专题02-等差数列(重难点突破)解析版

BatchDoc-Word文档批量处理工具BatchDoc-Word文档批量处理工具专题02等差数列一、考情分析二、经验分享【基础知识】1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。①等差数列定义：定义法或。②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。2、等差数列的判断方法：定义法或3、等差数列的通项：或。①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；4、等差数列的前和：，。①前和是关于的二次函数且常数项为0.5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。①当时,则有，特别地，当时，则有.6、若是等差数列，，…也成等差数列.【方法总结】1、等差数列基本运算的解题思路：（1）设基本量a1和公差d．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.3、等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.4、等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列．5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点：（1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.（2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.6、等差数列的前n项和的最值问题（1）二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．注意：自变量n为正整数这一隐含条件.（2）通项公式法：求使()成立时最大的n值即可． 一般地，等差数列中，若，且，则①若为偶数，则当时，最大；②若为奇数，则当或时，最大．（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．

三、题型分析(一)等差数列的概念及其定义一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，即：____________________________或____________________________。特别注意：证明或判断等差数列____________________________。例1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤C．9斤 D．15斤【答案】D【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可.【变式训练1】．（2021·全国高二单元测试）已知等差数列{}，，则公差d的值是（）A．4 B．-6 C．8 D．-10【答案】A【分析】等差数列{}的通项公式即可求解．【详解】在等差数列{}中，公差故选：A【变式训练2】．（2021·全国高二单元测试）数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解．【详解】由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9，由等差数列的通项公式可得.故选：B【变式训练3】．在等差数列中,已知,则_____．【答案】20【解析】依题意，所以．或：【变式训练4】．设数列都是等差数列，若，，则____．【答案】35【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的性质，得，即，解得．（解法二）设数列的公差分别为,因为所以.所以.

(二)等差数列的通项公式等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；②若公差，则为递增等差数列；若公差，则为递减等差数列；若公差，则为常数列。例2．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学试题】在等差数列中，，，则（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】在等差数列{an}中，由得5a7＝100，即，又由，得4d=12，即d=3，所以2.故选B.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．由已知结合等差数列的性质求得a7的值，列关于的方程组求解即可.【变式训练1】．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高三期末）（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹丈，1丈尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（）A． B．是等比数列 C． D．【答案】BD【分析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，求出，再证明数列是等比数列，B选项正确；，A选项错误；，C选项错误；，D选项正确.【详解】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，由题意可得，解得，，，（非零常数），则数列是等比数列，B选项正确；，，，A选项错误；，，C选项错误；，，所以，D选项正确；故选：BD.【变式训练2】．求下列数列的通项公式（1）.已知Sn为等差数列的前n项和，，，求的通项公式；【解析】（1）设的公差为d．由得．由a3=4得．于是．因此的通项公式为．（2）.已知等差数列中，=1，，求数列的通项公式；【解析】设等差数列的公差为，则由解得=－2．从而，.已知等差数列满足，．求的通项公式；【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．因为，所以．又因为，所以，故．所以．（4）.等差数列中，，求数列的通项公式；【解析】设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（5）.设是等差数列，且．求的通项公式；【解析】设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴．∴．【变式训练3】．（2021·安徽高三一模（文））已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1=1，.（1）求{an}的通项公式；（2）记b=，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知递推关系，可得，即可写出{an}的通项公式；（2）由（1）知，裂项相消法即可求前n项和Sn.【详解】（1）由题意，得，即又数列的各项均为正数，即，则，∴的公差为，而，故.（2）由（1）知，∴【点睛】关键点点睛：（1）由正项数列，结合递推关系判断等差数列，写出通项公式.（2）根据（1）的结论求数列{bn}的通项，进而裂项相消法求前n项和Sn.

(三)等差中项若成等差数列，则A叫做与的_____________，且__________________。①当时,则有，特别地，当时，则有.例3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学理科试题】等差数列的前项和为，若，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由等差数列性质可知：，解得：，，本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.利用等差中项的性质可得，求得，再根据下角标的性质可求得结果.【变式训练1】．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】等差数列的前n项和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则（）A．21 B．24C．25 D．26【答案】D【解析】因为是方程的两根，所以，又由，故选D.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.求解本题时，根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.【变式训练2】．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟数学试题】等差数列中，，，则与等差中项的值为_____.【答案】11【解析】根据题意，等差数列中，，，则有， 所以与的等差中项为.故答案为：11．【名师点睛】本题主要考查了等差中项的概念，充分利用为等差数列时，若，则是解题的关键.求解本题时，利用可得与的等差中项.【变式训练3】．设等差数列的前项和，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，，选A.【变式训练4】．（2018福建南平质检一）等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意，因为为一个确定的常数，所以为一个确定的常数，又因为，所以为一个确定的常数.故选B.【变式训练5】．（2021·湖北宜昌市·高三期末）设数列的前n项和为，且，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先由条件判断数列是等差数列，再求公差和首项，求通项公式；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.【详解】（1）∵，∴∴是等差数列，设的公差为，∵，，∴，解得，∴．（2）∴．

(四)等差数列的前n项和等差数列的前和：____________________________或____________________________。例4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】记等差数列的前项和为.若，，则的公差为（）A．3 B．2C．−2 D．−3【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，，解得，故.故选A.【名师点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，考查等差数列公差的计算公式，属于基础题.求解时，根据等差数列的性质，由求得的值，根据等差数列公差的计算公式计算出公差.例5．（2021·全国高二课时练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题正确的是（）A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11【答案】AB【分析】由已知可得，再利用等差数列性质即可依次判断.【详解】，，，故A正确；又，故B正确；，故C不正确；可得{Sn}中最大项为S6，故D不正确．故选：AB.【变式训练1】．【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试数学试题】已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，解得，所以，故选B.【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题.解答时，根据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可.【变式训练2】．【河南省开封市2019届高三第三次模拟数学试题】设为等差数列的前项和，若，，则（）A．−3 B．−2C．2 D．3【答案】C【解析】由题得.故选C.【名师点睛】本题主要考查等差数列前n项和与通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，由题得到关于的方程组，解方程组即得解.【变式训练3】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大 C． D．【答案】ABD【分析】根据项的正负可判断AB，利用前项和与通项的关系可判断CD.【详解】因为，故，所以，因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.又，，故C错误，D正确.故选：ABD.【变式训练4】．（2020·江西高一月考）已知数列满足.（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）两边取倒数可得，从而得到数列是等差数列，进而可得的通项公式；（2），利用错位相减法求和即可.详解：（1）∵，∴，∴是等差数列，∴，即；（2）∵，∴，则，两式相减得，∴.

(五)综合性质【重难点突破—绝对值求和】例5．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】已知等差数列满足，则数列的前12项之和为（）A． B．80C．144 D．304【答案】D【解析】因为，所以.所以所以前12项之和为.故选D.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函