2024四年级下册数学思维训练讲义-图形的运动（二）含答案

2024四年级下册数学思维训练讲义-第十八讲图形的运动（二）

第十八讲图形的运动（二）

第一部分：趣味数学

旋转变换法：让图动起来

刘徽，生于公元250年左右，东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国

古典数学理论的奠基者之一。

刘徽的数学成就大致为两方面：一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。二是

在继承的基础上提出了自己的创见。在“九章算术注”中，刘徽发展了中国古代“率”的思想

和“出入相补”原理。用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目，用“出入

相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。

所谓出入相补原理，简单地说，就是指：一个平面图形从一处移至他处，面积不变，假如

把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形转移前后各部分面

积的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。举个简单的例子，如图：

把两张边长为10厘米的正方形纸片放在桌面上，使一张纸片的一个顶点放在另一正方形

的中心位置0处。试问，被这两张正方形纸片所覆盖的那部分的面积是多少？两个正方形面积

的和是100+100=200（平方厘米），如果能将它们重叠部分的面积算出，覆盖的面积就知道

To

重叠部分是一个形状可以随意改变的四边形，它的位置不定，形状也不定，能算出它的面

积吗？

能！只要将正方形纸片绕0点旋转到两边与下面正方形纸片两边垂直的位置（如图2）。

由于两张图中的三角形面积是相等的，所以所求部分的面积就是100+4=25（平方厘米）。于

是，被这两张纸片覆盖的那部分桌面的面积是200—25=175（平方厘米）。

这种让图动起来的方法，就是研究几何图形的常用的方法——旋转变换法。

第二部分：奥数小练

A【例题1】画出已知图形关于直线a的轴对称图形.

【思路导航】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直

于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，连结即可.

作轴对称图形如下:

练习1：

1.选择：

（1）下面不是轴对称图形的是（）。

△C.2D.O

A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)

（3）亮亮已经画出蜻蜓身体左侧的两只翅膀，可以用（）的方法画出蜻蜓身体右侧

的两只翅膀。

A.平移B.旋转C.轴对称图形

（4）”'这个图案是从纸张（）上剪下来的。

A.B.C.D.

2.画出下图所有的对称轴。

3.请你用三种不同的方法分别在图中添画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形。

【例题2】填一填。

(1)①向（）平移了（)格;

(2)②向（）平移了（)格;

【思路导航】先找清楚方向，看原图到现在的图是向哪个方向平移的，然后在原图中选

择一个点，找出这个点在后来图中的位置，然后数出这两个点之间的小格数即可.

上、2；左、4；右、6.

练习2：

1.看图填一填:

（1）㈡向平移了格.

（2）L一向平移了格.

（3）◊向平移了格.

（2）图3小房子先向右平移格，再向平移格得到图4.

3.画出把三角形向右平移5格后，再向下平移5格的图形.

■【例题3】判断对错：一个图形在方格图中先向右移动5格，再向上移动3格，然

后向左移动3格，向下移动5格，再向右移动2格就回到原处了.（）

【思路导航】一个图形在方格图中先向右移动5格，再向上移动3格，然后向左移动3

格，向下移动5格，再向右移动2格，这个图形相当于在原位置向右移动4格，再向下移动

2格；原题叙述错误.

练习3：

1.判断：

（1）一个［p,在方格纸上向下平移5格后变成了C。（）

（2）把一个图形向左平移8格，就是两个图形间相距8格。（）

2.选择：

（1）一个图形先向上平移3格，再向左平移5格，然后向下平移4格，最后向右平移5

格，图形（）。

A.会回到原来的位置B.在原来位置的正上方

C.在原来位置的正下方D.在原来位置的正右方

（2）一个图形先向右平移9格，再向上平移6格，然后向右平移1格，最后向左平移10

格，图形（）。

A.会回到原来的位置B.在原来位置的正上方

C.在原来位置的正下方D.在原来位置的正右方

3.如下图，图形（1）怎样拆分，怎样平移得到图形（2）?

【例题4］：如图是一块矩形/皿的场地，/左102q/仄51勿，从A.8两处入口中的

路宽都为1勿,两小路汇合处路宽为2加,其余部分种植草坪,则草坪的面积是多少？

【思路导航】本题可以把左边和右边的部分进行平移，使它们向中间平移，将阴影部分

的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积。

【答案】这个长方形的长为102-2=100（米），这个长方形的宽为：51-1=50（米），

因此，草坪的面积=50X100=5000（平方米）.

练习4：

1.下面长方形是由两个边长为10cm的正方形拼成的，求图中阴影部分的面积。

2.一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有两道黑条，如图中阴影

所示，黑条宽都是2厘米，问：这条手帕白色部分的面积是多少？

3.下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。

【例题5】：如左下图所示，5张同样大小的纸板部分重叠着，每张纸板都是边长

为6厘米的正方形，重叠部分的边长是正方形纸板的边长的一半，求重叠后图形的周长。

【思路导航】解答此类题目的关键是，要善于观察，分析和推理，合理利用“平移

法”，“分解法”，“合并法”等，把复杂的图形，转化为我们熟悉的图形解答。这道题可

以运用平移的方法，得出此图形外轮廓的长实际是3个边长是6厘米的正方形的长，如右上

图，由此得出答案。

1.先求出在水平方向上，所有线段的长度和，除第一个正方形外，水平方向上面露在外

面的其余正方形的长是边长的一半，下面的同上面的相同；

2.再求出竖直方向上所有线段的长度和，除第一个正方形外，竖直方向左面露在外面的

其余正方形的长是边长的一半，右面的同左面的相同；

3.最后即可求出图形外轮廓的周长。

【答案】

在水平方向上，所有线段的长度和：

(6+64-2X4)X2

=(6+12)X2

=18X2

=36(厘米)

竖直方向上所有线段的长度和也同样是36厘米，重叠后图形的周长是：36+36=72(厘

米)

练习5：

1.有4张同样大小的正方形纸，如下图所示重叠放置。每张纸的边长都是8厘米，每两

张正方形纸重叠部分的边长是正方形纸边长的一半，重叠后图形的周长是多少厘米?

2.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

3.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

第三部分：数学史话

移动过的上海音乐厅

上海音乐厅位于市中心黄浦区延安路，建于1930年，原名南京大戏院。为配合延安路高

架的拓宽建设，2003年4月15日上午10时，上海音乐厅平移工程开始，先在原地顶升1.7

米，然后向南移动66.46米，再在新址往上顶升1.68米。6月17日，平移工程完成，上海音

乐厅以崭新的面貌出现在世人面前。

参考答案：

练习1：

1.CBCD

2.这是一个圆和正方形的组合图形，圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，因为它

们组合在了一起，所以它们的对称轴条数为正方形对称轴的条数-

如下图所示:

3.依据轴对称图形的含义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部

分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可完成作图。

练习2：

1.右，5；上，4；左，7

2.4,左，6；7,下，4

3.根据平移作图的方法作图即可.把AABC的各顶点向右平移5格