第十六章 习题课 动量和能量观点的综合应用

第页习题课动量和能量观点的综合应用[目标定位]1.进一步熟练应用动量守恒定律的解题方法.2.综合应用动量和能量观点解决力学问题．解决力学问题的三个基本观点1．力的观点：主要应用牛顿运动定律和运动学公式相结合，常涉及受力，加速或匀变速运动的问题．2．动量的观点：主要应用动量定理或动量守恒定律求解．常涉及物体的受力和时间问题，以及相互作用的物体系问题．3．能量的观点：在涉及单个物体的受力和位移问题时，常用动能定理分析；在涉及物体系内能量的转化问题时，常用能量的转化和守恒定律．一、爆炸类问题解决爆炸类问题时，要抓住以下三个特征：1．动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的动量守恒．2．动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，因此爆炸后系统的总动能增加．3．位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后，物体仍然从爆炸的位置以新的动量开始运动．例1从某高度自由下落一个质量为M的物体，当物体下落h时，突然炸裂成两块，已知质量为m的一块碎片恰能沿竖直方向回到开始下落的位置，求：(1)刚炸裂时另一块碎片的速度；(2)爆炸过程中有多少化学能转化为弹片的动能？答案(1)eq\f(M＋m,M－m)eq\r(2gh)，方向竖直向下(2)eq\f(1,2)(m－M)v2＋eq\f(（M＋m）2gh,M－m)解析(1)M下落h后：Mgh＝eq\f(1,2)Mv2，v2＝eq\r(2gh)爆炸时动量守恒：Mv＝－mv＋(M－m)v′v′＝eq\f(M＋m,M－m)eq\r(2gh)方向竖直向下(2)爆炸过程中转化为动能的化学能等于系统动能的增加量，即ΔEk＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)(M－m)v′2－eq\f(1,2)Mv2＝eq\f(1,2)(m－M)v2＋eq\f(（M＋m）2gh,M－m)二、滑块滑板模型1．把滑块、滑板看作一个整体，摩擦力为内力，则在光滑水平面上滑块和滑板组成的系统动量守恒．2．由于摩擦生热，把机械能转化为内能，则系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．3．注意滑块若不滑离木板，最后二者具有共同速度．例2如图1所示，光滑水平面上一质量为M、长为L的木板右端紧靠竖直墙壁．质量为m的小滑块(可视为质点)以水平速度v0滑上木板的左端，滑到木板的右端时速度恰好为零．(1)求小滑块与木板间的摩擦力大小；(2)现小滑块以某一速度v滑上木板的左端，滑到木板的右端时与竖直墙壁发生弹性碰撞，然后向左运动，刚好能够滑到木板左端而不从木板上落下，试求eq\f(v,v0)的值．图1答案(1)eq\f(mveq\o\al(2,0),2L)(2)eq\r(\f(2M＋m,M))解析(1)小滑块以水平速度v0右滑时，有：－FfL＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得Ff＝eq\f(mveq\o\al(2,0),2L)(2)小滑块以速度v滑上木板到运动至碰墙时速度为v1，则有－FfL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mv2滑块与墙碰撞后至向左运动到木板左端，此时滑块、木板的共同速度为v2，则有mv1＝(m＋M)v2FfL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)(m＋M)veq\o\al(2,2)上述四式联立，解得eq\f(v,v0)＝eq\r(\f(2M＋m,M))三、子弹打木块模型1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．2．在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒，机械能向内能转化．3．若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械能损失最多．例3图2如图2所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离；(2)射入的过程中，系统损失的机械能．答案(1)eq\f(m2v2,2（M＋m）2μg)(2)eq\f(Mmv2,2（M＋m）)解析因子弹未射出，故此时子弹与木块的速度相同，而系统的机械能损失为初、末状态系统的动能之差．(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则有：mv＝(M＋m)v′，①二者一起沿地面滑动，前进的距离为s，由动能定理得：－μ(M＋m)gs＝0－eq\f(1,2)(M＋m)v′2，②由①②两式解得：s＝eq\f(m2v2,2（M＋m）2μg).(2)射入过程中的机械能损失ΔE＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)(M＋m)v′2，③解得：ΔE＝eq\f(Mmv2,2（M＋m）).四、弹簧类模型1．对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒．2．整个过程涉及到弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧最短，具有最大弹性势能．例4图3如图3所示，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体．现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起．以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离．已知C离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的势能．答案eq\f(1,3)mveq\o\al(2,0)解析设碰后A、B和C的共同速度的大小为v，由动量守恒定律得3mv＝mv0①设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒得3mv＝2mv1＋mv0②设弹簧的弹性势能为Ep，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有eq\f(1,2)(3m)v2＋Ep＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)③由①②③式得，弹簧所释放的势能为Ep＝eq\f(1,3)mveq\o\al(2,0).爆炸类问题1．