2024年新高考数学考前中档题试卷（五）

新高考数学考前中档题试卷（五）

姓名：班级：

一、单选题

1.已知集合4=卜€凶2尤2-5尤40｝,则A的子集个数为（）

A.4B.7C.8D.16

2.已知复数z满足（l-i）z=2+i|,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设xeR,向量4=(尤,1),6=(1,-2),且贝!]cos(a=()

A.也B・典cTD.立

55102

4.设抛物线x2=4y的焦点为尸，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q,若ZPQF=30。，

则|尸。|=（）

A.-B.逑C.6D.这

333

5.已知函数/（x）=Asin（0x+o）（A>O,0>O,兀<。<2兀）的部分图象如图所示，其图象上最

高点的纵坐标为2,且图象经过点贝（）

6.设为S）,等差数列｛凡｝的前“项和，己知y、S-S,成等比数列，邑=2%+2,当6%-S”

取得最大值时，n=（）

A.6B.7C.8D.9

7.2024年春节期间，有ABC,。,石五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看

这五部电影中的某一部电影,则小李看A电影，且4人中恰有2人看同一部电影的概率为（）

625125

8.已知〃x)是定义域为R的单调函数，且/(7(x)-3x)=4,若2"=loga=c,则()

A.f[a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f{a)

C./(a)</(c)</(^)D./(c)<f(^)</(a)

二、多选题

9.下列命题中正确的是()

\_ry-ja^b

A.设。>0,/\—二a4

B.已知2a+6=l,贝—=3

yjay/a33a

111

----1----=--

加若〃贝2m+

Ci[og』811logi1-g3D.loga4=m,logo5=J]a"=40

4MJ

10.已知/'(x)=cosox+瓜in(yx(<y>0)在［0,可上是单调函数，且y=/(x)的图象关于点

(-兀,0)对称，贝1|()

A.若-/(七)|=4,则四一马上=6兀

B./(X)的图象的一条对称轴方程为工=2兀

C.函数y=/(x)在(-兀,5兀)上无零点

D.将/(x)的图象向左平移兀个单位长度后得到的函数为偶函数

11.如图，在四面体尸―ABC中，AB=BC=2,BA1BC,PA=PB=PC=4,。为AC的

中点，点M是棱BC的点，则()

P

A.AC_L平面尸OB

B.四面体尸-A3C的体积为2m

C.四面体尸一ABC外接球的半径为诬

7

D.M为BC中点，直线PC与平面所成角最大

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.某种疾病的患病率为5%,通过验血诊断该病的误诊率(将未患病者判定为阳性的概率)

为10%,漏诊率(将患病者判定为阴性的概率)为20%,每人的诊断结果互不影响，则若

某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为

13.若定义在R上的函数/(尤)满足y=/(x+D是奇函数，f(4+x)=f(-x),/(2)=2,则

/(1)+/(2)+/(3)+.+/(30)=.

14.已知定义在(-3,3)上的函数尤)满足/(x)=e2V(-^),/(D=1J'(x)为于3的导函数，

当龙40,3)时，f\x)>f｛x),则不等式e"(lr)>l的解集为.

四、解答题

15.设椭圆E："=l(a>b>0)经过点］乎］，且其左焦点坐标为(TO).

(1)求椭圆的方程；

(2)对角线互相垂直的四边形ABC。的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，

求HC+忸胃的最小值.

16.如图，在正三棱杜ABC-A^iG中，。为的重心,。是棱cq上的一点，且QD//

平面44c.

Bi

1CD1

⑴证明：贡7=5；

⑵若44,=24用=12,求点。到平面BtAC的距离.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为%4=2,且点(。"+"")毛E直线x-y-2=0(〃£N*)上.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记"=(D"S22"T,求数列｛2｝的前n项和T„.

18.在ABC中，角A,B,。所对应的边分别为a,/?,c,已知tanC+B=tan^gtanC-l),

⑴求角A.

