教师资格认定考试高级中学数学真题2021年上半年

教师资格认定考试高级中学数学真题2021年上半年一、单项选择题1.

使得函数f(x)=1/(1-x)一致连续的x取值范围是______。A.[0，1/3]∪[3/2，3]B.(-∞，1)C.(1.+（江南博哥）∞)D.(-∞，+∞)正确答案：A[考点]本题考查的是连续的一致性的相关知识。

[解析]根据一致连续性定理，如果函数在闭区间[a，b]上连续，那么它在该区间上一致连续。因为f(x)=1/(1-x)的定义域为(-∞，1)∪(1.+∞)，故f(x)在(-∞，1)∪(1，+∞)内连续，但不一致连续，而[0，1/3]∪[3/2，3]∈(-∞，1)∪(1.+∞)，故函数f(x)在[0，1/3]∪[3/2，3]一致连续，A项正确。

故正确答案为A。

2.

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中明确提出的数学核心素养不包括______。A.数据分析B.直观想象C.数学抽象D.合情推理正确答案：D[考点]本题主要考查课标的相关知识。

[解析]数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，D项正确。

本题为选非题，故正确答案为D。

3.

下列函数:f(x)=xx，g(x)=ex-lnx2，h(x)=xΠ+tanx，其中初等函数的个数是______。A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案：C

4.

设函数y=f(x)在x0的自变量的改变量为，相应的函数改变量为，表示的高阶无穷小。若函数y=f(x)在x0可微，则下列表述不正确的是______。

A．

B．

C．

D．正确答案：C

5.

抛掷两粒正方体骰子(每个面上的点数分别为1，2，…，6)，假定每个面朝上的可能性相同，观察向上的点数，则点数之和等于5的概率为______。A.15/36B.1/9C.1/12D.1/18正确答案：B[考点]本题考查的是等可能事件求概率的相关知识。

[解析]抛掷两粒正方体骰子出现的总情况数为6×6=36种，向上的点数和为5的情况有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共4种情况，故点数和为5的概率为4/36=1/9，B项正确。

故正确答案为B。

6.

方程x4-3x3+6x-4=0的整数解的个数是______。A.0B.1C.2D.3正确答案：C

7.

对于m×n矩阵A，存在n×s矩阵B(B≠0)，使得AB=0成立的充要条件是矩阵A的秩rank(A)满足______。A.rank(A)≤nB.rank(A)＜nC.rank(A)≥nD.rank(A)＞n正确答案：B[考点]本题考查的是线性方程组的相关知识。

[解析]必要性，由条件可设B=(β1，β2……βs)，则AB=A(β1，β2……βs)=(Aβ1，Aβ2……Aβs)，由题可知，B(B≠0)，即B为非零向量，故β1，β2……βs中至少有一个非零向量。因此，AX=0有非零解，故r(A)＜n；充分性：若r(A)＜n，则AX=0有非零解，设非零解为β1，β2……βs，即Aβi=0(i=1，2，3，……s)，令B=(β1，β2……βs)(B≠0)，B项正确。

故正确答案为B。

8.

在空间直角坐标系下，直线(x-2)/3=(y-11)/4=(z+1)/1与平面3x-2y+5=0的位置关系是______。A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行D.直线在平面上正确答案：C[考点]本题考查的是空间解析几何空间平面与直线关系的相关知识。

[解析]由题意可知直线的方向向量为s=(3，4，1)，过定点(2，11，-1)，平面的法向量n=(3，-2，-1)，因为sn=0，定点(2，11，-1)不在平面上，故直线与平面的位置关系是平行，C项正确。

故正确答案为C。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

已知三维空间中的两点A，B，其距离为2C，求到A，B两点距离之和等于2a(0＜C＜a)的点围成的立体图形的体积。正确答案：由题意可知，该立体图形为一个旋转椭球面，可由，

绕着X轴旋转一周得到，方程为，

所以由椭球面的体积公式得:所求立体图形的体积为。

2.

