2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-函数的概念及其表示（学生版）

专题18函数的概念及其表示

【知识点梳理】

知识点一：函数的概念

1、函数的定义

设4、8是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系了,使对于集合A中的任意一个数x,在集合8

中都有唯一确定的数/(x)和它对应，那么就称了:AfB为从集合A到集合8的一个函数.

记作：y=f(^)>x&A.

其中，尤叫做自变量，尤的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值

的集合｛〃尤)|xe4｝叫做函数的值域.

知识点诠释：

(1)4、B集合的非空性；(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性；(3)4中元素的无剩余性；(4)2中元素

的可剩余性。

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如

果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

3、区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示.

区间表示：

[x\a<x<b}={a,b)；{x\a<x<b]-[a,b]

[x\a<x<b}=^a,b\；{x\a<x<b]-[a,b^

[x\x<b}=(-oo,Z?]；{x\a<x]=.

定义*名称一符号数轴表示〃

闭区间~

ab

{x\a<x<b}^开区间2(应ab

半闭半开p

[^)

区间~ab

半开半闭〃

｛世

区间~ai,

知识点二：函数的表示法

1、函数的三种表示方法:

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点:简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值.

2、分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并

分别注明各部分的自变量的取值情况.

知识点三：函数定义域的求法

(1)确定函数定义域的原则

①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地

讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次基的底数不为零以及我们在后面学

习时碰到的所有有意义的限制条件.

②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

(2)抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用了(尤)表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关

键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一

致的，都在同一取值范围内。

(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须

用集合或区间来表示.

知识点四：函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确

定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和

“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函

数的值域方法求函数的值域；

判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；

此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数

的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，

求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

【题型归纳目录】

题型一：函数的概念

题型二：给出解析式求函数的定义域

题型三：抽象函数求定义域

题型四：给出函数定义域求参数范围

题型五：同一函数的判断

题型六：给出自变量求函数值

题型七：求函数的值域

题型八：求函数的解析式

题型九：分段函数求值、不等式问题

题型十：区间的表示与定义

【典例例题】

题型一：函数的概念

例1.（2023•江苏扬州•高一统考期中）下列对应是集合A到集合B的函数的是（）

A.A=B=R»/：%—>=1

B.A=Z>B=Q,f；xy=—

x

C.A=8=N*,-y=|x-3|

D.A=[0,-H»）,B=R,/：x->y=±4x

例2.（2023•高一课时练习）下列说法不正确的是（）

A.圆的周长与其直径的比值是常量

B.任意凸四边形的内角和的度数是常量

C.发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系

D.某商品的广告费用与销售量之间是函数关系

例3.（2023•高一课时练习）下列变量间为函数关系的是（）

A.匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程

B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系

C.一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间f的关系

D.生活质量与人的身体状况间的关系

变式1.（2023・湖南郴州•高一校考阶段练习）下列各函数图象中，不可能是函数y=/（x）的图象的是（）

y

变式2.（2023・河南•高一校考阶段练习）下列图象中，表示函数关系y=/（x）的是（）

变式3.（2023•广西玉林•高一校考期末）设集合V={x|O<x<2},N={y|0<yV2}.下列四个图象中能表示

从集合M到集合N的函数关系的有（）

变式4.（2023・上海•高一专题练习）下列等量关系中，，是x的函数的是（）

A.x2+y2=lB.\y\=x2C.2y=xD.y1=2x

题型二：给出解析式求函数的定义域

x—1

例4.（2023•高一课时练习涵数/（%）=―；的定义域是（）

x+1

A.{XGR|x^-1}B.{xeRlx^l}

C.{xeRIx^±l}D.{XERIXW-1或"1}

例5.（2023•广东佛山・高一佛山市荣山中学校考期中）函数/（尤）=7袅++的定义域为（）

A.（一°°,2）（2,+oo）B.（—oo,—2）（—2,2）

C.（-oo,-2）D.（-oo,2）

例6.（2023・高一单元测试）已知函数〃x）=^/^-忌；的定义域为（）

A.[3,7]B.[3,7）C.（-8,3]D.（7,田）

变式5.（2023•江西九江•高一校考阶段练习）若代数式J产有意义，则实数xe（）

A.[2,4-oo）B.（—8,-2]