2

(2)若a=6，ABC所在平面内有一点。满足NBOC=17r,且8C平分NASD,求..ACD

面积的取值范围.

19.已知函数/(x)=e，-加-x,/'(X)为/(为)的导数.

(1)讨论了'(x)的单调性；

⑵若x=0是/(x)的极大值点，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】求出集合A中元素，进而求出集合A的子集个数.

【详解】由题意得，A=|xeN|0<x<|j={0,l,2},

则A的子集个数为23=8,

故选：C.

2.A

【分析】利用复数的模长公式及除法运算法则结合几何意义计算即可.

【详解】易知i2+h石，所以i,

1।l-i+22

则z在复平面内对应的点为显然位于第一象限.

故选：A

3.D

【分析】由向量垂直得％=2,再利用向量夹角的坐标运算求解cosa-乩。即可.

【详解】因为a=(x,l),b=(l,—2),

又a_Lb，所以x-2=0,得到％=2,

所以，=(2,1),得到a-5=(1,3),

/\\a-b\a5F

所以C0S(4—=-ir-=—r=7==---

'/卜-4同V5x^O2

故选：D

4.A

【分析】由题意得ZPQ尸=30°,结合正切定义以及|月0|=2可得|。青，进一步即可求解.

【详解】如图所示：

答案第1页，共14页

设M为准线与x轴的交点,

因为ZPQ尸=30。，且|尸耳=|尸处所以/尸/勾=30。,/。蛇=120。,

因为尸M//P。，所以NQFM=30,

而在RtVQMP中，I^|-Cos30一53，

~2

所以刊=|P@=1^LCOS30=竿+咚=g.

故选：A.

5.A

【分析】先通过图象经过点列方程求出④夕，进而可得“X）的解析式，再代

5兀

入了=计算即可.

6

【详解】由已知得A=2,

所以/（%）=2sin（°尤+°）,

又图象经过点（O，T）,

1

/（0）=2sinp=-1sm0=

.（Tl）1

sm[§0+°J=e

又（0,-1）为单调减区间上的点，为单调增区间上的点，且在一个周期内,

5兀…

（P=--------F2kli

6

所以＜，左£Z,

71兀

—0）+（P=---F2K71

、36

JT

两式相减得§。=兀，所以0=3,又兀＜0＜2兀，

所以。=?,

6

所以■/'（司=2$苗（3犬+得），

所以，[-g]=2sin，H]=2sinL=2sing=6.

故选：A.

6.A

答案第2页，共14页

【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差d及首项外,再借助通项公式及前〃项和公式

求出6。,-5“，进而求得答案.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d，由邑=2%+2,得2%+d=2%+2,解得d=2,

由S［、S］、及成等比数列，得(2q+=q(4q+64),解得q=；d=l,

因止匕4=1+2(〃-1)=2"—1,S"=~-=n2,

则6a„-Sn=6(2〃-1)一“2=-(〃-6>+30V3。，当且仅当〃=6时取等号，

所以〃=6.

故选：A

7.C

【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电

影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】依题意每位同学均有5种选择，则四位同学一共有54种方案，

若小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电影，

有两人看A电影，则有C；A：种方案，有一人看A电影，则有C；A；种方案，

即满足小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电影一共有C；A；+C；A：种方案，

所以所求概率尸=r113A24：+。r,32A427?

5625

故选：C.

8.C

【分析】由已知/(〃可-39=4与函数/(元)单调，可得存在唯一teR,使/(。=4,则

f(x)=3x+t,由/⑺=4求解再由2。=咋为=。，根据指对函数的对称性作出图象比较

”,4c大小，然后根据单调递增，比较/S),/(b)J(c)大小即可.

【详解】由已知f(〃x)-3x)=4,令f=/(x)-3x,

又因为/(%)是定义域为R的单调函数.

所以存在唯一teR,使/⑺=4,即/(x)=3x+f,

答案第3页，共14页

所以〃。=4/=4,解得f=l,

所以/(x)=3x+l.

