2024年中考数学提高复习讲义：二次函数的应用

二次函数的应用

知识梳理

在公路、桥梁、隧道、城市建筑很多方面都有抛物线形应用；生产和生活，有很多“利润最大”“用料最少”“开

支最节约”“线段最短”“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值.解决这类问题的

一般步骤如下.

⑴设自变量；

⑵建立函数解析式；

（3）确定自变量取值范围；

（4）根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围）.

典型例题

例1

抛物线y=/-4久+3交x轴于点A,B,点C是抛物线上一动点，则△ABC有（）.

A.最大面积为1B.最大面积为2

C.最小面积为1D.没有最大面积

解析设C（x,y）

因为y=e一4%+3交x轴于点A.B,

所以AB|=2.

又因为SABC=-x\AB\x\y\,

所以S.c\AB\X\y\=\y\,

且已知点C是抛物线上一动点，

所以△ABC没有最大面积.

例2

从地面上竖直向上抛出一个小球，小球运动的高度为h（单位：米）与小球运动的时间t（单位：秒）之间的函数解

析式是h=9.8t-4取2,那么小球运动的最大高度为一.

解析因为小球运动的高度为h（单位：米）与小球运动的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是h=9.8t-4.9产，

所以二次函数抛物线的开口向下，根据二次函数开口向下，小球运动存在最大高度，即当t=1时，小球运动会达到

最大高度，此时高度为4.9米.

例3

已知抛物线yi=ax2+bx+c（a丰0）与x轴相交于点A,B（点A,B在原点O两侧），与y轴相交于点C,且点

A,C在一次函数y2=|x+n的图像上，线段AB长为16,线段OC长为8,当％随着x的增大而减小时，求自变

量x的取值范围.

解析因为线段OC长为8,

所以n=8或-8.

当n=-8时，则有A（6,0）.

因为抛物线与x轴交点位于x轴两侧，且抛物线过A,C两点，

所以a>0.

因为AB=16,且A,B位于x轴的两侧，

所以B(-10,0),

所以由二次函数图像的性质得，二次函数的对称轴为x=-2.

又因为要使得力随着x的增大而减小，且二次函数开口向上,

所以烂-2.

同理可得n=8时,xN2.

例4

已知抛物线y=/与直线y=(rn2-l)x+m2.

(1)当m为何实数时，抛物线与直线有两个交点？

(2)设坐标原点为O,抛物线与直线的交点从左侧到右侧分别为点A,B.当直线与抛物线两点交点的横坐标之

差为3时，求△AOB中0B边上的高.

y=xz

)=(—-1)2+"?2

解析⑴联立

所以%2=(m2—l)x+m2,BPx2—(m2—l)x—m2=0.

因为抛物线与直线有两个交点，

所以A—b2—4ac=(m2—l)2+4m2>0.

所以m取任何实数，抛物线与直线总有两个交点.

(2)因为x2—(m2-1)%-m2=0,

2

所以犯=-1,%2=m.

又因为\m2-(-1)|=3,

解得m=±V2,

所以直线的函数表达式为y=x+2,

所以A(-1,1),B(2,4),

所以NBAO=90。，

所以/i=|V5.

双基训练

1.抛物线y=/—+3交x轴于点A,B,点C是抛物线上一动点，则△ABC().

A.最大面积为1B.最大面积为2C.最小面积为1D.没有最大面积

2.用长8m的铝合金做成如图所示形状的矩形窗框，要求窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积

为().

A64D82

A.—TH7”B.-m

253

4o

C.4m2D.-m2

3

第2题图

3.已知某商品的销售利润y（元）与该商品销售单价x（元）之间满足y=-20/+i400x-20000关系,则获利最

多为（）.

A.4500元B.5500元C.6500元D.20000元

4.若抛物线y=（%-2）2+k的图像与x轴的一个交点坐标为（1,0）,另外一个交点坐标为（）.

A.（3,0）B.（0,3）C.（-3,0）D.（0,-3）

5.已知二次函数y=kx2-7x+7的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（）.

A.k＞：且蚌0

C.fc＞|D.k＜汨k'O

6.已知有一抛物线形的拱桥洞，最大高度为4m,跨度为20m,现在建立如图所示的直角坐标系，则抛物线的

解析式为（）.

.12।4D51

A.y=——x乙+-xB.V=——好2-------X

,255/825

141r4

C.y=-----x7+-x

4255Qy=F+产+8

7.二次函数y=3-4x-5与x轴交点个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

8.有一批商品，每件进价为70元，若每件售价为100元，则每天可以卖出20件.若该商品在一定范围内每降

价1元，其日销量就增加1件，为获得利润最大，这种商品的销售单价应降价（）.

A.5元B.10元C.15元D.20元

9.已知二次函数y=ax2+bx+c（aW0）的图像如图所示,对称轴为x=l,则下列结论正确的是（）.

A.ac>0

B.方程ax2+bx+c=0的两根是%i=—1,%2=3

C.2a-b=0

D.当x>0时，y随x的增大而减小

10.在一个等腰直角三角形的内部作一个矩形，其中等腰直角三角形的腰长为20cm,则矩形面积的最大值是一

11.如图所示，以O点为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A,B,C,D,则阴影部分的面积为—

A-1B

第11题图

12.已知二次函数，当x=l时，最值为16,且图像在x轴上截得线段长度为8,则二次函数的解析式为—.

13.已知抛物线的顶点是(3,-2),且在x轴上截得的线段长度为6,抛物线的解析式为—

14.如果抛物线y=(4+k)x2+k开口向下，则k的取值范围是—.

15.已知二次函数y=x2+2mx+2,当x>2时，y随x增大而增大，则实数m的取值范围是—.