C.（-°0,-2]1][2,+co）D.（—8,+oo）

变式6.（2023・安徽芜湖・高一安徽师范大学附属中学校考期末）若函数=则〃x）的定义

域为（）

A.[2,4]B.（-00,2卜[4,+oo）

C.（2,4）D.（^»,2）U（4,-K»）

变式7.（2023・福建泉州•高一福建省安溪第一中学校考阶段练习）已知等腰三角形的周长为40,设其底边长

为ycm,腰长为xcm.则函数y=/（尤）的定义域为（）

A.（10,20）B.（5,10）C.[5,10）D.（0,20）

变式8.（2023・高一课时练习）已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为>=10-

2x,则函数的定义域为（）

A.{x|尤GR}B.{x|x>0}

C.{x|0<x<5}D.[■|<犬<5：.

题型三：抽象函数求定义域

例7.（2023•高一单元测试）已知函数y=f（x+l）的定义域是[-2,3],则y=/（x—1）的定义域是（）

A.[-2,3]B.[-1,4]C.[0,5]D.[-4,1]

-13-

例8.（2023•高一单元测试）若函数y=〃2x-1）的定义域为---,则函数y=/（x）的定义域为（）

A.[-U]B.[-1,2]C.[0,1]D.[0,2]

例9.（2023•全国•高一专题练习）已知函数y=〃x+l）的定义域为[L2],则函数y=〃2x-l）的定义域为

（）

11「31

A.—B.5,2C.[-1,1]D.[3,5]

变式9.(2023•湖南衡阳•高一衡阳市一中校考期中)已知函数/(x+1)的定义域为[1,7],则函数

〃(x)=/(2x)+j9-x2的定义域为()

A.[4,16]B.(-8,1]R3,E)C.[1,3]D.[3,4]

变式10.(2023.吉林・高一长春市第二实验中学校联考期末)若函数/(X)的定义域为[0,4],则函数

8(司=/"+2)的定义域为()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

变式11.(2023•重庆九龙坡•高一重庆市铁路中学校校考期末)己知函数/(2x+l)的定义域为[-1,2],则函数

>=£区的定义域为()

x+\

A.{^|-l<x<2}B.{x|-l<x<5}

C.D.{x|-l<x<5}

变式12.(2023・全国•高一专题练习)已知函数f(x-2)的定义域为(-L3),则函数g(x)=1^的定义域为

()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,+«))D.(3,7)

题型四：给出函数定义域求参数范围

例10.(2023・湖南常德•高一汉寿县第一中学校考期中)若函数「=/,1的定义域为R,则实数。的

7ax—ax+3

取值范围是.

例11.(2023•高一课时练习)函数y=J生口的定义域为若3e则实数a的取值范围是

x+a

例12.（2023•全国•高一专题练习）若函数y=二的定义域为R,则实数。的取值范围为

CUC+1

变式13.（2023・天津和平•高一校考期中）若函数y=I2的定义域为尺，则实数。的取值范围

7ax-4ax+3

变式14.（2023.高一课时练习）若函数/（x）=—^4——^的定义域为R，则实数机的取值范围是

nvc—4mx+3

题型五：同一函数的判断

例13.（2023•高一课时练习）下列各函数中，与函数g（x）=J7表示同一函数的是（）

A./（x）=|x|B.f（x）=±\x\

2

xD.f(x)^x°-\x\

例14.(2023・高一课时练习)下列各组函数为同一函数的是()

①=-2x-1与g(s)=1-2s-l；

③/(x)=xVg(x)=笈*

A.①②B.①C.②D.③

例15.(2023・高一课时练习)下列四组函数，表示同一函数的是()