如图所示作出y=2,与yulog'的图象，

因为它们互为反函数，则图象关于直线'=彳对称,

由2"=log2Z>=c>0,

在图中作直线'=。，则与y=2，,y=x,y=log2x的交点的横坐标依次为a,c,b,

可得a<c<b,

又因为〃x)=3x+l是单调递增的,

所以/(a)</(c)</0),

故选：C.

【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A,故A错误.

Qrja^b23a2b&3a+b&a+l

对选项B,因为2。+人=1,所以，=_=2_=3,故B正确.

3a3a3a3a

1111

=log4+log5

-------r--------Tlo=----------1--------93

对选项C,log.|logl^9log53

4MJ

=log2+log5=log10=——,故C正确.

333lg3

对选项D,因为log04=〃z,logfl5=n,

所以a2m+n=(am)2-«n=(a1O804)2-a10805=42x5=80,故D错误.

答案第4页，共14页

故选：BC.

10.ABC

【分析】利用y=〃x）在[0,可上单调，可得。兀再根据y=〃x）的图象关于点

117r

（-兀,0）对称，可得。=%-左，进而可得〃x）=2sin（针+彳），结合每个选项计算可判断其正

确性.

【详解】f（x）=cose>x+5/3sinfi;x=2（-^coscox+sincox）-2sin（啰工+弓）,

当X£[0,7i],可得VM+B，又y=〃x）在[。,可上单调，

666

jr7TI

所以5+工工彳，解得0<0工彳，

623

1

又y=/（x）的图象关于点（一私。）对称，所以-即+三7r=也，解得。=二-左，

66

11jr

当上=0时，«=-,符合题意，所以〃x）=2sinqx+7）,

666

对于A：若|/&）-/@）|=4,则可得/（石）,/（々）分别为函数y=〃x）的极大值与极小值，

II_112TC

可得|%-々/in-5-2XX-'，故A正确；

6

42兀）=2sin（Jx27t+多=2,所以的图象的一条对称轴方程为》=2兀，故B正确；

00

17r

因为xe（-兀,5兀），所以0<工工+工<无，所以函数y=/（x）在（一兀,5兀）上无零点，故C正确;

66

将/（X）的图象向左平移兀个单位长度后得到的函数为

所以/（X）的图象向左平移兀个单位长度后得到的函数不为偶函数，故D不正确.

故选：ABC.

11.AC

【分析】利用P到A，民C的距离相等说明尸01平面A3C,然后用线面垂直的性质和判定定

理即可验证A；直接使用三棱锥体积计算公式即可验证B；设出外接球半径，列出并求解方

程即可验证C；使用空间向量法即可验证D.

【详解】

答案第5页，共14页

z.

由已知得.AfiC是等腰直角三角形，

故斜边AC=043=20，且ABC的外心为AC的中点0,其满足

OA=OB=OC=-AC=yf2.

2

而P4=PB=PC=4,故P01平面ABC,且PO=:42_卜回了=幅・

由于。是AC的中点，PA=PC,

故P0LAC,而ACLO3,PQO8在平面PQB内交于点0,故ACJ_平面尸。8,故A正

确；

我们有VP_ABC=^P0-^ABBC=^P0=,故B错误；

设四面体尸-"C的外接球球心为点T,外接球半径为R,

则拒=|PO|=|阴+四=R+po|=R+物|2_研=R+JR2_2,解得R=#I,故c

正确；

以。为原点，。4。氏。尸为％v，z轴正方向，建立空间直角坐标系.

则A（也,0,0）,B（0,V2,0）,C（-V2,0,0）,P（0,0,V14）,设CWCB（OWrWl）,

则"卜行（1T）,后,0）,故-夜,0,E）,MP=（V2（l-r）,-V2r,V14）.

若〃=（"#,3）是平面RV0的法向量，则〃.AP=〃.MP=O.

