云南省专升本（高等数学）模拟试卷2（共275题）

云南省专升本（高等数学）模拟试卷2（共9套）（共275题）云南省专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、证明：双曲线xy=1上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积均相等．标准答案：则任意一点(x0，)处的切线斜率k=切线方程为(x-x0)，令y=0，得x=2x0，令x=0，得则面积为定值，故题设命题成立．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)2、函数的定义域为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因此题为选择题，故根据四个选项，只要测试0，，1三个数是否在定义域内即可，选项(D)正确．3、下列各组中，两个函数为同一函数的组是()。A、f(x)=x2+3x﹣1，g(t)=t2+3t﹣1B、f(x)=，g(x)=x+2C、D、f(x)=3，g(x)=丨x丨+丨3-x丨标准答案：A知识点解析：两个函数当定义域和对应法则相同时即为同一函数，与自变量用哪个字母表示是没有关系的，故选项(A)正确．4、函数y=xtgx是()。A、有界函数B、单调函数C、偶函数D、周期函数标准答案：C知识点解析：由于y=x和y=tgx(正切函数)都是奇函数，故其乘积为偶函数，选项(C)正确．5、直线与平面4x﹣2y+z﹣2=0的关系为()。A、直线在平面上B、直线与平面垂直C、直线与平面平行D、直线与平面斜交标准答案：B知识点解析：由题意，直线的一般方程为故可得直线的方向向量=(﹣28，14，﹣7)=﹣7(4，﹣2，1)，显然与已知平面的法向量=(4，﹣2，1)平行，故直线与平面垂直，选项(B)正确．6、若级数an收敛，下列结论正确的是()。A、丨an丨收敛B、(﹣1)nan收敛C、anan+1收敛D、收敛标准答案：D知识点解析：由于an收敛，故an+1也收敛，根据级数收敛的性质可知，收敛，选项(D)正确．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、函数y=sgnx=的值域为________．标准答案：{﹣1，0，1}知识点解析：此题考查分段函数的值域，答案为{﹣1，0，1}．8、设f(x)=则f[f(x)]=________．标准答案：知识点解析：此题考查复合函数的构成方法，由题意，因f(x)=，9、=________．标准答案：1知识点解析：==e0=1．10、曲线的渐近线为________．标准答案：知识点解析：因故曲线没有水平渐近线；又因所以是一条垂直渐近线该题考查斜渐近线的求法，=故斜渐近线为11、函数的间断点为________．标准答案：x=0和x=2知识点解析：求函数的间断点即求不在函数定义域内的点，由可知，x=0和x=2都不在定义域内，故函数的间断点为x=0和x=2．四、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)12、设函数f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，求φ(x)．标准答案：由题意，f[φ(x)]=sinφ(x)=1-x2，当1-x2≥0时，φ(x)=2kπ+arcsin(1-x2)或φ(x)=2kπ+π-arcsin(1-x2)：当1-x2＜0时，φ(x)=2kπ+arcsin(1-x2)或φ(x)=2kπ-π-arcsin(1-x2)．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)=ex，求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：当x→1-时，当x→1+时，不存在．知识点解析：暂无解析16、若=e，试求常数a．标准答案：由=e2a=e，可得2a=1，a=知识点解析：暂无解析17、设y=ln(1+ax)，(a＞0)，求y″．标准答案：因y=ln(1+ax)，故知识点解析：暂无解析18、设求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f′(lnx)=1+x，求f(x)．标准答案：令lnx=t，则x=et，f′(t)=1+et，积分得f(t)=t+et+C，故f(x)=x+ex+C．知识点解析：暂无解析20、设u=ex/y，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求其中，D为y=丨x丨与y=x3所围区域．标准答案：画出图形，将积分区域D看作X-型区域，0≤x≤1，x3≤y≤x，由此知识点解析：暂无解析22、求标准答案：知识点解析：暂无解析23、在曲线y=x2(x＞0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与曲线以及x轴所围图形的面积为标准答案：由题意，画出图形如下图所示，可设所求点的坐标为(x0，x02)，由于y′=2x，故切线斜率k=2x0，切线方程为y-x02=2x0(x-x0)，令y=0得x=则切线、曲线及x轴所围成图形的面积为即解得x0=1，故所求点的坐标为(1，1)．知识点解析：暂无解析24、求的通解．标准答案：当x＞0时，原方程即为变量代换，令则y=xu，代入原方程可得分离变量得两边积分得arcsinu=lnx+C1，u=sin(lnx+C1)，也即=sin(lnx+C1)，故通解为y=xsin(lnx+C1)；当x＜0时，原方程即为，变量代换同上，原方程变为分离变量得两边积分得arcsinu=-ln丨x丨+C2，u=sin(﹣ln丨x丨+C2)，也即=sin(﹣ln丨x丨+C2)，故通解为y=xsin(﹣ln丨x丨+C2)=﹣xsin(ln丨x丨+C3)；两个通解可合并为y=丨x丨sin(ln丨x丨+C)．知识点解析：暂无解析云南省专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、判断题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知=e—2，则p=。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：=e—3p=e—2，故p=。2、曲线y=x(x—1)(2—x)与x轴所围成图形的面积可表示为∫02x(x—1)(2—x)dx。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：因为当0＜x＜2时，曲线y=x(x—1)(2—x)既有在x轴上方，也有在x轴下方的部分，所以面积表示为∫02｜x(x—1)(2—x)｜dx。3、函数f(x)在点x0处连续是在该点可微的必要但不充分条件。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：可微可导，可导必连续，连续不一定可导。4、()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：5、函数f(x)=的单调减区间是[—2，—1)和(—1，0]。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：f(x)=，定义域为(—∞，—1)∪(—1，+∞)，f′(x)=，当x∈[—2，—1)和(—1，0]时，f′(x)≤0。6、()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：，但当x→0时，ex+sinx→1，2x→0，不能再用洛必达法则了，此时不存在。7、()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：8、设y=x3+5x2+e2x，则y(10)=210e2x。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：一般求某函数的高阶导数，需先求前几阶导数，以发现规律，得出结论。通过此方法，求得y(10)=(x3+5x2+e2x)(10)=210e2x。9、设函数y=。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：10、设函数f(x)=4x+1，则f[f(x)—1]=16x。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：f[f(x)—1]=f(4x+1—1)=f(4x)=4.4x+1=16x+1。