数学课堂教学过程中，为了鼓励学生独立思考、深入理解问题，教师常常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种教学方式可称之为“课堂留白”，请谈谈课堂留白的必要性及其意义。正确答案：(1)必要性：《高中数学课程标准(2017年版)》的基本理念之一是倡导积极主动。课堂中应该勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应限于接收、记忆、模仿和练习。数学课堂还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

(2)意义：①课堂留白符合新课程改革的要求新课程理念积极倡导自主、合作、探究的学习方式，强调把学生看作学习和发展的主体，课堂“留白”策略要恰如其分地契合新课程理念，在课堂上树立学生的主体地位，让教师充当课堂教学的配角，引导学生对所学新知进行解读、分析、消化、拓展，变学生被动接受为主动探索。

②课堂“留白”策略适应学生的心理发展心理学研究表明，课堂上长时间的“满堂灌"不利于学生接受和理解所学知识，适时留出有限的空白时间，反而能舒缓学生的紧张心理，集中学生的注意力，提高思维的质量。

③课堂“留白”策略有利于增强课堂效果，在课堂教学中注重“留白”能极大地发挥学生主观能动性，激发学生积极探索，自主学习数学的兴趣，将以“教”为主变为以“学”为主。应该说在课堂中巧设“留白”，能让师生之间适时地沟通、互动，实现了将课堂中的“教”与“学”融为一体，毫无疑问地将提高课堂效果。因此在教学，上要讲究课堂“留白”，教师必须要给学生留出独立思考的空间，以便激发学生的求知欲，启迪学生的思维。

3.

给出指数函数模型的两个实际背景，分别写出其对应的函数解析式，并简述指数函数模型的特点。正确答案：实际背景1：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%。那么，在2001-2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍?如果把我国2000年GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么：

1年后(即2001年)，我国GDP可望为2000年的(1+7.3%)倍；

2年后(即2002年)，我国GDP可望为2000年的(1+7.3%)2倍；

3年后(即2003年)，我国GDP可望为2000年的______倍；

4年后(即2004年)，我国GDP可望为2000年的______倍；

设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么y与x间又怎样的关系?

实际背景2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：。那么生物死亡了，5730年、5730×2年、10000年后，它体内碳14含量分别为多少?

指数函数模型特点:

①从时间上讲，标函数模型对时间间隔长短、否相等没有要求，因此建模相对比较灵活。

②从建模计算而言，指数函数模型是非线性模型，需要参数的初始值。

③从实际应用上讲指数函数适用于原始数据非负且符合指数函数变化规律特点的情形。

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)的概率密度为，用变量Y表示顾客对银行服务质量的评价值，若顾客等待时间不超过5(min)，则评价值为Y=1；否则，评价值为Y=-1，即4.

求X的分布函数；正确答案：当x≤0时，fx(x)=0，则X的分布函数，当x>0时，，则X的分布函数，综上，X的分布函数。

5.

求Y的分布律。正确答案：，则，所以Y的分布律为。

已知方程组有唯一解当且仅当行列式不等于零。请回答下列问题：6.

行列式②的几何意义是什么?正确答案：行列式②的几何意义就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积。

7.

上述结论的几何意义是什么?正确答案：上述结论的几何意义是方程组中三个方程所表示的平面交于一点。

三、解答题(本大题共10分)已知非齐次线性方程组1.

a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2?正确答案：题意知，齐次线性方程组解空间维数为2，即其系数矩阵秩为2，则，

，则a+5=-2，解得，a=-7。

2.

对于上小题中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。正确答案：由上小题知，a=-7则对增广矩阵B=(A，b)作初等行变为行阶梯型矩有:B=(A，b)=

则，令，解得，，即得基础解系

四、论述题(本大题共15分)1.

数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力，学生的数学运算能力具体表现为哪些方面?请以整式运算为例予以说明。正确答案：运算能力是中学数学教学的一项重要活动，在数学教学中贯穿始终，在运算律指导下，对具体式子进行演绎推理。

学生的数学运算能力具体表现为以下几个方面:

(1)合理运算；

(2)准确运算；

(3)有效运算；

(4)灵活运算；

(5)简约运算。

平面向量运算为例说明:

中学阶段平面向量运算的具体学习内容:

(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向共线的含义。

五、案例分析题(本大题共20分)在学习了“基本不等式”后，教师要求学生解决如下问题：设x、y均为正数，且满足x+2y=1，求的最小值。

一位学生给出的解法如下：

因为x，y均为正数所以

由x+2y=1，得:

由②得，

结合①③得，，

从而的最小值为。

问题：1.