A./(x)=^/?,g(x)=xB.〃x)=Y，g(x)=x

C./(A：)=\lx2-4,g(x)=y/x-2-\fx+2D.=V?,g(x)=x

变式15.(2023•全国•高一专题练习)下列四组函数中，表示同一函数的是()

A.y(x)=gg(x)=W

B./(x)=J(x+2>与g(x)=(而为2

C./(*)=五与g(x)=笈

D.=x与g(x)="

变式16.（2023・上海青浦•高一统考开学考试）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）.

A.f（X）=y/1+X-y/1-X,g⑴=J]-/B.=,g（%）=（五）

C.f=——->g（x）=x+lD.y（x）=A/X+T,y/x—1,g（x）=_]

变式17.（2023・湖南郴州•高一校考阶段练习）下列函数与是同一函数的是（）

A.y=-^B.y=A（x1）C.y=-7?D.y=-4x-4x

尤_]一

题型六：给出自变量求函数值

例16.（2023・高一单元测试）若/X2x+l）=2x+3,贝iJ/（3）=.

例17.（2023•河北邯郸・高一校考期末）已知函数/⑺满足“x+1”％2,贝1]/（2）=.

2

例18.（2023•重庆璧山•高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）设“1-2x）=1-0贝ij〃2）=

变式18.（2023.甘肃庆阳•高一校考期末）已知定义域为R的函数〃x）=2x-3,g（x）=3x,则/（g（-l））=

变式19.（2023•海南僧州•高一校考期末）已知/（尤）=充，那么

./⑵+佃+如呜>⑷+山卜一・

变式20.（2023・重庆北倍・高一统考期末）已知函数“X）,g（x）分别由下表给出，则g[〃2）]=

X123

/W131

g(x)321

1_2

变式21.(2023•河南南阳•高一盐城市大丰区南阳中学校考期末)已知式2x+l)=」r^,则次1)=.

1+X

变式22.(2023•上海普陀•高一曹杨二中校考期末)己知函数y=/(x)满足：对任意非零实数无，均有

小+£|=,+*，则/⑶=-----------

变式23.(2023•广西贺州•高一校考期末)已知函数〃尤+1)=/-1,则/(-2)=.

题型七：求函数的值域

例19.(2023•浙江杭州•高一校考阶段练习)求下列函数的值域.

(D/(x)=2x+4jl-x;

⑵

(3)f(%)=炉—2x—3,xG(-1,4].

例20.(2023・高一课时练习)试求下列函数的定义域与值域.

⑴/(%)=(%-Ip+i,tw{-1,0,1,2,3}

(2)/(^)=x2-2x+2

⑶小)白

(4)y=x-y/x+1

例2L(2023・全国•高一专题练习)求下列函数的值域:

(1)/(%)=炉+2%+1(兀G{—2,—1,0,1,2})；

„/、2%+1

⑵/(%)=-----

X-J

(3)/(x)=+x+3；

(4)/(X)=X-A/1-2X.

变式24.(2023•高一课时练习)求y=|2x-l|+卜-3|的最小值.

变式25.(2023・上海徐汇・高一上海中学校考期末)(1)求函数y=二*口的值域;

(2)求函数y=x+2万嚏的值域.

变式26.(2023•高一课时练习)已知函数/(x)=:的值域为口,3],求的值

3%2+%+3

变式27.(2023・高一课时练习)若函数/(x)=:的最大值为0，最小值为人，则。+匕=()

"V”+I11

A.6

C.8

变式28.(2023・高一课时练习)已知凡6£7?,且4+"+必=1,则8的取值范围是.

题型八：求函数的解析式

例22.(2023•江西南昌•高一进贤县第二中学校考阶段练习)根据下列条件，求/(%)的解析式.