二、多项选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、下列等式中正确的有()标准答案：A,B,C,D知识点解析：重要极限：=e，故A选项正确。=e，故B选项正确。=e—3，故C选项正确。=e，故D选项正确。12、曲线y=1+的渐近线有()标准答案：A,C知识点解析：因=1，所以直线y=1是曲线的水平渐近线，而x=—3是y=的间断点，且=∞，所以直线x=—3是曲线的垂直渐近线。13、下列等式中正确的是()标准答案：A,D知识点解析：∫e2xdx==ln｜x｜+C。14、设函数f(x)为[—a，a]上的连续函数(a＞0)，则()标准答案：A,C知识点解析：由奇、偶函数在对称区间上定积分的性质可得。15、下列微分方程中，不是二阶常系数齐次线性微分方程的有()标准答案：B,C,D知识点解析：B选项因为有y2，所以不是线性的；C项可以整理为y″=是可降阶的高阶微分方程，且是非齐次的；D项可以整理为y″—2y′=—1，是二阶常系数非齐次线性微分方程。三、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、设函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则复合函数f[g(x)]为()A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇又偶函数标准答案：B知识点解析：。故应选B。17、设函数则f(x)在()A、x=0，x=1处都间断B、x=0，x=1处都连续C、x=0处间断，x=1处连续D、x=0处连续，x=1处间断标准答案：C知识点解析：因为在x=0处，，所以，因此f(x)在x=0处间断。在x=1处，，f(1)=1，所以，因此f(x)在x=1处连续。故应选C。18、若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a=()A、4B、2C、—2D、—4标准答案：D知识点解析：=1，所以a=—4。19、极限=()A、eB、e2C、e3D、e—2标准答案：B知识点解析：=e220、设f(x)具有二阶连续导数，f′(2)=0，=—2，则一定成立的是()A、f(2)是f(x)的极大值B、f(2)是f(x)的极小值C、(2，f(2))是曲线的拐点D、x=2不是曲线的极值点标准答案：A知识点解析：函数f(x)具有二阶连续导数，则=—2，故f′(2)＜0，所以f(2)是函数f(x)的极大值。21、函数y=在(—1，1)内()A、单调增加B、单调减少C、有极大值D、有极小值标准答案：A知识点解析：y′=＞0，因此y在(—1，1)内单调增加，故应选A。22、设y=ln(1+x)，则y(n)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：y′=。故应选A。23、设y=y(x)由参数方程确定的函数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：x′=3t2+3，y′=cost，故。24、=()A、0B、cosaC、1D、sina标准答案：B知识点解析：25、由方程xy+lny=1确定的隐函数x=x(y)的微分dx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：两边同时对y求导，得=0，即(xy+1)dy+y2dx=0，所以dx=26、已知f(x)的一个原函数为=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：27、∫xf(x2)f′(x2)dx=()A、f2(x2)B、f2(x2)+CC、f2(x2)+CD、f2(x2)标准答案：B知识点解析：∫xf(x2)f′(x2)dx=∫f(x2)f′(x2)d(x2)=∫f(x2)d[f(x2)]=f2(x2)+C28、=()A、—1B、—2C、1D、2标准答案：D知识点解析：29、由抛物线y=1—x2及其在点(1，0)处的切线和y轴所围成的平面图形的面积等于()A、1B、3C、D、标准答案：C知识点解析：y′=—2x，y′｜x=1=—2，故在点(1，0)处的切线方程为y=2—2x，则该切线与y轴的交点为(0，2)，曲线y=1—x2与y轴的交点为(0，1)，故所求面积为A=∫01[(2—2x)—(1—x2)]dx=。30、微分方程y′+ycosx=0满足初始条件y｜x=0=2的特解为()A、y=e—sinxB、y=e—cosxC、y=2e—sinxD、y=2e—cosx标准答案：C知识点解析：方程分离变量得=—cosxdx，两边积分得=—∫cosxdx，解得ln｜y｜=—sinx+C1，即通解为y=Ce—sinx，将初始条件y｜x=0=2代入通解可得C=2，故特解为y=2e—sinx。31、设函数f(x)=x(1—x)5+∫01f(x)dx如，则f(x)=()A、2x(1—x)5+B、x(1—x)5+C、2x(1—x)5D、x(1—x)5标准答案：B知识点解析：令∫01f(x)dx=A，则等式两边从0到1积分得∫01f(x)dx=∫01x(1—x)5dx+，即A=∫01x(1—x)5dx+，所以A=2∫01x(1—x)5dx。令1—x=t，则A=2∫01t5(1—t)dt=，故f(x)=x(1—x)5+。32、下列等式正确的是()A、d∫df(x)=f′(x)+CB、d∫df(x)=f(x)+CC、∫f′(x)dx=f(x)+CD、标准答案：C知识点解析：因积分与求导互为逆运算，故C项正确。A项d∫df(x)=d∫f′(x)dx=f′(x)dx。B项同A项。D项=f′(x)。33、导数=()A、(1+e2x)exB、(1+ex2)exC、(1+e2x)2xD、(1+ex2)e2x标准答案：A知识点解析：=[1+(ex)2](ex)′=(1+e2x)ex34、定积分=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：35、微分方程xy′=2x—y的通解是()A、x2+y2=CB、x+y=CC、y=x+1D、标准答案：D知识点解析：方程整理后可得y′+=2，此为一阶非齐次线性微分方程，利用通解公式可得云南省专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、一抛物线过(1，0)，(3，0)，证明：该抛物线与两坐标轴所围图形面积等于该抛物线与x轴所围图形面积．标准答案：由题意，可设抛物线的方程为y=a(x﹣1)(x﹣3)，a≠0，当a＞0时，抛物线开口向上，顶点(2，﹣a)在x轴下方，与y轴的交点为(0，3a)位于y轴正半轴，当a＜0时，抛物线开口向上，顶点(2，﹣a)在x轴上方，与y轴交点为(0，3a)位于y轴负半轴，但不论哪种情况，抛物线与两坐标轴同时围成的图形的面积S1=∫01丨y丨dx=∫01丨a(x﹣1)(x﹣3)丨dx=∫01丨a丨(1一x)(3一x)dx=抛物线与x轴所围图形的面积S2=∫13丨y丨dx=∫13丨a(x-1)(x-3)丨dx=∫13丨a丨(x-1)(3-x)=显然S1=S2，命题得证．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)2、函数的定义域为()。A、(﹣∞，﹣2]∪[3，+∞)B、[-3，6]C、[﹣2，3]D、[-3，-2]∪[3，6]标准答案：D知识点解析：用试探法解即可3、下列各组中，两个函数为同一函数的组是()。A、f(x)=lgx+lg(x+1)，g(x)=lg[x(x+1)]B、y=f(x)，g(x)=C、f(x)=丨1-x丨+1，g(x)=D、标准答案：C知识点解析：注意两方面，定义域和对应法则4、函数y=丨xcosx丨是()。A、有界函数B、偶函数C、单调函数D、周期函数标准答案：B知识点解析：简单判定即可选出答案5、直线x-1==z+8与直线的夹角为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：两直线的夹角即为两方向向量之间的夹角，取锐角6、下列结论正确的是()。A、若级数an2、bn2均收敛，则级数(an+bn)2收敛B、若级数丨anbn丨收敛，则级数an2、bn2均收敛C、若级数an发散，则an≥D、若级数an收敛，an≥bn，则级数bn收敛标准答案：A知识点解析：对于选项A，因an2+bn2≥2丨anbn丨，且(an2+bn2)收敛，故丨anbn丨收敛，所以根据绝对收敛的性质，anbn也收敛，所以(an+bn)2收敛；选项B无法推出；选项C的一个反例为；选项D必须为正项级数结论才正确，一个反例为an=，bn=．