2023年高考数学一诊试卷（文科）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年高考数学一诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|0<x≤2}，B={x∈Z|x≥0}，则A∩B子集的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.82.复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1−2i，i为虚数单位，则A.1+2i B.−1−2i C.−1+2i D.2+i3.若sinα+cosα=12，则sin2α=(

)A.34 B.38 C.−34.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则f(−4)=A.2 B.−2 C.1 D.−15.“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”…当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则从这800名学生中随机抽取一人，周平均阅读时间在(10,12]内的频率为(

)A.0.20 B.0.10 C.0.15 D.0.306.已知焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心率是(

)A.233 B.2 C.627.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCDA.34 B.64 C.417+17 8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(5π

A.12 B.−12 C.19.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4，7，11，16，22，29，则该数列的第18项为(

)A.172 B.183 C.191 D.21110.已知点P(−3,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若PA⋅PB=0A.1 B.2 C.3 D.311.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4,BC=AC=22,AA1=1，点M，N分别是A.155 B.105 C.5312.设a=e0.1−1，b=110，A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件x+y−4≤0,2x−y−6≤0,x−1≥0,则z=x+y的最大值是

．14.已知向量a=(13m,2)，b=(2,3m)，若a与b共线且方向相反，则|2a15.在如图所示的平面四边形ABCD中，AD=3，AB=BC=CD=3，则3cosA−cosC的值为

．

16.若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=−x2+nx−6(x>0)的公切线，则m=

，n=三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6=2，S5=5，等比数列{bn}中，b2=4，b5=32．

(1)求数列{a18.(本小题12.0分)

某校组织了全体学生参加“建党100周年”知识竞赛，从高一、高二年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩(满分100分)，统计如表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]高一年级310121510高二年级46101812(1)分别估计高一，高二年级竞赛成绩的平均值x1−与x2−(同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表)；

(2)学校规定竞赛成绩不低于80非优秀优秀合计高一年级高二年级合计100附：χ2=n(ad−bcα0.150.100.050.01x2.0722.7063.8416.63519.(本小题12.0分)

如图甲所示的正方形AA′A′1A1中，AA1=12，AB=A1B1=3，BC=B1C1=4，对角线AA′1分别交BB1，CC1于点P，Q，将正方形AA′A′1A1沿20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是4+23．

(1)求椭圆C的标准方程；

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=lnx+a2x(a∈R)．

(1)当a=1时，求函数在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若x1>x22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为x=−1+2cosαy=3+2sinα(其中α为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0．

(1)将圆C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若M是直线l上任意一点，过M作C的切线，切点为A，B，求四边形AMBC面积的最小值．23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|x−2|−2|x−1|，x∈R．

(1)求不等式f(x)≤4x+1的解集；

(2)若对于∀x∈R，a2−a>f(x)+|x−2|，求a的取值范围．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={x|0<x≤2}，B={x∈Z|x≥0}，

则A∩B={1,2}，

∴A∩B的子集的个数为22=4．

故选：C．

先求出A∩B，由此能求出A∩B的子集的个数．

2.【答案】B

【解析】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1=1−2i，

则z2=−1−2i．

故选：B3.【答案】D

【解析】解：因为sinα+cosα=12，

所以两边平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=14，

则sin2α=−34.【答案】B

【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，

所以f(4)=log24=2，

则f(−4)=−2．

故选：B．

由已知先求出f(4)5.【答案】A

【解析】解：由题意可得(0.002+0.003+0.005+0.005+0.15+a+0.005+0.004+0.001)×2=1，

解得a=0.1，

∴周平均阅读时间在(10,12]内的频率为2a=0.20．

故选：A．

直接利用频率分布直方图的性质求解即可．

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】A

【解析】解：焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，

可设一条渐近线的倾斜角为α，所以5α+α=π，可得α=π6，

依题意

ba=tanπ6=33，e=ca7.【答案】B

【解析】解：设外接球的半径为R，因为外接球的体积为36π，所以V=43πR3=36π，所以R=3，

设底面正方形ABCD边长为a，

因为长方体外接球的球心在体对角线中点，球直径为长方体体对角线，

所以a2+a2+a2=2R=6，所以a=48.【答案】D

【解析】解：由图可知，最小正周期T=2(2π3−π6)=π，

则ω=2ππ=2，

图象过点(π6,2)，

则2sin(2×π6+φ)=2，即π3+φ=π2+2kπ，即φ=π6+2kπ,k∈Z，

|φ|<π2，

则9.【答案】C

【解析】解：设该数列为{an}，

∵数列的前6项分别为4，7，11，16，22，29，

∴数列{an}满足a1=4，an−an−1=n+1(n≥2)，

∴an=(10.【答案】D

【解析】解：抛物线C：y2=2px(p>0)，则抛物线C的准线为x=−p2，

∵点P(−3,2)在抛物线C的准线为x=−p2，

∴−p2=−3，解得p=6，

∴抛物线C的焦点为(3,0)，

过焦点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x−3)，

联立y=k(x−3)y2=12x，整理得k2x2−6(2+k2)x+9k2=0，

∴Δ=36(2+k2)2−36k4=144k2+144>0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴x1+x2=11.【答案】A