一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度v＝2m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失，重力加速度g取10m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是()答案B解析弹丸在爆炸过程中，水平方向的动量守恒，有mv0＝eq\f(3,4)mv甲＋eq\f(1,4)mv乙，解得4v0＝3v甲＋v乙，爆炸后两块弹片均做平抛运动，竖直方向有h＝eq\f(1,2)gt2，水平方向对甲、乙两弹片分别有x甲＝v甲t，x乙＝v乙t，代入各图中数据，可知B正确．滑块一滑板类模型2.图4如图4所示，在光滑的水平面上有一质量为M的长木板，以速度v0向右做匀速直线运动，将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？(2)它们相对静止时，小铁块与A点距离多远？(3)在全过程中有多少机械能转化为内能？答案(1)eq\f(M,M＋m)v0(2)eq\f(Mveq\o\al(2,0),2μ（M＋m）g)(3)eq\f(Mmveq\o\al(2,0),2（M＋m）)解析(1)小铁块放到长木板上后，由于他们之间有摩擦，小铁块做加速运动，长木板做减速运动，最后达到共同速度，一起匀速运动．设达到的共同速度为v.由动量守恒定律得：Mv0＝(M＋m)v解得v＝eq\f(M,M＋m)v0.(2)设小铁块距A点的距离为L，由能量守恒定律得μmgL＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2解得：L＝eq\f(Mveq\o\al(2,0),2μ（M＋m）g)(3)全过程所损失的机械能为ΔE＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2＝eq\f(Mmveq\o\al(2,0),2（M＋m）)子弹打木块类模型3.图5如图5所示，在光滑水平面上放置一质量为M的静止木块，一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块，穿出后子弹的速度变为v1，求木块和子弹所构成的系统损失的机械能．答案eq\f(m,2M)[M(veq\o\al(2,0)－veq\o\al(2,1))－m(v0－v1)2]解析取子弹与木块为系统，系统的动量守恒，设木块获得速度为v2，则有：mv0＝mv1＋Mv2得：v2＝eq\f(m（v0－v1）,M)，由能量守恒定律得系统损失的机械能为ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)＝eq\f(m,2M)[M(veq\o\al(2,0)－veq\o\al(2,1))－m(v0－v1)2]．弹簧类模型4.图6如图6所示，木块A、B的质量均为2kg，置于光滑水平面上，B与一轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，当A以4m/s的速度向B撞击时，由于有橡皮泥而粘在一起运动，那么弹簧被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能大小为()A．4JB．8JC．16JD．32J答案B解析A、B在碰撞过程中动量守恒，碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中机械能守恒．由碰撞过程中动量守恒得mAvA＝(mA＋mB)v，代入数据解得v＝eq\f(mAvA,mA＋mB)＝2m/s，所以碰后A、B及弹簧组成的系统的机械能为eq\f(1,2)(mA＋mB)v2＝8J，当弹簧被压缩至最短时，系统的动能为0，只有弹性势能，由机械能守恒得此时弹簧的弹性势能为8J.(时间：60分钟)题组一对动量守恒和机械能守恒的进一步认识1.图7如图7所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中()A．动量守恒、机械能守恒B．动量不守恒、机械能不守恒C．动量守恒、机械能不守恒D．动量不守恒、机械能守恒答案B解析在子弹射入木块时，存在剧烈摩擦作用，有一部分能量将转化为内能，机械能不守恒．实际上，在子弹射入木块这一瞬间过程，取子弹与木块为系统则可认为动量守恒(此瞬间弹簧尚未形变)．子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中，机械能守恒，但动量不守恒(墙壁对弹簧的作用力是系统外力，且外力不等于零)．若以子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时，有摩擦力做功，机械能不守恒，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒．故正确答案为B.2．(2019·广东佛山高二期末)图8两位同学穿旱冰鞋，面对面站立不动，互推后向相反的方向运动，不计摩擦阻力，下列判断正确的是()A．互推后两同学总动量增加B．互推后两同学动量大小相等，方向相反C．分离时质量大的同学的速度小一些D．互推过程中机械能守恒答案BC解析以两人组成的系统为研究对象，竖直方向所受的重力和支持力平衡，合力为零，水平方向上不受外力，故系统的动量守恒，原来的总动量为零，互推后两同学的总动量保持为零，则两同学的动量大小相等，方向相反，故A错误，B正确；根据动量守恒得Mv1－mv2＝0可见，分离时速度与质量成反比，即质量大的同学的速度小，故C正确；互推过程中作用力和反作用力对两同学做正功，系统总动能增加，故机械能不守恒，故D错误．3.图9质量相等的三个物块在一光滑水平面上排成一直线，且彼此隔开一定距离，如图9所示，具有初动能E0的第1个物块向右运动，依次与其余两个静止物块发生碰撞，最后这三个物块粘在一起，这个整体的动能为()A．E0B.eq\f(2E0,3)C.eq\f(E0,3)D.eq\f(E0,9)答案C解析碰撞中动量守恒mv0＝3mv1，解得v1＝eq\f(v0,3)①E0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)②Ek′＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,1)③由①②③得Ek′＝eq\f(E0,3).题组二滑块—滑板模型、子弹打木块模型4.图10质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ.初始时小物块停在箱子正中间，如图10所示．现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为()A.eq\f(1,2)mv2B.eq\f(1,2)eq\f(mM,m＋M)v2C.eq\f(1,2)NμmgLD．NμmgL答案BD解析根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v′＝eq\f(mv,M＋m)，损失的动能ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)(M＋m)v′2＝eq\f(1,2)eq\f(mM,m＋M)v2，所以B正确；根据能量守恒，损失的动能等于因摩擦产生的热量，而计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移，所以ΔEk＝NfL＝NμmgL，可见D正确．