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、函数y=[x]=n，n≤x＜n+1，n=0，±1，±2，L的值域为________．标准答案：{0，±1，±2，L}知识点解析：暂无解析8、设则f(x)=________．标准答案：知识点解析：暂无解析9、=________．标准答案：0知识点解析：暂无解析10、曲线y=ln(1+ex)的渐近线为________．标准答案：y=0，y=x知识点解析：因ln(1+ex)=0，故y=0为水平渐近线；故y=x为斜渐近线．11、函数的间断点为________．标准答案：知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)12、设函数求f[f(x)]．标准答案：由题意，当丨x丨＞1时，f(x)=﹣1，故f[f(x)]=f(﹣1)=1；当丨x丨≤1时，f(x)=1，故f[f(x)]=f(1)=1；综上，f[f(x)]=1，x∈R．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求标准答案：知识点解析：暂无解析16、若在定义域上连续，试求常数C．标准答案：因f(x)在定义域上连续，故f(x)在x=c处必定连续，所以(x2+1)=c2+1，且f(c)=c2+1，所以=c2+1，解之得c=2或c=﹣2(舍去)．注：c3+c-10=(c﹣2)(c2+2c+5)，c3+c+10=(c+2)(c2-2c+5)．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=x(x+1)(x+2)L(x+2012)，求f′(0)．标准答案：注：本题也可使用函数乘积的导数公式推导求解．知识点解析：暂无解析18、设，求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设∫xf(x)dx=arctanx+C，求标准答案：等式两边对x求导，得=∫x(1+x2)dx=∫(x+x3)dx=知识点解析：暂无解析20、若u=ln(x2+y)，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求xylnxdxdy．标准答案：积分区域如下图所示．xylnxdxdy=∫12dx∫01xylnxdy=∫12[xy]01dx=∫12(x-1)dx=知识点解析：暂无解析22、求标准答案：记Sn=因(1项)，(2项)，(3项)，依此类推，(n项)，故Sn=共有项的和，又因为所以根据夹逼准则，知识点解析：暂无解析23、在曲线(a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小．标准答案：设切点坐标为(x0，y0)，方程两边对x求导，得故斜率切线方程为y-y0=(x-x0)，令x=0得y=令y=0得x=故面积S=又=1，故S=设f(x0)=x0则f(x0)最大时面积S即为最小，故令f′(x0)==0，得x0=经验证此驻点为f(x0)的极大值点，再根据题意，唯一的极大值点即为最大值点，此时y0=故所求切点为知识点解析：暂无解析24、若f(x)连续，且f(x)+2∫0xf(t)dt=x2，求f(x)．标准答案：等式两边对x求导，得f′(x)+2f(x)=2x，此为关于f(x)的一阶线性微分方程，P(x)=2，Q(x)=2x，故通解为f(x)=e﹣∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e﹣∫2dx(∫2xe∫2dxdx+C)=e-2x(∫2xe2xdx+C)=e-2x(xe2x-e2x+C)=x-+Ce-2x，原等式中，令x=0可得f(0)=0，代入上式可得C=故f(x)=e-2x．知识点解析：暂无解析云南省专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、极限=()A、1B、0C、∞D、不存在标准答案：A知识点解析：=1+0=1，故选(A)．2、若，则=()A、﹣1B、0C、1D、不存在标准答案：D知识点解析：因=﹣1，故不存在，选(D)．3、x=是函数y=的()A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点标准答案：B知识点解析：因是函数的可去间断点，选(B)．4、若=A，则A=()A、f′(x0)B、2f′(x0)C、0D、f′(x0)标准答案：B知识点解析：=f′(x0)+f′(x0)=2f′(x0)，选项(B)正确．5、看函数y=f(x)满足f′(x0)=0，则x-x0必为f(x)的()A、极大值点B、极小值点C、驻点D、拐点标准答案：C知识点解析：若f′(x0)=0，则x=x0必为f(x)的驻点，选(C)．6、下列等式中，正确的一个是()A、[∫f(x)dx]′=f(x)B、d[∫f(x)dx]=f(x)C、∫F′(x)dx=f(x)D、d[∫f(x)dx]=f(x)]+C标准答案：A知识点解析：选项(A)正确；d[f(x)dx]=f(x)dx，故选项(B)和选项(D)均不正确；∫F′(x)dx=F(x)+C，故选项(C)错误．故选(A)．7、直线l：与平面π：4x﹣2y﹣2z﹣3=0的位置关系是()A、平行B、垂直相交C、l在π上D、相交但不垂直标准答案：A知识点解析：直线l的方向向量=(﹣2，﹣7，3)，平面π的法向量=(4，﹣2，﹣2)，由于=﹣8+14-6=0，故，所以直线与平面的关系为1／π．又直线上的点(﹣3，﹣4，0)不在平面π上，故直线与平面的关系为1／π但l不在π上．选(A)．8、二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处存在偏导数是f(x，y)在该点可微分的()A、必要而不充分条件B、充分而不必要条件C、必要且充分条件D、既不必要也不充分条件标准答案：A知识点解析：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故选项(A)正确．9、当x＞0时，曲线()A、没有水平渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有铅直渐近线D、既有水平渐近线，又有铅直渐近线标准答案：B知识点解析：由可知，y=1为曲线的水平渐近线；故曲线无铅直渐近线．选项(B)正确．10、幂级数xn的收敛半径是()A、6B、3/2C、3D、1/3标准答案：C知识点解析：原幂级数即为，由＜1及可得，丨x丨＜3，故级数的收敛半径为3，选项(C)正确．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、设，g(x)=ex，则g[f(ln2)]=________．标准答案：e知识点解析：因0＜ln2＜1故f(ln2)=1，所以g[f(ln2)]=g(1)=e1=e．12、通过点(0，0，0)，(1，0，1)和(2，1，0)三点的平面方程是________．标准答案：x﹣2y-z=0知识点解析：设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，将以上三点代入该方程可得，代入一般方程可得，﹣Cx+2Cy+Cz=0．即平面方程为x﹣2y-z=0．13、当时，f(x)=是________函数(填“单调递增″、“单调递减″)．标准答案：单调递减知识点解析：当当故当时，f(x)=是单调递减函数．14、在x=0处是第________类间断点．标准答案：二知识点解析：因x→0时，没有极限，故x=0是第二类间断点．15、设f(x)=e﹣x，则=________．标准答案：知识点解析：由题意，f(x)=e﹣x，则f′(x)=﹣e﹣x，那么f′(lnx)=﹣e﹣lnx=于是16、设∫1xdt=x2+lnx-1，则f(x)=________．标准答案：2x+知识点解析：等式∫1xf(t)dt=x2+lnx﹣1两边对x求导可得，f(x)=(x2+lnx﹣1)′=2x+17、设为向量，若的夹角为，则=________．标准答案：知识点解析：根据及可得，故18、函数f(x)=2x3﹣9x2+12x+1在区间[0，2]上的最大值点是________．标准答案：x=1知识点解析：令f′(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2)=0，得驻点x=1和x=2．比较函数值f(1)=6，f(2)=5，f(0)=1，可知，函数的最大值为f(1)=6，故函数的最大值点为x=1．