【解析】解：如图所示，取BC的中点E，连接EN，

则根据题意易得四边形MNEB为平行四边形，

∴BM//EN，

∴直线BM与CN所成角为∠CNE，

又根据题意易知BC⊥平面ACC1A1，且CN⊂平面ACC1A1，

∴BC⊥CN，又EN=BM=B1M2+B1B12.【答案】B

【解析】解：令f(x)=ex−1−x，x>0，

则f′(x)=ex−1>0恒成立，

故f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=0，

故ex−1>x，

所以e0.1−1>0.1，

所以a>b，

又ex>x+1，

所以x>ln(x+1)，

所以0.1>ln1.1，即b>c，

故c<b<a．

故选：B．

先构造函数f(x)=13.【答案】4

【解析】解：由约束条件，画出可行域如图，

目标函数z=x+y可化为：y=−x+z，得到一簇斜率为−1，截距为z的平行线，

要求z的最大值，须满足截距最大，

∴当目标函数过点A或C时截距最大，

由x=1x+y−4=0可得C(1,3)，

由2x−y−6=0x+y−4=0可得A(103,23)，

∴z的最大值为4．

故答案为：4．14.【答案】21【解析】解：向量a=(13m,2)，b=(2,3m)，a与b共线且方向相反，

则13m⋅3m=2×2，解得m=−2或2(舍去)，

故a=(−23,2)，b=(2,−6)，

所以2a+15.【答案】1

【解析】解：由题意得AD2+AB2−2AD⋅ABcosA=BC2+CD2−2BC⋅CDcosC，

∵AD=3，AB=BC=CD=3，

16.【答案】−2

7

【解析】解：设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3)，

由函数y=x3(x>0)，得y′=3x2，则3a2=3(a>0)，解得a=1，

∴13=3+m，即m=−2，

设与曲线y=−x2+nx−6(x>0)相切于点(b,3b+m)，

由函数y=−x2+nx−6(x>0)，得y′=−2x+n，则−2b+n=3(b>0)，

又−b2+nb−6=3b−2，17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

因为a6=2，S5=5，

所以a1+5d=2，5a1+10d=5，

解得a1=d=13，所以an=13+13(n−1)=n3，

设等比数列{bn【解析】(1)根据等差数列和等比数列性质结合题中已知条件，便可求出a1，d，b1，q的值，进而求得数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)18.【答案】解：(1)高一年级随机抽出50名学生竞赛成绩的平均值估计为x1−=150×

(55×3+65×10+75×12+85×15+95×10)=78.8，

高二年级随机抽出50名学生竞赛成绩的平均值估计为x2−=150×

非优秀

优秀

合计

高一年级

25

25

50

高二年级

20

3050

合计

45

55100∵χ2=100×(25×30−25×20)245×55×50×50【解析】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题．

(1)根据表格的数据，结合平均值公式，即可求解．

(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．

19.【答案】(1)证明：过M作MN//CQ，交AQ于N，连接PN，BM，

由于PB//CQ，则MN//PB，所以M，N，P，B共面，

且平面MNPB∩平面APQ=PN，

因为AB=3，BC=4，所以AC=AA′−AB−BC=12−3−4=5，

又在正方形AA′A1′A1中，∠CAQ=π4，

所以PB=AB=3，∴QC=7，∴tan∠QAC=75，

由AM=157，得MN=157×75=3=PB，

所以四边形MNPB为平行四边形，则BM//PN，

又PN⊂平面APQ，BM⊄平面APQ，所以BM//平面APQ；

(2)解：由(1)知【解析】(1)过M作MN//CQ，连接PN，BM，证明四边形MNPB为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明结论；

(2)根据三棱锥的等体积法，将三棱锥M−APQ的体积转化为求Q−ABC的体积，结合二者之间的数量关系，可得答案．

本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．

20.【答案】解：(1)由题意可得e=ca=322a+2c=4+23，可得a=2，c=3，b2=a2−c2=4−3=1，

所以椭圆的方程为：x24+y2=1；

(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=kx+tx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，

Δ=64k2【解析】(1)由离心率的值及三角形的周长，可得a，c的值，进而求出b的值，求出椭圆的方程；

(2)联立直线MN的方程与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求出MN的中点的坐标，由平行四边形的性质，可知P点坐标，代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出|MN|的表达式及O到直线MN的距离d，由平行四边形的面积为三角形面积的2倍，代入三角形的面积公式，求出四边形的面积．

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，平行四边形性质的应用及平行四边形面积的求法，属于中档题．

21.【答案】解：(1)函数f(x)=lnx+a2x(a∈R)，x∈(0,+∞)，

当a=1时，f′(x)=1x−12x2=2x−12x2，

∴f′(1)=12，又f(1)=12，

∴切线方程为y−12=12(x−1)，化为x−2y=0．

(2)当x1>x2>1时，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2<a2，即f(x1【解析】(1)函数f(x)=lnx+a2x(a∈R)，x∈(0,+∞)，利用导数的运算法则可得f′(x)，可得f′(1)，利用点斜式即可得出切线方程．

(2)当x1>x2>1时，恒有f(x1)−f(x222.【答案】解：(1)圆C的参数方程为x=−1+2cosαy=3+2sinα(