指出上述解答的错误之处，分析错误原因，并给出正确解法；正确答案：材料中的解答错误之处在于在整个解题过程中，运用了两次均值不等式，对于①式等号成立的条件是，可得x=y时等号成立，对于②式等号成立的条件是，两次x和y的取值不同。

正确的解法为:因为x、y为正实数，且x+2y=1，所以

，

当且仅当时取等号，所以的最小值为。

2.

简述求二元函数最值的一般解法有哪些。正确答案：二元函数求最值的一般方法:

①基本不等式法:解决非负数有关最值问题时，经常采用该方法求最值。即符合“一正二定三相等”的条件下求最值的一种方法。

②数形结合法:解决线性规划问题:截距型z=ax+by、斜率型或距离型，常采用该方法。

③消元法:该方法主要是变二元为一元，再根据一元函数求最值的方法，在已知条件取值范围内，进行求最值。

六、教学设计题(本大题共30分)“等比数列前n项和公式”是普通高中数学教学的重要内容，请完成下列任务。1.

设计一组问题，说明学习“等比数列前n项和公式”的重要性；正确答案：导入设计：

教师活动：国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者。国王问发明者想要什么，发明者回答，请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求。

假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计，你认为国王能不能满足他的要求?请学生思考计算方法并在练习本上尝试计算。请一位学生在板演列式并解释每一项的意义。

学生活动：每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，所以是首项为1公比为2的等比数列，共64项，麦粒总数为1+2+22+……+263。

教师活动：这位同学能够利用已经掌握的知识解决实际问题，非常值得大家学习。那么如何计算这个式子结果呢?记S=1+2+22+……+263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，若给每一项都乘2，那么得到的新式子与原式相比较，中间有62项是对应相等的，作差是否会得到什么启发呢?请同学们前后四人为一个数学小组，利用3分钟的时间交流讨论，根据思路进行计算，并思考国王能否实现诺言。我请小组代表来展示你们的计算过程和答案。

学生活动：S=1+2+22+……+263①

2S=2++22+23……+263+264②

②-①得2S-S=264-1

教师活动：计算过程完整，结果准确，请坐。264-1这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言。国王的故事表明他的数学知识有所欠缺，今天我们就对等比数列的前n项和的知识进行探索。

同桌交流等比数列的定义，公式与性质，并回忆等差数列求和公式的推导过程。通过多媒体设备呈现棋盘放麦粒的故事，激发学生学习的兴趣，引导学生利用等比数列的性质进行列式，并通过初步渗透“错位相减”的思想方法，达到解决最终问题的目的。

2.

写出等比数列前n项和公式，并给出两种不同的推导方法；正确答案：推导过程：

方法一:错位相减法。

Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1①

qSn=a1q+a1q2+...+a1qn-1+a1qn②

①-②有(1-q)Sn=a1-a1qn

如果q≠1，则有

所以或

访法二:累加法

Sn=a1+a2+a3+...+an-1+an

又因为a2=a1q

a3=a2q

a4=a3q

......

an=an-1q

所以

a2+a3+...+an-1+an=q(a1+a2+a3+...+an-1)

Sn-a1=q(Sn-an)。

得(1-q)Sn=a1-a1qn

如果q≠1，则有

所以或

3.

针对上小题中的一种推导方法写出教学过程。正确答案：教学过程:

教师活动:我们已经学习了等比数列以及前n项和的概念与公式，请同学们看黑板，对于等比数列它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+...+an，若将每一项都用首项与公比相乘的形式表示出来，则Sn可以写成这样的形式Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1①

接下来请小组合作完成第二个等式并利用错位相减法得出结果。

学生活动:通过教师的引导提示，学生得出:

qSn=a1q+a1q2+...+a1qn-1+a1qn②

两式相减，有(1-q)Sn=a1-a1qn

如果q≠1，则有，

教师活动:这组代表的答案完全正确。请大家思考当q=1时，它的前n项和时什么结果。

学生活动:如果q=1，则Sn=na1，等比数列的各项相等，相当于常数列，它的前n项的和等于它的任一项的n倍。

教师活动:考虑问题非常细