19、由曲线y=ex，y=e及y轴围成的图形的面积是________．标准答案：1知识点解析：曲线y=ex与直线y=e的交点坐标为(1，e)，故所围图形的面积为S=∫01(e-ex)dx=[ex-ex]01=1．20、微分方程满足初值y丨x=1=2的特解为________．标准答案：y=2x2知识点解析：原微分方程可变形为两边积分得ln丨y丨=2ln丨x丨+ln丨C丨=ln丨Cx2丨，故通解为y=Cx2．又当x=1时，y=2，代入通解表达式中可得，C=2，故原方程满足初值y丨x=1=2的特解为y=2x2．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)21、求极限标准答案：此题为“∞—∞″型的极限，解法如下：知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析23、设，求标准答案：因知识点解析：暂无解析24、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、求定积分∫01标准答案：=[arctanex]01=arctane-知识点解析：暂无解析26、求函数w=x++ey的全微分．标准答案：因+ey，故全微分知识点解析：暂无解析27、求微分方程的通解．标准答案：此方程为可分离变量的方程，分离变量可得方程两边分别积分，=∫2xdx，得ln丨y丨=x2+C1，即丨y丨=故原方程的通解为知识点解析：暂无解析28、求通过点M1(3，﹣5，1)和M2(4，1，2)且垂直于平面x﹣8y+3z﹣1=0的平面方程．标准答案：设所求平面的法向量为因平面过点M1(3，﹣5，1)和M2(4，1，2)，且又所求平面垂直于已知平面，且已知平面的法向量=(1，﹣8，3)，故所以可取为与平行的向量．因=(26，﹣2，﹣14)=2(13，﹣1，﹣7)，故可取又平面过点M1(3，﹣5，1)，故所求平面的方程为13(x﹣3)-(y+5)﹣7(z﹣1)=0，即13x-y﹣7z﹣37=0．知识点解析：暂无解析29、计算其中D是由抛物线)y2=x及直线y=x﹣2所围成的闭区域．标准答案：画出图形，抛物线y2=x与直线y=x﹣2的交点坐标为(1，﹣1)和(4，2)，将积分区域看作Y-型区域，﹣1≤y≤2，y2≤x≤y+2，则二重积分=∫-12dyxydx=∫-12y=知识点解析：暂无解析30、求幂级数的收敛半径和收敛域．标准答案：原级数即为故收敛半径收敛区间为(﹣1，1)．又当x=﹣1时，原级数即为发散；当x=1时，原级数即为收敛．故原级数的收敛域为(﹣1，1]．知识点解析：暂无解析31、某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省?标准答案：设堆料场的宽为xm，则长为设砌墙周长为y，则y=，得x2=256，x=16(x=﹣16舍去)．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当x=16时，函数有最小值．即当宽为16m，长为32m时，才能使砌墙所用的材料最省．知识点解析：暂无解析32、当x＞0，0＜a＜1时，xa-ax≤1-a．标准答案：原不等式即为xa-ax+0-1≤0．设f(x)=xa-ax+a﹣1，则(1)当x=1时，f(1)=1-a+a-1=0，即xa-ax+a-1=0成立；(2)当0＜x＜1时，f′(x)=axa-1-a=＞0，故f(x)单调增加，可得f(x)＜f(1)=0，即xa-ax+a-1＜0成立；(3)当x＞1时，f′(x)=axa-1-a=故f(x)单调减少，可得f(x)＜f(1)=0，即xa-ax+a﹣1＜0成立．综上，当x＞0，0＜a＜1时，不等式xa-ax+a-1≤0成立，即xa-ax≤1-a．知识点解析：暂无解析云南省专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、判断题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若都存在，则必存在。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：反例：设f(x)=(x+2)2，g(x)=，f(x).g(x)=x+2，当x→—2时，f(x)→0，f(x)g(x)→0，但g(x)极限不存在。2、若{an}收敛，{bn}收敛，则{an+bn}可能收敛，也可能发散。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：若{an}收敛，{bn}收敛，则{an+bn}也收敛。3、=∞—∞=0。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：因为=0—0=0。4、若当x→x0时，连续函数f(x)的极限存在为a，则f(x0)=a。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：∵f(x)为连续函数，∴=f(x0)=a。5、若f′(x)＞g′(x)，则f(x)＞g(x)。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：令H(x)=f(x)—g(x)，H′(x)=f′(x)—g′(x)＞0，只能得出f(x)—g(x)单调递增。例如，在区间(0，1)内，f(x)=x，g(x)=，则f′(x)=1，g′(x)=，可知在(0，1)上，f′(x)＞g′(x)，但f(x)＜g(x)。6、设y=25x，则y′=5.25x。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：y′=25x.ln2.(5x)′=5ln2.25x7、()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：当x→1时，x—1→0,x3—2x+1→0，=1存在，可以使用洛必达法则，故正确。8、函数y=arctan(x—1)的最大值是。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：y=arctan(x—1)的值域是，没有最大值。9、曲线y=x2，x=y2所围成图形的面积为。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：曲线y=x2，x=y2的交点为(1，1)和(0，0)，则面积S=。10、方程y″—4y′+3y=0的特征根为r1=1，r2=3，则其通解为y=ex+e3x。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：通解中应含有与方程阶数相等的任意常数，故通解为y=C1ex+C2e3x。二、多项选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、设函数f(x)=则()标准答案：A,B知识点解析：x→—1—时，x+1→0，≤1，利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小的性质可知f(x)在x=—1处连续；f(x)在x=0处不连续。12、下列广义积分发散的是()标准答案：A,B,D知识点解析：13、方程y″+4y′+3y=0的解有()标准答案：A,B,C,D知识点解析：特征方程为r2+4r+3=0，解得r1=—1，r2=—3，故通解为y=C1e—x+C2e—3x，C1，C2为任意常数，取相应的值，可得A、B、C、D项均为方程的解。14、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有()标准答案：B,C知识点解析：A项在x=1处不可导，故不满足罗尔定理；B项在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且y(0)=y(2)=1，故满足罗尔定理；C项在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且y(1)=y(2)=0，故满足罗尔定理；D项在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，但y(0)≠y(1)，故不满足罗尔定理。15、设区域D由x=a，x=b(b＞a)，y=f(x)，y=g(x)所围成，则区域D的面积表示错误的是()标准答案：A,B,C知识点解析：由题意可知b＞a，由定积分的应用中的面积公式可得到：区域D的面积为S=∫ab｜f(x)—g(x)｜dx三、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、当x→0时，x3+x是sinx()的无穷小。