2024惠州市某中学高三3月份模拟考试新高考数学试题及答案解析

惠州市实验中学高三3月份模拟考试新高考数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等差数列伍“｝的前13项和为52,则（-2/+%=（）

A.256B.-256C.32D.-32

2.将函数/（x）=sin2x的图象向左平移。0三。<（个单位长度，得到的函数为偶函数，则9的值为（）

3.下列函数中，值域为R的偶函数是（）

A.y=x2+iB.y^ex-e-xC.y=lg|%|D.丁=斤

4.已知集合A=[xeZ|嗫三。1,则集合4真子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

5.双曲线C：二—与=1（。〉0,b>0）的离心率是3,焦点到渐近线的距离为0,则双曲线C的焦距为（）

ab

A.3B.372C.6D.672

6.已知二—=o+2i（aeR）,i为虚数单位，则。=（）

l-2i

A.&B,3C.1D.5

7.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考

物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为4的学生有5人，这两科中仅

有一科等级为A的学生，其另外一科等级为3,则该班（）

7级

ABCDE

科N

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是B的学生至多有12人

B.物理化学等级都是3的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生至少有1人

8.如图，四面体ABC。中，面版和面5CD都是等腰直角三角形，AB=0NBAD=NCBD=—,且二面角

2

A-血-C的大小为:，若四面体ABC。的顶点都在球。上，则球。的表面积为（）

3

A

22K28万7127r

A.B.C.—D・—

3323

9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为（）

工［

正视图记视图

俯视图

A.24万B.287rC.32万D.36"

10.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的

秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的

值为2,则输出的n值为(

开始

.

/输/

v

v=10>k=9

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2"+2D.9x2u-2

11.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z

是直线，x、y是平面；④无、y、z均为平面.其中使“x_Lz且、，2=>%〃丁”为真命题的是()

A.③④B.①③C.②③D.①②

12.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时

中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不

同的阅读计划共有()

A.120种B.240种C.480种D.600种

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设/(尤)是定义在(0,+。)上的函数，且对任意。>0力>0,若经过点的一次函

数与x轴的交点为(c,0),且a、b、c互不相等，则称。为a*关于函数的平均数，记为监(。力).当

f(x)=(%>0)时，场(。力)为a,b的几何平均数J法.(只需写出一个符合要求的函数即可)

14.已知两点4-1,0),8(1,0),若直线x—y+a=0上存在点P(x,y)满足AP3P=0,则实数。满足的取值范围

是.

15.如图，直线/是曲线y=/(x)在x=3处的切线，贝！I八3)=.

16.已知函数/（x）=alnx—图象上一点（2J（2）处的切线方程为y=—3x+21n2+2,则。+匕=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数;'（xblnx-g以2+法，函数〃尤）在点（I"⑴）处的切线斜率为o.

（1）试用含有"的式子表示沙，并讨论/（£）的单调性；

⑵对于函数/（X）图象上的不同两点A（WK）,6（%，%），如果在函数/（X）图象上存在点

加（%,%乂/«%，七）），使得在点M处的切线〃/A6,则称存在“跟随切线”.特别地，当/=电工时，又称

AB存在“中值跟随切线”.试问：函数/（%）上是否存在两点A,3使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A,3的坐

标，若不存在，说明理由.

22]（八

18.（12分）已知椭圆C：^-+4=1（«>^>0）的左、右焦点分别为《，工，离心率为一，且过点1，/.

ab21z）

（1）求椭圆C的方程；

TT

（2）过左焦点耳的直线/与椭圆。交于不同的A,8两点，若44工3=5,求直线/的斜率上

19.（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体

发酵池，其底面为长方形如图所示），其中ADAA5.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,

深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元

（1）求发酵池AD边长的范围；

（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和力米的走道（b为常数）.问:发酵池的边长如何设计,

可使得发酵馆占地面积最小.