这得至！］一回+旧坟=及（1一9以一圆+旧.=0,从而可取"=「,2—/,我］

而CP=（也,O,JiZ）,故直线PC与平面7^11所成角的正弦值等于

_CPn_2"_®

COS/可T/nj+4一一所28,+28.

V7

答案第6页，共14页

1

而J15/—28，+28j+8在，=1处最大,

28ri

所以当M与点B重合时，直线PC与平面上4M所成角最大，D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于D选项将空间角与函数最值问题相结合，需对参数

计算空间角.

12.A

27

【分析】将每种事件的概率表示出来，再利用条件概率公式或全概率公式即可求解.

【详解】设“A=阳性”,崂=阴性”;“3=患病”，“豆=不患病”；.

由题知：某种疾病的患病率为5%,贝iJP(8)=0.05,尸(国=0.95,

通过验血诊断该病的误诊率为10%,则P(A|历=0.1,P(A|B)=0.9,

漏诊率(将患病者判定为阴性的概率)为20%,则尸(其|8)=0.2,P(A|3)=0.8,

则诊断结果是阳性概率为：

尸(A)=P(AB)+P(AB)=尸(A|B)P(B)+(A|豆)P(B)=0.8x0.05+0.1x0.95=0.135,

则某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为：

尸⑷2)尸⑻08x0.05=8

1'P(A)P(A)0.13527,

Q

故答案为：—•

27

13.2

【分析】由/=/(尤+D是奇函数，可得/(X)=-/(-X+2),由f(4+x)=/(f)可得

/(尤+2)=/(T+2),进而得至ij〃x)=-〃x+2),从而得出函数的周期为4,根据条

件赋值可求得〃1)+/(2)+/•⑶+/(4)=0,从而得解.

【详解】因为N=/(x+l)是奇函数，所以/(x+l)=—/(-x+l),

用x-1替换上式中的x,可得/(》)=—/(—+2),

在〃4+x)=/(r)中,用x-2替换x,可得〃x+2)=/(-x+2),

答案第7页，共14页

所以〃x)=-〃x+2),用x+2替换该式中的x,可得/(x+2)=-〃x+4),

所以/("=(尤+4),所以函数“X)的周期为4,

在/•(x+l)=_/(_x+l)中，令元=0,得/(1)=0,

在〃x)=-〃x+2)中，令x=l,得〃3)=_/•⑴=0,

在〃x+2)=-〃x+4)中,令x=0,得"4)=一"2)=-2,

所以〃1)+/(2)+〃3)+〃4)=0,

所以/⑴+/(2)+〃3)++/(30)=/(1)+/(2)=2.

故答案为：2.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

(1)关于对称：若函数Ax)关于直线x=。轴对称，则f(x)=/(2"-x),若函数Ax)关于

点(。，方)中心对称，则/(%)=乃-/(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若/'(*+。)=-/(无)，或/'(x+a)=I，或/(x+a)=-},可知函数/(尤)

f(x)/(%)

的周期为2a.

14.(-2,0)D(2,4)

【分析】构造函数g(x)=〃2,由己知条件得g(尤)在(-3,3)上是偶函数，然后根据其单调

e

性从而可求解.

【详解】令g(x)=翌，所以〃x)=e，g(x),

因为J(x)=e2"(—x),所以e*g(x)=e2*eTg(-x),化简得g(x)=g(-x),

所以g(x)在(-3,3)上是偶函数，

因为g'(x\=f(>e：e"(x)=尸,

因为当xe[0,3),r(x)>〃x),所以小)=广()/(力>0,g(为在区间[0,3)上单调递

增，

又因为g(x)为偶函数，所有g(x)在(TO)上单调递减，

由e"(l—x)>l,得"J又因为"1)=1,所以g(i_x)=T^>?=g⑴，

答案第8页，共14页

—3<1—x<3

所以|l-x|>l，解得一2。<。或2c<4,

所以不等式的解集为（-2,0）7（2,4）.