A、高阶B、低阶C、同阶D、等价标准答案：D知识点解析：=1，故应选D。17、曲线y=(x—1)x2的凹区间为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：函数的定义域是(—∞，+∞)，且y′=(x3—x2)′=3x2—2x，y″=6x—2令y″=0，x=，故以x=为分界点将定义域分成两个部分区间，并列表讨论如下：所以，在内曲线是凸的，在内曲线是凹的。18、=()A、B、C、16D、—16标准答案：A知识点解析：19、函数f(x)=为()A、0B、2C、5D、不存在标准答案：D知识点解析：20、=()A、—2B、2C、—1D、4标准答案：B知识点解析：=2，故应选B。21、已知函数y=x2+lnx，则y″=()A、2x+1B、2xC、x3+xD、标准答案：D知识点解析：y′=2x+，所以y″=2—，故应选D。22、已知f(x)=cosx，则在点处的切线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：f′(x)=sinx，故点处的切线斜率为—1，则切线方程为23、已知f(x)=1—x4在闭区间上[—1，1]满足罗尔中值定理，则在开区间(—1，1)内使f′(ξ)=0成立的ξ=()A、0B、1C、—1D、2标准答案：A知识点解析：f′(x)=—4x3，f′(ξ)=—4ξ3=0，则ξ=0，故应选A。24、设函数f(x)在区间(—1，1)内连续，若x∈(—1，0)时，f′(x)＜0；x∈(0，1)时，f′(x)＞0，则在区间(—1，1)内()A、f(0)是函数f(x)的极小值B、f(0)是函数f(x)的极大值C、f(0)不是函数f(x)的极值D、f(0)不一定是函数f(x)的极值标准答案：A知识点解析：由极值第一判定定理，可知f(0)应为函数f(x)的极小值，故应选A。25、设函数y=cos5x—sin3x，则y′=()A、—5sin5x—3cos3xB、5cos5x+3sin3xC、cos5x—sin3xD、cos5x+sin3x标准答案：A知识点解析：y′=(cos5x)′—(sin3x)′=—5sin5x—3cos3x。26、定积分∫01arctanxdx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：27、极限=()A、1B、C、0D、2标准答案：B知识点解析：28、若f(x)=e—x，则∫f′(lnx)dx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：f′(x)=—e—x，f′(lnx)=，∫f′(lnx)dx==—lnx+C。故应选D。29、设函数y=(sinx)x，则=()A、(sinx)x(lnsinx—xcotx)B、(sinx)x(lnsinx+xcotx)C、(sinx)x(lnsinx—xtanx)D、(sinx)x(lnsinx+xtanx)标准答案：B知识点解析：y′=[(sinx)x]′=(exlnsinx)′=exlnsinx(xlnsinx)′=exlnsinx(lnsinx+)=(sinx)x(lnsinx+xcotx)。30、=()A、x—ln(1+x2)+CB、x3+ln(x2+1)+CC、—ln(1+x3)+CD、标准答案：D知识点解析：31、如果f(x)的一个原函数为x—arcsinx，则∫f(x)dx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题意知f(x)=(x—arcsinx)′，所以∫f(x)dx=x—arcsinx+C。32、微分方程+2xy=e—x2满足y(0)=0的特解为()A、y=xe—x2B、y=—xe—x2C、y=2xe—x2D、y=—2xe—x2标准答案：A知识点解析：由公式得y=e—∫2xdx(C+∫e—x2e∫2xdxdx)=e—x2(C+x)，令x=0，得y=C=0，故所求特解为y=xe—x2。33、=0的通解为()A、B、y3+x3=CC、D、y3—x3=C标准答案：B知识点解析：分离变量可得—y2dy=x2dx，两边积分可得∫—y2dy=∫x2dx，解得+C1=，即x3+y3=C。34、微分方程y″+2y′+5y=0满足初始条件y｜x=0=2，y′｜x=0=0的特解为()A、e—x(2cos2x—sin2x)B、e—x(2cos2x+sin2x)C、e—x(cos2x+sin2x)D、e—x(cos2x—sin2x)标准答案：B知识点解析：微分方程的特征方程为r2+2r+5=0，解得r=—1±2i，微分方程的通解为y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)，∵y′=—e—x(C1cos2x+C2sin2x)+e—x(—2C1sin2x+2C2cos2x)，∴y｜x=0=C1=2，y′｜x=0=—C1+2C2=0，解得C1=2，C2=1，故微分方程的特解为y=e—x(2cos2x+sin2x)。35、已知曲线y=及x轴围成的平面图形的面积S=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：于是所求的面积为：云南省专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数的定义域是()A、[﹣3，1]B、[﹣3，﹣1)C、[﹣3，﹣1]D、[﹣1，1]标准答案：D知识点解析：因所以﹣1≤x≤1，故选项(D)正确．2、极限等于()A、0B、1C、1/3D、3标准答案：D知识点解析：故选项(D)正确．3、已知f′(1)=1，则等于()A、1B、﹣1C、2D、﹣2标准答案：D知识点解析：根据导数的定义，=﹣2f′(1)=﹣2，选(D)．4、设φ(x)=e﹣tdt，则φ′(x)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：，选项(C)正确．5、曲线y=x2与直线y=1所围成的图形的面积为()A、2/3B、3/4C、4/3D、1标准答案：C知识点解析：曲线y=x2与曲线y=1的交点坐标为(﹣1，1)和(1，1)，则所围图形的面积为∫-11(x2)dx=选项(C)正确．6、定积分∫-22xcosxdx等于()A、﹣1B、0C、1D、1/2标准答案：B知识点解析：因被积函数xcosx在[﹣2，2]上为奇函数，故∫-22xcosxdx=0。选项(B)正确．7、已知向量=(﹣1，﹣2，1)与向量=(1，2，t)垂直，则t等于()A、﹣1B、1C、﹣5D、5标准答案：D知识点解析：因向量垂直，故=0，即(﹣1)·1+(﹣2)·2+1·t=0，也即﹣5+t=0，故t=5．选项(D)正确．8、曲线y=x2在点(1，1)处的法线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据导数的几何意义，切线的斜率k=y′丨x=1=2x丨x=1=2，故法线方程为y﹣1=，即y=，选(B)．9、设函数f(x)在点x0处不连续，则()A、f′(x0)存在B、f′(x0)不存在C、必存在D、f(x)在点x0处可微标准答案：B知识点解析：根据“可导必连续″，则“不连续一定不可导″，选项(B)正确．10、un=0是级数un收敛的()A、必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、不确定标准答案：A知识点解析：根据收敛级数的性质，un=0是级数un收敛的必要条件．选项(A)正确．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、若函数在x=1处连续，则a=________．标准答案：2知识点解析：=1-a，因f(x)在点x=1处连续，故，即﹣1=1-a，a=2．12、x=0是函数f(x)=的第________类间断点．标准答案：一知识点解析：因，故x=0是函数f(x)的第一类间断点．13、若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于直线y=2x﹣3，则f′(x0)=________．标准答案：2知识点解析：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故f′(x0)=214、函数f(x)=2x3﹣9x2+12x的单调减区间是________．