20.(12分)已知圆M：(x+26)+y2=64及定点N(2百,0),点A是圆M上的动点，点3在ML上，点G在

上，且满足Mi=2N3，GBNA=b，点G的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

111

(2)设斜率为k的动直线/与曲线C有且只有一个公共点，与直线y=/》和y=—彳x分别交于P、Q两点.当阳〉-

时，求AOPQ(。为坐标原点)面积的取值范围.

21.(12分)设函数/(%)=。加+%2-(。+2)为其中aeR

(I)若曲线y=/(x)在点(2,”2))处切线的倾斜角为?，求。的值；

(II)已知导函数广⑺在区间(1，e)上存在零点，证明:当尤e(l,e)时，f(x)>-e2.

22.(10分)已知抛物线G:y2=2px,焦点为p，直线/交抛物线G于A,8两点，交抛物线G的准线于点C,如图

Q

所示，当直线/经过焦点口时，点尸恰好是AC的中点，且忸[=

CJ

I

——]

DLF\

(1)求抛物线G的方程；

(2)点。是原点，设直线。4,08的斜率分别是勺状2,当直线/的纵截距为1时，有数列｛4｝满足

2

q=1,左=—=4(4+2),设数歹U,念->的前n项和为Sn,已知存在正整数m使得m<S2020<m+l,

求m的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.

【详解】

由%=13%=52,%=4,得(—2)%+%=(—2『=256.选A.

【点睛】

本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.

2、D

【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

将将函数=sin2x的图象向左平移。个单位长度,

可得函数g(x)=sin[2(尤+0)]=sin(2尤+2夕)

/rr^rr〃＜77"

又由函数g(x)为偶函数，所以20=耳+痴/eZ,解得9=i+光-/eZ,

7TJT

因为0K°＜一,当k=0时，(p=-,故选D.

24

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用

三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3、C

【解析】

试题分析：A中，函数为偶函数，但不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且

yeR,满足条件；D中，函数为偶函数，但＞20,不满足条件，故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域.

4、C

【解析】

解出集合A,再由含有几个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个可得答案.

【详解】

解：由得4={%€2|—3<xWO}={—2,—1,0}

所以集合A的真子集个数为23-1=7个.

故选：C

【点睛】

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有九个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个，属于基础

题.

5、A

【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得人，然后根据尸=。2-/"=£,可得结果.

a

【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为法土分=0

取右焦点尸(c,0),一条渐近线/：法—4=0

则点R至心的距离为"上=3,由^+a2=c2

扬+♦

所以匕=0，则,2—/=2

▽ca/2c2

又一二3n—=9n〃———

aa9

X3

所以c?----=2=>。=一

92

所以焦距为：2c=3

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，以及。力,之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为人，属基础题.

6、C

【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.

【详解】

由一--=a+2i,得l+2i=a+2i,解得a=1.

l-2i

故选:C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.

7、D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为4,化学等级为5的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全4和一科为A另一科为3的学生10-5+8-5=8人（其中物理4化学3的有5

人，物理3化学4的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10—5—5=016-3=13910

化学8—5—3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理。和。，化学都是3时，或化学C和D,物理都是B时，物理、化学都是3的人数最少，至少

为13—7—2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为3的学生，

因为都是3的学生最少4人，所以一科为3且最高等级为3的学生最多为13+9+1—4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是3的最多13人，所以两科只有一科等级为3且最高等级为3的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

