广东省深圳市2024届高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市2024届高三下学期三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，画出图，并将条件中的集合标在图中，如图，集合．故选：C．2.若复数的实部大于0，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，代入，得，解得：，所以.故选：D.3.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）A.、、三点共线 B.、、三点共线C.、、三点共线 D.、、三点共线〖答案〗C〖解析〗对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.故选：C．4.已知数列满足：，且数列为等差数列，则（）A.10 B.40 C.100 D.103〖答案〗D〖解析〗设数列的公差为，则，故，所以．故选：D.5.如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗取的中点，连接，易知，所以平面与交点为.设长方体的长、宽、高分别为，则.平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为.故选：A.6.已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，记，设中点为，所以，由题意可知，中点是直线与直线的交点，联立，解得，另一方面，联立，得．易知，由韦达定理得，解得，所以，故离心率．故选：B.7.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）A.2025种 B.4050种 C.8100种 D.16200种〖答案〗B〖解析〗先考虑两对混双的组合有种不同的方法，余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有．故选：B．8.设函数．若实数使得对任意恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗函数，依题意，对任意的恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，于是，显然，否则且，矛盾，则，显然，否则且，矛盾，从而，解得，所以.故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0 B.4 C.8 D.16〖答案〗ACD〖解析〗平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边形中的矩形个数可能为，所以各个表面的直角个数之和可能为.故选：ACD．10.已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗，故，，故，故，，故或，当时，，，故，，，有最小正零点，，，，故，，故，，当，，函数不单调，排除；当时，，，故，，或，或，，故，，故，，验证满足条件，此时．综上，AD错误，BC正确.故选：BC．11.如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，，可得点的轨迹为椭圆，如图则椭圆方程，由于则，又因为为锐角三角形，则且，所以，，所以，由于，所以，设，则，设三棱台的高为，则，因为该三棱台的体积最大值为，，所以，由于无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A不正确；对于三棱台有侧面为垂直于底面的等腰梯形，则如图，以为原点，在平面上作面，在面作面，则，设，则，，，所以，由于，，所以，又，故B可能正确；同理，又，故D可能正确；如图，将三棱台补成三棱锥，设点到平面的距离为，则，又，所以，故C一定正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数的一条斜率为正的切线方程：______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，则，取切点为，则斜率为，又，则切线方程为：，即.13.两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______．〖答案〗0.86〖解析〗因为，所以，因为，所以，即又，所以，，所以，所以.14.双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．〖答案〗2或〖解析〗记与渐近线的交点为，当一条渐近线斜率大于1时，根据题意，作图如下：，，故；则在△中，设，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦点到直线的距离，即，又，故，则在圆上，即与圆相切；显然，则，又，又，故可得，根据对称性，，故，故三点共线，点是唯一的，根据题意，必为双曲线右顶点；此时显然有，故双曲线离心率为；同理，当一条渐近线斜率大于0小于1时，必为，此时有一条渐近线的倾斜角为，离心率为.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列中，，，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，且满足，，求．解：（1）因为，所以，所以数列是公差为的等差数列，其首项为，于是，则，，，，，所以，所以；而符合该式，故.（2）由（1）问知，，则，又，则，两式相乘得，即，因此与同号，因为，所以当时，，此时，当为奇数时，，当为偶数时，；当时，，此时，当为奇数时，，当为偶数时，；综上，当时，；当时，.16.如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．（1）当时，求后质点移动到点0的位置的概率；（2）记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围．解：（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为：．（2）所有可能的取值为，且，，，，由，解得，又因为，故的取值范围为．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：连接交与点，连接，可得平面与平面的交线为，因为平面，平面，所以，又因为为的中点，所以点为的中点，取的中点，连接，可得且，又因为为的中点，可得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面．（2）解：取的中点，连结，因为，可得，且，又因为，且，所以，所以，又因为，且平面，所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，因为为的中点，为的中点，可得，则，设是平面的法向量，则，取，可得，所以，设是平面的法向量，则，取，可得，所以；设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且．（1）求的方程；（2）设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标．解：（1）依题意可得，得，由，得，解得，故的方程为的方程为．（2）易知，设，直线的斜率分别为，则，，在，即有，可得为定值．设直线的方程为：，联立可得恒成立，设，则有，可求得，设直线的方程为：，同理可得，则由可得：，点在第一象限内，故，当且仅当，即时取等号，而，故等号可以取到．即当取最小值时，，联立，可解得，故的方程为：的方程为：，联立可解得，即有．19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