标准答案：[1，2]知识点解析：令f′(x)=6x2﹣18x+12=6(x﹣1)(x﹣2)=0，得驻点x=1和x=2；当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故函数的单调递减区间为[1，2]．15、设y=cos(sinx)，则dy=________．标准答案：﹣sin(sinx)cosxdx知识点解析：dy=dcos(sinx)=﹣sin(sinx)cosxdx．16、不定积分∫df(x)=________．标准答案：f(x)+C知识点解析：根据不定积分与微分的关系可得，∫df(x)=f(x)+C．17、∫01=________．标准答案：知识点解析：由定积分的几何意义，∫01表示曲线y=，直线x=0，x=1和x轴所围成的图形的面积，即圆面积，故∫01·π·12=18、“函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)存在″是“函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分″的________条件．标准答案：必要非充分条件知识点解析：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故“函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)存在″是“函数z=f(x，y)在点(x，y)可微分″的必要非充分条件．19、微分方程y″﹣4y′﹣5y=0的通解为________．标准答案：y=C1e﹣x+C2e5x知识点解析：原方程的特征方程为r2﹣4r﹣5=0，有两个不相等的实根r1=﹣1，r2=5，故原方程的通解为y=C1e﹣x+C2e5x．20、幂级数的收敛区间为________．标准答案：(﹣∞，+∞)知识点解析：因，故R==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(﹣∞，+∞)．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)21、求极限，其中c为常数．标准答案：=e2c．知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：知识点解析：暂无解析23、设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，求丨x=0．标准答案：方程2xy=x+y两边对x求导，考虑到y是x的函数，得2xyln2·整理得y2xyln2+x2xyln2·故当x=0时，代入原方程可得y=1，所以说明：当得到2xyln2·后，也可直接将x=0，y=1代入，得ln2=知识点解析：暂无解析24、求函数y=xsinx(x＞0)的导数．标准答案：y′=(xsinx)′==(esinxlnx)′=esinxlnx(cosxlnx+sinx·)=xsinx(cosxlnx+)．说明：此题也可用对数求导法求解．知识点解析：暂无解析25、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析26、求定积分∫1exlnxdx．标准答案：∫1exlnxdx=∫1elnx知识点解析：暂无解析27、求由方程ez-xyz=0所确定的二元函数z=f(x，y)的全微分dz．标准答案：先求二元函数z=f(x，y)的偏导数．设F(x，y，z)=e2-xyz，则由二元函数的隐函数存在定理可知，故知识点解析：暂无解析28、求微分方程=xsinx的通解．标准答案：此为一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=xsinx，故原方程的通解为y=e﹣∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C)==elnx(∫xsinx·e﹣lnxdx+C)=x(∫sinxdx+C)=x(﹣cosx+C)．知识点解析：暂无解析29、求平行于y轴且过点P(1，2，3)和Q(3，2，﹣1)的平面方程．标准答案：设平面的法向量为因平面与y轴平行，且沿y轴正向的单位向量为=(0，1，0)，故又平面过点P(1，2，3)和Q(3，2，﹣1)，且=(2，0，﹣4)，故所以可取为与平行的向量．因=(﹣4，0，﹣2)=﹣2(2，0，1)，故可取又平面过点P(1，2，3)(也可用点Q(3，2，﹣1))，故平面方程为2(x﹣1)+0+(x-3)=0，即2x+z﹣5=0．说明：此题也可用平面的一般方程来解．知识点解析：暂无解析30、求二重积分其中D是由y=1，y=x2，x=2所围成的闭区域．标准答案：画出积分区域，将其看成X-型区域，1≤x≤2，1≤y≤x2．故二重积分=∫122xlnxdx=∫12lnxd(x2)=[x2lnx]12-∫12xdx=4ln2-知识点解析：暂无解析31、现有边长为96cm的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大?标准答案：设剪去的小正方形边长为x，则纸盒的容积y=x(96-2x)2，0＜x＜48．y′=(96-2x)2+x·2(96-2x)(﹣2)=(96-2x)(96-6x)，令y′=0，可得x=16(x=48舍去)．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪去的小正方形边长为16cm时，做成的无盖纸箱容积最大．知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)在[0，1]上连续，并且对于[0，1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．标准答案：令F(x)=f(x)-x，由于f(x)在[0，1]上连续，故F(x)在[0，1]上也连续．F(0)=f(0)-0=f(0)，F(1)=f(1)﹣1．而对∈[0，1]，0≤f(x)≤1，故F(0)≥0，F(1)≤0．若F(0)=0，即f(0)﹣0=0，f(0)=0，则ξ=0；若F(1)=0，即f(1)﹣1=0，f(1)=1，则ξ=1；当F(0)≠0，F(1)≠0时，F(0)·F(1)＜0，而F(x)在[＜0，1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)-ξ=0，f(ξ)=ξ．综上，在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．知识点解析：暂无解析云南省专升本（高等数学）模拟试卷第7套一、判断题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数f(x)=3x—x2的极值点是x=3。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：函数定义域为R，令f′(x)=3—2x=0，可得函数的驻点x=，且f′(x)在x=的左右两侧邻域异号，故原函数的极值点为x=。2、假设函数f(x)是周期为2的可导函数，则f′(x)的周期为2。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：f(x)=f(x+2)，两边求导可知f′(x)=f′(x+2)。可知导数的周期和其对应的函数周期一致。3、当x→0时，若=1，则k=4。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：4、积分=ln(e+1)。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：5、曲线y=x+sin2x在点处的切线方程是y=x+1。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：切线的斜率k==1，故切线方程为，即y=x+1。6、函数y=的反函数为y=x3+1。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：由y=，y∈R可得,y3=x+1，x=y3—1，故反函数为y=x3—1，x∈R。7、设y=()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：8、=e2()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：9、设f(x)=，则f[f(x)]=()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：10、设∫1xf(t)dt=x2+lnx—1，则f(x)=2x+()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：等式∫1xf(t)dt=x2+lnx—1两边对x求导可得，f(x)=(x2+lnx—1)′=2x+。