(1)已知f+2)=2x+sVx+5

(2)已知+2/(-x)=3x2-2x

⑶已知是二次函数，且满足〃0)=lJ(x+l)—/(x)=2x

例23.（2023•云南昆明・高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）⑴已知/（«+l）=x+2无，求的

解析式；

（2）已知是一次函数，且满足3〃x+l）—2/（x—l）=2x+17,求的解析式.

例24.（2023・湖南株洲•高一校考期中）回答下面两题

（1）已知/（x+l）=d—3x+2,求/（X）；

⑵已知函数/⑺是一次函数，若/（〃x））=4x+8,求〃%）.

变式29.（2023・湖南郴州•高一校考阶段练习）求下列函数的解析式

⑴若+=f+，，求〃x）的表达式.

⑵已知3〃X）+2/（T）=X+3,求的表达式.

变式30.（2023・湖北十堰•高一哪阳中学校考阶段练习）已知函数y=〃x）（Q-2）的图象如图示，在直线

x=l的左侧是经过两点4（-2,0）,41,3）的线段（包括两个端点），在直线x=l的右侧是经过点C（2,3）且解析

⑴求函数丁=/（力（记—2）的解析式;

⑵求〃/⑺）的值;

（3）求方程/（力=1的解.

变式31.（2023・全国•高一专题练习）若函数=则〃x）=

变式32.（2023•辽宁葫芦岛•高一统考期末）已知函数/（X）为R上的增函数，且对任意xeR都有

=则〃4）=.

变式33.（2023・高一课时练习）/（x）是R上的函数，且满足/（0）=1,并且对任意的实数项y都有

/（X-y）=f{x}-y（2x-y+1）,则/（x）的解析式_______

题型九：分段函数求值、不等式问题

-2x,x<l

例25.（多选题）（2023・吉林松原•高一校考期末）已知函数/。）=若/⑷=8,则实数。的值为

2X2,X>1'

()

A.-4B.-2C.2D.8

z、x+1,x<0

例26.（多选题）（2023•广东湛江•高一雷州市第一中学校考阶段练习）己知函数〃力=厂，若

+8,%>0

〃a）=10,则实数。的值可以是（）

A.3B.-3C.4D.-4

x+2,A;,0

例27.（多选题）（2023•辽宁铁岭•高一昌图县第一高级中学校考期中）/（%）=—,0<x<2,且

x

—f+4x—3,x..2

3

"则实数“的值为（）

A-TB-ID-I

3x+5,x<0

变式34.（多选题）（2023・四川宜宾•高一四川省宜宾市第四中学校校考期中）已知函数/⑺=（+工I〉。

若山）=2,则实数。的值为（）

一4

A.—2B.—C.—1D.1

3

变式35.（多选题）（2023・宁夏中卫・高一中宁一中校考阶段练习）如图是函数/（X）的图像，则下列说法正确

B./（力的定义域为[-2,2]

若〃）则或

C./（尤）的值域为[—3,2]D.x=0,x=g2

变式36.（多选题）（2023•全国•高一专题练习）下列给出的式子是分段函数的是（）

X2+1,1<X<5X+1,XG7?

A.8）=B.於）=

2X,X<1X2,X>2

2x+3,l<x<5x2+3,x<0

C.»=D.»=

x2,x<lx-l,x>5

x+2,x<-l

变式37.（2023•广西桂林•高一校考期中）设函数<》<2.

2x,x>2

⑴求3）,（偈;

⑵若八。）=；,求。的值.

2x+3,%<—1

变式38.(2023•广西梧州•高一苍梧中学校考阶段练习)已知函数/(x)=v-+i「i<x<i

I1H--I-,X〉I।

⑴求/(/(-2))的值;

3

(2)若/(%o)=/,求/的值.

