW中，可得N〃FM=45。.

FM=yj2MN.又MN=e,

得FM=2,即一加2—3加=2.解得加］二12,加之=一1（舍）.

.•.点M的坐标为（一2,3）.

【小问2】

•点Z（-c，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，其中c＞l,

/,-C2-bc-^-c=0.得6=1-。.

・•・抛物线的解析式为y=T2+(1—。)%+。.

得点一加2+（l-c）m+c）＞其中一。＜加〈12。

1-cj工（1+。）2

y--X2+(1-c)x+C=-X------

2

l-c(l+c)2)l-c

・••顶点尸的坐标为-Z-，—T—,对称轴为直线/：%=「一.

\2472

过点M作MQ,/于点Q,则/MQP=90°,点°[，S,-m2+(l—c)根+c

由攻〃NC,得/PMQ=45°.于是MQ=QP.

l-c(1+C)2

....-m=--------m2+(l-c)加+c]

即（c+2M2=1.解得=-2m-l.c^=-2m+1（舍）.

同⑴，过点M作腔，x轴于点£,与直线力。相交于点尸，

则点£（私0）,点尸（加，—加—1）,点M（m,加2—1）

AN+3MN=AF+FN+3MN=&EF+26FM=9&,

.・.yf2(~m-1)+lyjl(m2-l+m+l)=95/2

5。

即2次2+加一10=0.解得加—~-->m=2(舍).

122

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定

系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

23.同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两

个图形的启发，数学兴趣小组提出了