二、多项选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、函数f(x)=在点x=2处()标准答案：C,D知识点解析：f(x)=(x≠±2)，f(x)在x=2处无定义，不连续；=∞，无极限。12、下列函数中在点x=0处不可导的有y=()标准答案：A,B,D知识点解析：A项，f(x)=在x=0处无定义。B项，=1，在x=0处不可导。D项，f(x)=lnx2在x=0处无定义。13、函数f(x)在区间[a，+∞)内二阶可导，且f′(x)＞0，f″(x)＞0，则曲线y=f(x)在区间[a，+∞)内()标准答案：A,C知识点解析：f′(x)＞0时，f(x)在[a，+∞)单调递增；f″(x)＞0时，曲线图形在[a，+∞)是凹的，故选A、C。14、设f(x)在区间[a，b]上连续，则函数F(x)=∫axf(t)dt在区间[a，b]上一定()标准答案：A,B,C,D知识点解析：由变上限积分的性质可得出，函数F(x)在[a，b]上可导，可导必连续，由闭区间连续函数的有界性可得F(x)有界，由定积分的存在定理得∫abF(x)dx必定存在。15、下列微分方程中不能进行分离变量的是()标准答案：A,C,D知识点解析：对于B项，y′=xyex.ey，分离变量得=xexdx。三、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、下列极限存在的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：显然只有=2，其他三个都不存在，故应选B。17、=()A、xB、0C、∞D、1标准答案：A知识点解析：要注意，变量是n，则=x。18、当x→0时，f(x)与1—cosx等价，则=()A、0B、C、1D、∞标准答案：B知识点解析：由题意可知，f(x)与1—cosx等价，则19、f(x)=(x—x0).φ(x)，其中φ(x)可导，则f′(x0)=()A、0B、φ(x0)C、φ′(x0)D、∞标准答案：B知识点解析：f′(x)=φ(x)+(x—x0)φ′(x)，则f′(x0)=φ(x0)，故应选B。20、设y=xarcsinx—，求y″｜x=0=()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：21、设函数f(x)有连续的二阶导数，且f′(0)=0，=1，则()A、f(0)是函数的极小值B、f(0)是函数的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线的拐点标准答案：A知识点解析：因为f(x)具有连续的二阶导数，=1＞0，从而在x=0的某个去心邻域内有f″(x)＞0，故在x=0的邻域内f′(x)单调递增，又f′(0)=0，所以在x=0的左侧邻域f′(x)＜0，在x=0的右侧邻域f′(x)＞0，故f(0)是函数的极小值。故应选A。22、设y=cos(sinx)，则dy=()A、—sin(sinx)cosxdxB、—sin(sinx)dxC、—cos(sinx)cosxdxD、—cos(sinx)dx标准答案：A知识点解析：dy=d[cos(sinx)]=—sin(sinx)cosxdx。23、已知函数f(x)在区间[0，a](a＞0)上连续，f(0)＞0，且在(0，a)上恒有f′(x)＞0。设s1=∫0af(x)dx，s2=af(0)，s1与s2的关系是()A、s1＜s2B、s1=s2C、s1＞s2D、不确定标准答案：C知识点解析：由f′(x)＞0在(0，a)上恒成立知f(x)在(0，a)严格单调增加。由积分中值定理可得，存在ξ∈(0，a)，使得s1=∫0af(x)dx=a.f(ξ)，由于0＜ξ＜a，则f(0)＜f(ξ)＜f(a)，又f(0)＞0，所以a.f(ξ)＞a.f(0)=s2，即s1＞s2，故应选C。24、∫012x3e—x2dx=()A、1B、0C、1—2e—1D、e—1—1标准答案：C知识点解析：∫012x3e—x2dx=∫01x2e—x2dx2=∫01x2d(—e—x2)=—x2e—x2｜01+∫012xe—x2dx25、曲线y=2sinx+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程为()A、x—y=0B、x—y=1C、2x—y=0D、2x—y=1标准答案：C知识点解析：y′=2cosx+2x，y′(0)=2，且当x=0时，y=0，故曲线在x=0处的切线方程为y—0=2(x—0)，即2x—y=0。26、设f(x)=x，则∫2xf′(x2)dx=()A、x2+CB、x3+CC、x2+CD、2x+C标准答案：A知识点解析：∫2xf′(x2)dx=∫f′(x2)dx2=f(x2)+C=x2+C。27、广义积分=()A、—ln2B、1C、ln3D、ln2标准答案：D知识点解析：=ln(1+ex)｜—∞0=ln2—=ln2—0=ln2。28、设f(x)==()A、—1B、1C、0D、标准答案：A知识点解析：29、设f(x)=，则∫—12f(x)dx=()A、1B、C、D、—2标准答案：B知识点解析：被积函数为分段函数，运用分段积分的方法。∫—12f(x)dx=∫—11f(x)dx+∫12f(x)dx=∫—11(x—1)dx+==30、方程sinx+x—1=0在区间(0，1)内根的个数是()A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：令f(x)=sinx+x—1，f′(x)=cosx+1＞0，所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，f(0)=—1＜0，f(1)=sin1＞0，故sinx+x—1=0在区间(0，1)内只有一个根。31、曲线y=x3(x≥0)，直线x+y=2以及y轴围成一平面图形D，则平面图形D绕y轴旋转一周所的旋转体的体积是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：平面图形D如图所示：32、下列微分方程中，为可分离变量的方程是()A、B、(x2+y2)dx—2xydy=0C、+ex2+y2dy=0D、+2y=ex标准答案：C知识点解析：由可分离变量的方程形式，C项可化为xe—x2dx+yey2dy=0，所以选项C正确。33、已知y=是微分方程y″—2y′—3y=e—x的一个特解，则该方程的通解为()A、y=C1e—x+C2e3x—B、y=C1e—x+C2e3x+C、y=C1e—x+C2e3xD、y=C1e—x+C2e3x—标准答案：A知识点解析：由题知，齐次方程所对应的特征方程为r2—2r—3=0，解得：r1=—1，r2=3，故对应的齐次方程的通解为y=C1e—x+C2e3x，又知特解为y*=，故通解为y=C1e—x+C2e3x—。34、微分方程y′—2xy=xe—x2的通解为y=()A、ex2+Cex2B、—e—x2+Cex2C、—ex2+Cex2D、—ex2+Ce—x2标准答案：B知识点解析：方程为一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)=—2x，Q(x)=xe—x2，则方程的通解为y=e—∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]=e—∫(—2x)dx[∫xe—x2e∫(—2x)dxdx+C]=ex2(∫xe—2x2dx+C)==+Cex235、某商品的需求函数为Q=f(p)=75—p2，则其需求弹性函数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：云南省专升本（高等数学）模拟试卷第8套一、判断题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、在数列{an}中任意去掉或增加有限项，不影响{an}的极限。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：由数列收敛的性质可得。2、=a当且仅当=a。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：由数列收敛的性质可得。3、设，则f(x)=。