-x2+2x(0<x<2)

变式39.(2023・广东佛山•高一校考阶段练习)已知函数/(%)=

X2+2x(-2<x<0)

%

2-

-2-IO2x

-I

(2)作出函数的简图;

⑶由简图指出函数的值域;

x+2,

变式40.(2023・重庆江津•高一校考期中)已知函数/(%)的解析式/«=x2,l<x<2,

x>2

(1)求/"

⑵若“。)=2,求a的值;

-X2+2%,x>0,

变式41.（2023•甘肃兰州•高一校考期末）已知函数/（尤）=

x2+2x,x<0.

⑴求〃/(T))的值;

⑵若〃。）=-3,求a的值.

题型十：区间的表示与定义

例28.（2023・高一课时练习）用区间表示集合｛尤eRi2〈尤44｝.

例29.（2023•高一课时练习）集合A=｛X0<x<无｝用区间形式表示应为.

例30.（2023・高一课时练习）若［0,3a-1］为一确定区间，则a的取值范围是.

变式42.（2023・高一课时练习）将集合A=｛x|lVx<5,x/3｝用区间表示为.

变式43.（2023•高一课时练习）用区间表示下列集合.

（l）｛x|x>-2｝:；

（2）｛X|1<X<3｝：；

（3）｛幻-3<彳40或1<尤<2｝：；

（4）R：.

变式44.（2023・上海•高一专题练习）集合｛x|-2<xW2且x*O｝用区间表示为

【过关测试】

一、单选题

1.（2023・广东深圳•高一深圳外国语学校校考期中）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著

名的“康托三分集是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区

间［。,1］均分为三段，去掉中间的开区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分

别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础

上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无

穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（）

[211r211r811「825'

A'_9,3_B•_27,9_C,_27?3_D,_9,27_

2.（2023・高一单元测试）已知函数十=，小2_6〃a+加+8的定义域为口,求实数加的取值范围（）

A.0<m<lB.0<m<l

C.0<m<lD.0<m<l

3.（2023•江苏苏州•高一统考期中）已知函数/'（x+2）=x2+x,则/⑴的值为（）

A.12B.6C.2D.0

4.（2023•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数〃2x+l）的定义域为[1,2],则函数〃x-l）

的定义域为（）

A.[1,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]

5.（2023•全国•高一专题练习）下列函数中，值域是（0,+巧的是（）

A.y=yjxZ-2x+lB.y=XG（0,+QO）

x+1

2_1

C.y=—^----------,xeND.y~~~J

X2+2x+lk+l|

6.（2023•高一课时练习）已知集合4={1,2,3,左},3={4,7,，,〃2+3〃},其中〃£此，函数/O）=3x+1的定义

域为A,值域为8,则〃，左的值分别为（）

A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5

7.（2023•安徽芜湖•高一芜湖一中校考期中）定义：称为区间0的长度，若函数

f（X）={ax1+&r+c（a<0）的定义域与值域区间长度相等,则。的值为（）

A.-4B.-2C.4或—2D.与上。的取值有关

8.（2023.山东青岛.高一青岛市即墨区第一中学校考期中）若函数〃司=三高干的最大值为最小值

为加，则加=（）

A.3B.2C.1D.0.5

二、多选题

9.（2023•广东深圳•高一翠园中学校考期中）下列各组函数不是同一个函数的是（）

A.•与g（x）=x+l

X—1

B./（力=J-2%3与g（%）=%.J—2%

c.〃x）=x+2与g（r）=V?"+2

D.〃x）=&_4与g（x）=Jx—2.Jx+2

10.（2023・高一单元测试）下列集合不能用区间形式表示的是（）

A.{1,2,34}B.{xeQ|x>l}

C.{x|xWO或尤23}D.{xeN|2<x<5}

11.（2023・安徽合肥•高一校考阶段练习）函数y=f（x）的图象如图，贝式）

A.函数〃x）的定义域为［T,4）B.函数〃尤）的值域为0+8）

C./［/（1）］=5D.对于任意的ye（5,y）,都有唯一的自变量尤与之对应

12.（2023・高一课时练习）下面结论正确的是（