新人教版高中数学必修第二册第七章 复数 达标检测（含答案）

新人教版高中数学必修第二册第七章复数达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算:i(1+i)2=()A.-2 B.2 C.2i D.-2i2.复数-2iA.-1-i B.-1+iC.1+i D.1-i3.在复平面内,复数z=12+i+i2018A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知复数z=2-i2+i-2+iA.65 B.85 C.-85 5.已知复数z=5a2+i+1+i1-i,a∈R,若复数A.a<0 B.a>1C.0<a<1 D.a<16.如图,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A.3+i B.3-iC.1-3i D.-1+3i7.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转π2,再向左平移一个单位,最后向下平移一个单位得到点B,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为A.-1 B.1 C.i D.-i二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知复数z=21-iA.|z|=2B.z2=2iC.z的共轭复数为1-iD.z的虚部为i10.下列说法中正确的是()A.在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示虚数B.z1+z2C.已知i为虚数单位,若m∈Z,则im+im+1+im+2+im+3=0D.若复数z满足|z-i|=|z+i|,则复数z对应的点的集合是圆11.设z1,z2为复数,则下列结论中错误的是()A.若z12+z22>0,B.|z1-z2|=(C.z12+z22=0⇔zD.z1-z112.已知复数z,下列结论正确的是()A.“z+z=0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件B.“z+z=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件C.“z=z”是“z为实数”的充要条件D.“z·z∈R”是“z为实数”的充分不必要条件三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.设复数z=1+i1-i,14.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量OA和OB,其中O为坐标原点,则|AB|=.

15.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|=;z·z=.(本题第一空2分,第二空3分)

16.定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)(2+2(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.18.(本小题满分12分)已知复数z=a-1+ai(a∈R).(1)若z是纯虚数,求a;(2)若|z|=5,求z.19.(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i与z2-i均为实数(1)求复数z;(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知z为虚数,z+9z-(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)求|z-4|的取值范围.22.(本小题满分12分)已知ω=-12+32i(i(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2;(2)求ω2+1ω(3)类比i(i2=-1),探讨ω(ω3=1,ω为虚数)的性质,求ωn(n∈N*)的值.答案全解全析一、单项选择题1.Ai(1+i)2=i·2i=-2.2.A复数-2i1+3.C因为z=12+i+i2018=2-i(2+i)(2-i)+(i4)504·i2=2-i5-1=-35-154.B复数z=2-i2+i-2+i2-i=(2-5.Bz=5a(2因为复数z对应的点在复平面内位于第四象限,所以2a>6.D由题图得,OC=OA+OB,所以OC对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以点C对应的复数为-1+3i.7.A若z1=z2,则m2+m+1=3所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.8.B设z=a+bi(a,b∈R),点B对应的复数为z1,则A(a,b),z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以-b-1=-二、多项选择题9.BCz=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)z的共轭复数为1-i,故C是真命题;z的虚部为1,故D是假命题.10.BC对于A,在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除原点外都表示虚数,A错误;对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)-(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i,所以z1+z2=z1+z2,B正确;对于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正确;对于D,若|z-i|=|z+i|,则在复平面内,复数z到点(0,1)11.ABC当z1=4+i,z2=2-2i时,z12=15+8i,z22=-8i,满足z12+z22>0,但z12与-z22都是虚数,不能比较大小,故A中结论错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|与(z1+z2)2-4z1z2不一定相等,故B中结论错;当z1=2+i,z2=1-2i时,z12=3+4i,z22=-3-4i,满足z1+z2=0,但z1=z2=0不成立,故C中结论错;设z1=a+bi(a,b∈R),则z112.BC若z+z=0,则z不一定为纯虚数,也可以为0,反之,若z为纯虚数,则z+z=0,∴“z+z=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件,A错误,B正确;“z=z”是“z为实数”的充要条件,C正确;若z·z∈R,则z不一定为实数,也可以为虚数,反之,若z∈R,则z·z∈R,∴“z·z∈R”是“z为实数”的必要不充分条件,D错误.故选BC.三、填空题13.答案1解析z=(1+i)2(1-14.答案22解析AB=OB-OA,所以AB对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以|AB|=22.15.答案17;16解析∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,∴a2-4=0,a-2≠0,解得a=-2,∴z=-4i,∴z16.答案3解析z*z=|z|=a2+b∵a+b=3,∴ab≤a+b2当且仅当a=b=32时,等号成立∴-ab≥-94,∴z*z≥9-2×94故z*z的最小值为32四、解答题17.解析(1)原式=16=16=-=-16(1+3i)×4(2)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.(10分)18.解析(1)若z是纯虚数,则a-1=0,所以a=1.(6分)(2)因为|z|=(a-1所以a2-a-2=0,所以a=2或a=-1.(10分)当a=2时,z=1+2i,z=1-2i,当a=-1时,z=-2-i,z=-2+i.(12分)19.解析(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,(1分)z2-i=x+y由条件得,y+2=0且x+2y=0,所以x=4,y=-2.(5分)所以复数z=4-2i.(6分)(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(8分)由条件得12+4a-a解得2<a<6,所以实数a的取值范围是(2,6).(12分)20.解析(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi.(2分)由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,(4分)所以z=1+i或z=-1-i.(6分)(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.(9分)当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.(12分)21.解析设z=x+yi(x,y∈R,y≠0).(1)z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数,得x=2,所以z=2+yi,(2分)所以z+9z-2=2+yi+9由z+9z-2为实数,得y-9y=0,所以z=2+3i或z=2-3i.(5分)(2)因为z+9z-=x+9(x-2)(x-所以y-9y因为y≠0,所以(x-