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：4、函数y=sinx+x2是奇函数。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：∵f(—x)=sin(—x)+(—x)2=—sinx+x2≠—f(x)。5、(e2x)′=e2x。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：(e2x)′=e2x.(2x)′=2e2x。6、设函数f(x)=sinx，x∈[a，b]，由拉格朗日中值公式得存在ξ∈(a，b)，使sinb—sina=cosξ.(b—a)。()A、正确B、错误标准答案：A知识点解析：∵f(x)=sinx，∴f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′(x)=cosx，∴由拉格朗日中值公式得存在ξ∈(a，b)，使=cosξ，即sinb—sina=cosξ.(b—a)。7、()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：当x→1时，x2+1→2，不能使用洛必达法则。8、方程X3—3x2+5x+1=0在区间(1，2)内有实根。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：令f(x)=x3—3x2+5x+1，则f′(x)=3x2—6x+5=3(x—1)2+2＞0，f(x)在(1，2)内单调递增，又因f(1)=4，f(2)=7，所以当1＜x＜2时，4＜f(x)＜7，即方程在区间(1，2)内无实根。9、幂函数的原函数均是幂函数。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：反例：幂函数y=的原函数为y=ln｜x｜+C，不是幂函数。10、微分方程y′=e2x—y，满足初始条件y｜x=0=0的特解为ey=e2x+1。()A、正确B、错误标准答案：B知识点解析：y′=e2x—yeydy=e2xdx，把y｜x=0代入得e0=e0+C，所以C=，则满足初始条件的特解为ey=。二、多项选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、当x→0时，与x2等价的无穷小的是()标准答案：A,B知识点解析：12、若函数f(x)的微分是cos2xdx，下列哪些可能是函数f(x)()标准答案：A,B,C,D知识点解析：由题可知函数f(x)应满足f′(x)=cos2x，A项中，(sinxcosx)′==cos2x；B项中，(sinxcosx+2)′=cos2x，C项中，=cos2x，D项中，=cos2x，故A、B、C、D都正确。13、下列函数中，在点x=0处连续可导的是()标准答案：B,D知识点解析：对于A项，=0，所以y=｜x｜在x=0处连续。但y′+(0)==1，y′—(0)==—1，y′+(0)≠y′—(0)，所以y=｜x｜在x=0处不可导；对于C项，y=lnx在x=0处无意义，故不连续，也不可导。14、设f(x)在[a，b]上满足f(x)＞0，f′(x)＜0，f″(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b—a)，S3=[f(b)+f(a)](b—a)，则S1，S2，S3的大小顺序不正确的是()标准答案：A,C,D知识点解析：由已知条件，f(x)在[a，b]递减且是凹的，∴f(b)＜f(a)，∴0＜f(b)＜，又S1表示的是x=a，x=b，y=f(x)与x轴围成曲边梯形的面积，S2表示的是x=a，x=b，y=f(b)与x轴所围成矩形的面积，S3表示的是x=a，x=b，y=f(x)在x=a和x=b两个端点连线与x轴所围成梯形的面积，∴S2＜S1＜S315、微分方程y′″=e2x—cosx的通解是()标准答案：A,B,C,D知识点解析：对所给方程连续积分三次，可得y″=e2x—sinx+C，y′=e2x+cosx+Cx+C2，y=e2x+sinx+x2+C2x+C3=e2x+sinx+C1x2+C2x+C3，其中C1，C2，C3，C均为任意常数。三、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、已知=—4，则()A、a=—1B、a=0C、a=1D、a=2标准答案：A知识点解析：由=a.22+4=0，所以a=—1，故应选A。17、函数y=x2—8x+5的极小值为()A、5B、—11C、7D、4标准答案：B知识点解析：y′=2x—8，y″=2，令y′=0，解得x=4，y″(4)＞0，故x=4是函数的极小值点，则极小值为y(4)=16—32+5=—11。18、∫—ππx2arctanxdx=()A、πB、—πC、1D、0标准答案：D知识点解析：由于y=x2arctanx为[—π，π]上的奇函数，故∫—ππx2arctanxdx=0，故应选D。19、曲线y=lnx+x2+1的凸区间是()A、(—∞，—1)B、(—1，0)C、(0，1)D、(1，+∞)标准答案：C知识点解析：函数的定义域为(0，+∞)，，当y″＜0时，在定义域内0＜x＜1，所以其凸区间为(0，1)。20、曲线y=log42+的反函数是()A、y=2x—1B、y=22x—1C、y=42x—1D、y=4x—1标准答案：C知识点解析：y=log42+=4y，两边平方，得4x=42y，所以x=42y—1，互换x与y得反函数为y=42x—1(—∞＜x＜+∞)，故应选C。21、f′(x2)=(x＞0)，则f(x)=()A、2x+CB、C、x2+CD、标准答案：B知识点解析：令t=x2，则x=，f′(t)=(t＞0)，f(t)=∫f′(t)dt=，即f(x)=+C，故应选B。22、已知x→0时，无穷小1—cosx与asin2x等价，则a=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当x→0时，1—cosx～x2，asin2x～ax2，由1—cosx与asin2x等价知=1，于是a=。23、=()A、B、1C、∞D、标准答案：A知识点解析：24、不定积分=()A、ln(x+sinx)+CB、ln｜x+sinx｜C、ln｜x+sinx｜+CD、(x+sinx)2+C标准答案：C知识点解析：25、设=()A、1B、ln2C、ln3D、—ln2标准答案：B知识点解析：26、若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(—1，0)，则常数b=()A、3B、—3C、1D、0标准答案：A知识点解析：y′=3x2+2ax+b，y″=6x+2a，由于点(—1，0)是拐点，故—6+2a=0，即a=3，又曲线过点(—1，0)，因此—1+3—b+1=0，得b=3。27、=()A、0B、2C、D、标准答案：C知识点解析：28、已知函数f(x)=lnx为可导函数，则f(x)在点x=1．01处的近似值为()A、0B、0．01C、0．11D、—0．01标准答案：B知识点解析：由f(x0+△x)≈f(x0)+f′(x0)△x，得f(1+0．01)≈f(1)+f′(1).0．01=ln1+=0．01。29、f(x)=+x3∫01f(x)dx，则∫01f(x)dx=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：定积分∫01f(x)dx是一个常数，设∫01f(x)dx=A，等式两端同时在区间[0，1]上积分得A=∫01f(x)dx=∫01dx+∫01Ax3dx，即A=arctanx｜01+A∫01x3dx，即A=，解得∫01f(x)dx=30、已知ex+y2=1，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：方程两边同时对x求导得ex+=0，则。31、设在[0，1]上f″(x)＞0，则f′(0)，f′(1)和f(1)—f(0)或f(0)—f(1)几个数的大小顺序为()A、f′(1)＞f′(0)＞f(1)—f(0)B、f′(1)＞f(1)—f(0)＞f′(0)C、f(1)—f(0)＞f′(1)＞f′(0)D、f′(1)＞f(0)—f(1)＞f′(0)标准答案：B知识点解析：由拉格朗日中值定理知f(1)=f(0)=f′(ξ)，其中ξ∈(0，1)。由于f″(x)＞0，则f′(x)单调增加，故f′(0)＜f′(ξ)＜f′(1)，即f′(0)＜f(1)—f(0)＜f′(1)。故应选B。32、∫0π｜cosx｜dx=()A、0B、1C、2D、4标准答案：C知识点解析：∫0π｜cosx