2

16.已知点yi),B(X2>丫2)在二次函数y=(%-I)+1的图像上，若>%2>1,则yi____y2(填或

17.已知△ABC中,AB与AB边上高的和为20.求

(1)SAABC与AB的关系.

⑵AB为何值时,SAABC的面积最大？

18.已知函数y=kx2-6x+3与x轴有交点，求k的取值范围.

19.用一块长为2m的矩形铁皮折成截面为等腰梯形的水槽，如图所示，即折线ABCD的长为2m,已知梯形的

一个底角为120。,求：

D

⑴水槽截面面积.火。62)与侧面宽x(m)之间函数解析式.AV.........................-y

(2)要使得水槽截面面积最大，它侧面宽应该是多长？\/

第19题图

能力提升

20.某建筑师为了美化建筑物的外表，把某大厦窗户下半部分设计为抛物线形状，如图所示.两条抛物线关于y

轴对称,AE〃x轴“AB=4cm，.最低点C在x轴上，高CH=lcm,BD=2cm厕右边抛物线DFE的解析式为（）.

Ay=；(x+3)25.y=—3)2

C.y=-(0+3)2D.y=--3)2

第20题图

21.已知抛物线y=号久2+%+c与x轴没有交点，则y=cx+l的图像不经过的象限为（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22.已知二次函数y=x2-x+a（a）0）,当自变量x取m时，其相应函数取值小于。，那么下列结论正确的是（

）.

A.m-］的函数值小于0

B.m-1的函数值大于0

C.m-1的函数值等于0

D.m-1的函数值与0的大小关系不能确定

23.已知二次函数y=ax2+bx的图像如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=。有实数根，则m的最大值

为（）.

A.-3B.3

C.-6D.9

24.如图所示，等边△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度，沿A—B—C的方向运动，到达C

时停止.

25.已知二次函数y=ax2+bx的图像经过点A（-l,l）,则ab有（）.

A.最小值0B.最大值:C.最大值0D.最小值

26.如图所示，把抛物线丫=-；/平移得到抛物线m,抛物线m经过点A（8,0）和原点，顶点为B,它的对称

轴与抛物线y=-交于C,则阴影部分面积为一.

27.如图所示，平行四边形ABCD中,AD=4cm,ZX=60。,BD14D,,一动点P从A点出发，以lcm/s的速度沿

A-B—C的路线做匀速运动，过点P作直线PM，使PM，4D当点P运动2s时,设直线PM与AD交于E.®I|AAP

E的面积为

28.已知a+b+c=0,把抛物线yax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位，所得新抛物线的顶点

是（-2,0）,求原抛物线解析式.

29.某小区有一长为100m,宽为80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区

（四块绿化区为全等矩形），空白区域为活动区,且四周出口一样宽，宽度不小于50m,不大于60m,预计活动区每

平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元.

（1）设其中一块绿化区的边长是xm,写出工程总价y（元）与x（元）的函数解析式（写出x的取值范围）.

⑵如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务?若能，请写出x为整数所有的工程方案；若不能，说明理

由（参考数据V3〜1.732）.

第29题图

拓展资源

30.已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图像如图所示，给出以下结论：

@b2>4ac;（2）abc>0;（3）2a-b=0;@8a+c<0;⑤9a+3b+c<0.

其中结论正确的是—.（填正确结论的序号）

31.已知抛物线y=久2与y=（m2-l）x+m2.

（1）当m为何值时，抛物线与直线有两个交点？

⑵设坐标原点为O,抛物线与直线的交点从左向右分别为A,B,当直线与抛物线两个交点的横坐标之差为3

32.“城市发展，交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建设

后大大提升了二环路通行能力.研究表明，某种情况下，高架桥上的车速速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单

位：辆/千米）的函数,且当（。<xW28时,v=80;当28<x<188时，v是一次函数，函数关系如图所示.

（1）求当28<xW188时，v关于x的函数解析式.

（2）若车流速度不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大?并求出最大值.

注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度义车密度.

第32题图

33.某水渠的截面呈抛物线形状,水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在的直线为x轴，一抛物线的对称

轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O,已知4B=8米，设解析式为y=a久2一4.

⑴求a的值.

（2）点C（-l，m））是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求△BCD的面积.

第33题图

34.如图所示，一次函数.y=kx+n的图像与x轴和y轴分别交于A(6,0)和.S(0-2遍)线段AB的垂直平分

线交x轴于点C,交AB于点D.

⑴试确定这个一次函数解析式.

(2)求A,B,C三点抛物线函数解析式.

第34题图

1-5DBAAD6-9CBAB

10.100cm211.112.y=-(x-l)2+16

13.y=-%2——14.k<-415.m>-216.>

z93x—

17.(1)设AB=X,SAABC=y，则y=1%(20-%);⑵x=10时,y有最大值50

18.k<3

19.(l)y=—乎%2+-73x(0<x<1);(2)|m

20-25BDABCD

26.1627.V52cm228.y=-i%2+-

,424

29.(l)y=-40%2+400x+480000(20<%<25)

(2)能•方案一:长为23m,宽为13m;

方案二:长为24m,宽为14m;

方案三:长为25m,宽为15m.

30.①函数图像与x轴有两个交点，因此b2>4ac.

②函数图像开口向上，故有a>0；与y轴交点为负数，因此c<0；函数对称轴为?=1,因此b<0,即有:abc>0.

③函数对称轴为?=1,则有2a+b=0.

2a

④因为2a+b=0,所以y=ax2-2ax+c.

若要判断8a+c与0的大小关系，即判断x=-2时y与0的大小关系，

由图形结合二次函数，可得8a+c>0.

⑤若要判断9a+3b+c与0的关系，即判断x=3时y与0的关系.

由图形结合二次函数的对称性得：x=3与