8、B

【解析】

分别取3D、的中点M、N,连接AM、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角A—的平面角为

ZAMN=—,然后分别过点〃作平面曲的垂线与过点N作平面5C。的垂线交于点。，在WAOAW中计算出

OM,再利用勾股定理计算出Q4,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示，

分别取6。、CD的中点M、N,连接40、MN、AN,

由于AABD是以N&4O为直角等腰直角三角形，4为5。的中点，

jr

ZCBD=-,且加、N分别为BD、CD的中点，所以，MNHBC,所以，MN±BD,所以二面角A—C

2

97T

的平面角为NAMN=—,

3

AB=AD=V2>则BD=4AB?+AD?'=2，且BC=2，所以，AM=^BD=1,MN=3BC=1,

AABD是以NS4D为直角的等腰直角三角形，所以，AABZ）的外心为点"，同理可知，A3CD的外心为点N,

分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面5CD的垂线交于点。，则点。在平面内，如下图所示，

27r7171

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=-------=-,

326

I—ivny473

在RtAOMN中,四匚cosNOMN上,：）[，

OM2型

2

所以，0A=y]OM2+AM2=^~

3

所以，球。的半径为R=亘，因此，球。的表面积为4〃R2=4〃X(^]=空工.

33

3IJ

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

9、C

【解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为2/，高为1的等腰三角形，侧棱长为4,利用正弦定

理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，

即可求解球的表面积.

【详解】

由三视图可知，

几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为2/，高为1的等腰三角形,

侧棱长为4,如图:

A

由底面边长可知，底面三角形的顶角为120,

由正弦定理可得2A。=--—=4,解得AD=2,

sin120

三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，

所以=A/22+22=2夜，

该几何体外接球的表面积为：S=4»・(2@2=32〃.

故选：C

【点睛】

本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

10、C

【解析】

由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的左，V的值，当左=-1时，不满足条件左..0,跳出循环，输出V

的值.

【详解】

解：初始值V=l。，x=2,程序运行过程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8>左=7,

v=10x23+9x2^+8x2+7»k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6»k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,左=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x23+5x2+4,左=3,

V=10X27+9X26+8X25+7X24+6X23+5X22+4X2+3>k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,左=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x2s+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-1,

跳出循环，输出n的值为

1098765432

^^V=10X2+9X2+8X2+7X2+6X2+5X2+4X2+3X2+2X2+1x2+0@

2V=10X2"+9X210+8X29+7X28+6X27+5X26+4X25+3X24+2X23+1X22+0®

①Y）得

-v=-10x2n+1X210+1X29+1X28+1X27+1X26+1X25+1X24+1X23+1X22+1X2

v=9x2n+2.

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到左，V的值是解题的关键，属于基础题.

11、C

【解析】

①举反例，如直线X、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的

两平面平行判断.④举例，如*、y、z位于正方体的三个共点侧面时.

【详解】

①当直线X、y、z位于正方体的三条共点棱时，不正确；

②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；

③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；

④如X、了、Z位于正方体的三个共点侧面时，不正确.

故选:C.

【点睛】

此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.

12、B

【解析】

首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.

【详解】

?=种分组方法;

将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有:

将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：禺=24种分配方法；

由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：10x24=240种

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、«

【解析】

由定义可知3〃。)),(。,—〃。)),(。,0)三点共线，即通过整理可得"X)=0),继

aatyCID〃

而可求出正确答案.

【详解】

解：根据题意(a,>)=c=J茄，由定义可知:(a",(加0)),(c,0)三点共线.

故可得：—~~~~,即(J-=-1——―~,

整理得：

a-cc-ba-yjabyjab-b7b

故可以选择/(%)=«,(x>0)J(x)=2«(x>。)等.

故答案为：

【点睛】

本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.

14、［-后,0］

【解析】

问题转化为求直线/与圆好+/=1有公共点时，。的取值范围，利用数形结合思想能求出结果.

【详解】

解：直线/：x-y+a=O,点A(-1,O),3(1,0),

直线I上存在点P满足AP.BP=0，

二产的轨迹方程是/+丁=1.

二如图，直线/与圆好+/=1有公共点，

d,_=1~«^1=<1,

解得—

实数a的取值范围为［-.

故答案为：［-应，应］.

【点睛】

本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，属于中档题.

【解析】

求出切线/的斜率，即可求出结论.

【详解】

由图可知直线/过点(3,3),(0,g1,

3_2

可求出直线/的斜率z21-

3-02

由导数的几何意义可知，r(3)=1.

故答案为:

2

【点睛】

本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.