5.图11矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出．若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图11所示，上述两种情况相比较()A．子弹对滑块做的功一样多B．子弹对滑块做的功不一样多C．系统产生的热量一样多D．系统产生的热量不一样多答案AC解析两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v共，由动量守恒定律可得mv＝(M＋m)v共，得v共＝eq\f(m,M＋m)v；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A正确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C正确．6.图12如图12所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为M的木块，一质量为m的子弹，以水平速度v0击中木块，已知M＝9m，不计空气阻力．问：(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)，在木块上升的最高点比悬点O低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为g)(2)如果子弹在极短时间内以水平速度eq\f(v0,4)穿出木块，则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少？答案(1)eq\f(veq\o\al(2,0),200g)(2)eq\f(7,16)mveq\o\al(2,0)解析(1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v1，则mv0＝(m＋M)v1所以v1＝eq\f(1,10)v0.因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为h，则eq\f(1,2)(m＋M)veq\o\al(2,1)＝(m＋M)gh，解得h＝eq\f(veq\o\al(2,0),200g)(2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块的速度为v2，则mv0＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0,4)))＋Mv2，解得v2＝eq\f(1,12)v0在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为ΔE＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)＝eq\f(7,16)mveq\o\al(2,0)题组三弹簧类模型7.图13如图13所示，A、B两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m，一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为()A.eq\f(mveq\o\al(2,0),400)B.eq\f(mveq\o\al(2,0),200)C.eq\f(99mveq\o\al(2,0),200)D.eq\f(199mveq\o\al(2,0),400)答案A解析子弹打木块A，动量守恒，有mv0＝100mv1＝200mv2，弹性势能的最大值Ep＝eq\f(1,2)×100mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)×200mveq\o\al(2,2)＝eq\f(mveq\o\al(2,0),400).8.图14如图14所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧，当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，(1)整个系统损失的机械能；(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．答案(1)eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)(2)eq\f(13,48)mveq\o\al(2,0)解析(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统动量守恒，有mv0＝2mv1①此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒和能量守恒得mv1＝2mv2②eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝ΔE＋eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)③联立①②③式，得ΔE＝eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)④(2)由②式可知，v2<v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩到最短，其弹性势能为Ep，由动量守恒和能量守恒得：mv0＝3mv3⑤eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－ΔE＝eq\f(1,2)(3m)veq\o\al(2,3)＋Ep⑥联立④⑤⑥式得Ep＝eq\f(13,48)mveq\o\al(2,0)题组四动量和能量的综合应用9.图15如图15所示，带有半径为R的eq\f(1,4)光滑圆弧的小车其质量为M，置于光滑水平面上，一质量为m的小球从圆弧的最顶端由静止释放，则球离开小车时，球和车的速度分别为多少？答案eq\r(\f(2MgR,M＋m))，方向水平向左eq\r(\f(2m2gR,M（M＋m）))，方向水平向右解析球和车组成的系统虽然总动量不守恒，但在水平方向动量守恒，且全过程满足机械能守恒，设球车分离时，球的速度为v1，方向水平向左，车的速度为v2，方向水平向右，则：mv1－Mv2＝0，mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)解得v1＝eq\r(\f(2MgR,M＋m))，v2＝eq\r(\f(2m2gR,M（M＋m）)).10．如图16所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde段是以O为圆心，R为半径的一小段圆弧，可视为质点的物块A和B紧靠在一起，静止于b处，A的质量是B的3倍．两物块在足够大的内力作用下突然分离，分别向左、右