16、1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得应氏

【详解】

由题意f'(x)=--2bx,

x

•••函数图象在点(2,/(2)处的切线方程为y=—3x+21n2+2,

n

--4&=-3ra=2

••<2>解得<卜>

Mn2-4b=-6+21n2+21

'•a+b=3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)b=a-l,单调性见解析；(2)不存在，理由见解析

【解析】

(1)由题意得r(l)=O,即可得b=a—1；求出函数/(%)的导数/'('=(.+1)(一：+1),再根据。20、

X

—1<。<0、a=-l.”-1分类讨论，分别求出/"(x)〉。、/'(尤)<0的解集即可得解；

(2)假设满足条件的4、3存在，不妨设4(M，%),B(%,%)且0<%<々，由题意得KB=尸(与三］可得

(X

22-1x

ln%=L_2,令/=±(0<?<1),构造函数ga)=ln-2"T)(0</<1),求导后证明g«)<0即可

%王+1%t+1

%

得解.

【详解】

(1)由题可得函数y=/(x)的定义域为(0，+8)且/''(力=!一取+'

由/'(1)=0,整理得b=a—1.

，/\11(。九+1)(—X+1)

f(x)=ax+b=ax+a-1---------・

xxx

(i)当时，易知工£(0,1),/f(x)>0,X£(l,+oo)时/'(x)<0.

故y=/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(ii)当。<0时，令/''(x)=0,解得％=1或x=—贝！］

①当一：=1,即a=—1时，/'(九)之0在(0,+8)上恒成立，则y=/(x)在(0,+8)上递增.

②当—工〉1,即一1<。<0时，当xe(0,l)u［-：,+oc］时，/,(x)>0；

当xe“，一时，/(%)<0.

所以y=/(x)在(0」)上单调递增，［1，—J单调递减，+，|单调递增.

③当—!<1,即"T时，当—］u(l,+8)时，/(x)>0;当时，/(x)<0.

所以y=/(H在］。，-力上单调递增，(一，1］单调递减，(1,+8)单调递增.

综上，当a»0时，y=/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减.

当—l<a<0时，y=/(£)在(0,1)及］—f上单调递增；y=/(x)在11,一口上单调递减.

当a=—1时，y=/(x)在(0,+8)上递增.

当时，y=〃力在10,一：1及0,+8)上单调递增；丁=/(可在,：,11上递减.

(2)满足条件的4、3不存在，理由如下:

假设满足条件的4、3存在，不妨设4(%，%),B(%,%)且0<%<%2,

贝!=%一%.Inxj—ln%+x2)+a-l,

玉一%2玉一%2

又/，(%=/1号，"7ax詈+”1，

22-1

由题可知左4B=/'(/)，整理可得：I0％—In%五二2一也=上~

X

%-X2%+%2%2%+%211

令"%(0</<1),构造函数g⑺=ln/-型~—(0</<1).

X2/+1

।、14

则g(0=；-；一吊M〉。

/”+1)

所以g⑺在(0,1)上单调递增，从而g⑺<g⑴=0,

所以方程In}=2：无解,即=无解.

综上，满足条件的A、3不存在.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.

18、(1)—+^=1(2)直线/的斜率为％=42或左=—

4377

【解析】

⑴根据已知列出方程组即可解得椭圆方程；

⑵设直线方程y=左"+1),与椭圆方程联立，ZAF2B=|转化为64耳3=0,借助向量的数量积的坐标表示，及韦

达定理即可求得结果.

【详解】

1

a=2J

2

（1）由题意得a=b2+c2,

19

---1---=1,

a24b2

a=2,

解得＜b=V3,

c=l,

22

故椭圆c的方程为上+乙=1.

43

（2）直线/的方程为丁=左（尤+1）,

设4（%,%），B（x2,y2）,

[22

工+匕=1

则由方程组彳43消去y得,

y=左（尤+1）

（3+4左2）兀2+8左2%+4左2-12=0,

所由以I”XX=,—4~P—-172T,%+%=-----8-k-----

t23+4Q1'3+4左2

7T

由NAKB=5,得属A・KB=O,

所以g4乙3=（玉_1）（%2_1）+%%=0，

又=公（玉+1）（尤2+1）=左之[%i%2+（%1+尤2）+1]

所以（1+左2）玉%2+（左之一1）（%]+/）+左之+1=0,

即（1+左2）4.—产+优2_]）（__笠二]+左2+]=0

'，3+4-,\3+4k2）

,9

所以严=—,

7

因此，直线/的斜率为左=3夕或左=—

77

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系，考查学生的计算求解能力，难度一般.

19、(1)ADe［15,25］(2)当0<b<型时，AD=25,AB=9米时，发酵馆的占地面积最小；当6/当36,41时,

25125)

A。=迎但=旦也时，发酵馆的占地面积最小；当b24时，A3=A£>=15米时，发酵馆的占地面积最小.

b2

【解析】

(1)设的>=X米，总费用为/(x)=225x200+150x2{2x+-

，解〃x)W65400即可得解;

225、

(2)结合(1)可得占地面积S(x)=(x+8)丁+2。结合导函数分类讨论即可求得最值.

【详解】

450

(1)由题意知:矩形ABC。面积S=—=225米2,

2

225225

设=x米，则A5=——米，由题意知:九2——>0,得光215,

XX

设总费用为了(X),

贝！|/(x)=225x200+150x2«2x+型

=600h+—+45000<65400,

解得：9WxW25,又x215,故xe[15,25],

所以发酵池。边长的范围是不小于15米，且不超过25米;

f22s\12f)f)

(2)设发酵馆的占地面积为S(x)由⑴知:S(x)=(x+8)|^^+26]=2法+——+16ZJ+225,XG[15,25],

2仅d-900)

S'(x)=,xG[15,25]

①b"时，S'(x)20,S(x)在［15,25］上递增，则x=15,即AB=AD=15米时，发酵馆的占地面积最小；

②0<人时，S'(x)=0,S(x)在［15,25］上递减，则尤=25,即A£>=25,AB=9米时，发酵馆的占地面积最

小；

③时，xc15,5］时，S'(x)<0,S(x)递减；x］田,25时，S(r)>0,S(x)递增，

因此％=孚=型也，即A£>=迎回,巫时，发酵馆的占地面积最小;

4bbb2

综上所述：当0＜人〈的时，AD=25,AB=9米时，发酵馆的占地面积最小；当3641时,

25125)25

A。=迎但=旦也时，发酵馆的占地面积最小；当b24时，A3=A£＞=15米时，发酵馆的占地面积最小.

b2

【点睛】

此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.

22

20、(1)---F-^―=1；(2)(8,+co).

164

【解析】

(1)根据题意得到GB是线段AN的中垂线，从而|GM|+|GN|为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以N为

焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，表示处AOPQ的面积代入韦达定理化简即可求

范围.

【详解】

'NA=2NB

(1)\=8为⑷V的中点，且是线段AN的中垂线,

GBNA=O

二|AG|=|GN|,x\GM\+\GN\=\GM\+\G^=\AM\=S>4j3=\MN\,

点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，

r2y2

设椭圆方程为二+=1(a>b>0)

ab29

则〃=4，c=2-\/3,,\b=J/_W—2，

22

所以曲线c的方程为土+匕=1.

164

(2)设直线Ay=kx+m±—),

2

y=kx+m/,o\o,o

由＜99消去y,可得(1+4左2)尤2+8物a+4加2-]6=0.

x+4y=16'7

因为直线,总与椭圆。有且只有一个公共点,

2

所以A=64%2病一4(1+4的(4痴一16)=0,m=16^+4.©

y=kx+m2mm(-2mm

又由(-2尸。可得0同理可得。

1—2左'1—2左[1+2左'1+2左广

\m\

由原点O到直线PQ的距离为d=

Jl+k2

可得S"=g|尸。|