故答案为：（-2,0）u（2,4）.

【点睛】通过构造函数g（x）=4a，结合已知函数求出函数8⑺为偶函数和其单调性，从

而求解.

15.（1）—+21=1

43

【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程;

（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出\AC\+\BD\,利用二次函数可得答案.

【详解】（1）因为椭圆E的左焦点坐标为（-1,0）,

所以右焦点坐标为（l,0）,c=l.

又椭圆E经过点

在+二+：y/a2-c2=百.

所以2a=+'=4,b=

99

22

所以椭圆的方程为土+匕=1.

43

（2）①当直线AC3。中有一条直线的斜率不存在时，|AC|+|BD|=7.

②当直线AC的斜率存在且不为0时,

设直线AC的方程x="+l,A（玉,，

［二』2,得（3入4）丁+6—町

由

-6t

则%+%=3/+4'"%-3/+4'

j36/+36（3/+4）12（r2+l）

\AC\=yjl+t2-

3r+43r+4

答案第9页，共14页

设直线8。的方程为X=」y+1,同理得由0=12—+1）,

t113+4/

,.,,84（r+lf

所以AC+\BD\=/,\J,、，

1111（3r2+4）（3+4r）

设加=『+1,则%>1,

\AC\\BD\=y=-r-^—=—当一2史

1+11A

贝小（3m+l）（4/„-l）__^+1+12_1?+497,

疗m~\^n~2）+T

AQ

所以m=2时，|AC|+忸有最小值;.

19

【分析】（1）连CQ交A用于E,利用线面平行的性质可得OD〃EC,再由平行推比例式

得解.

（2）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面4AC的法向量，再利用点到平面的向

量求法求解即得.

EO1

［详解】（1）连接0G,延长G。交A4于E，连接CE，由。为△A4G的重心，得a=5，

由O。//平面44。,。。u平面。。］石，平面eg石c平面4耳。=C石，得OD//EC,

~CDEO1

所以函"一区一子

答案第10页，共14页

（2）取AB的中点为歹，连接所，由三棱柱ABC-A与G是正三棱柱，得直线£与EG，口

两两垂直，

以E为坐标原点，直线EB「ECi，EF分别为x,%z轴建立空间坐标系,

由441n244=12,得与(3,0,0),4(-3,0,12),(7(0,3612),£)(0,3后8卜

则ABt=(6,0,-12),AC=(3,3A/3,0),£>C=(0,0,4),设平面用AC的法向量〃=(x,y,z),

n-AB=6x-12z=0

则X令z=VL得"=(26,-2,班卜

n•AC=3x+36y=0

\n-DC\_____辿_________4屈

因止匕d=।।

J(2A/3)2+(-2)2+(^)219

所以点O到平面B{AC的距离为拽I.

19

17.⑴。“=2"

⑵北=q+(-o”6n+l

9

【分析】（1）由的关系消去S"易得am=2°",（〃22）,检验”=1时满足,得等比数

列他“},即可求得其通项；

（2）将⑴结论代入得a=（7广（2"-,写出T,,利用错位相减法，即可求得

—“「J

答案第11页，共14页

【详解】（1）由题意，«„+1-5„-2=0,当”=1时，出=工+2=4,

因5'=。用一2①，当“22时，S“_\=a“-2②,

由①-②可得，an=an+1-an,即an+1=2an,

又因”=1时，/=4=2%,

故数列｛凡｝是首项为2,公比为2的等比数列，贝lJ%=2x2"T=2".

（2）由（1）可得°“=2”,则1二（一1）”=（_］）"log；［:卜'.（2n-l）,

fit）-3'出+5x（/+（一1广（2〃-3）出一（T3-呜），④

由③④》=4+2可一出:出，"++川出［+（可⑵一呜J

+（-1）"（2/1-1）

>

^Tn=-l+l+（-l）"xlxf||+（-1）"（2«-1）

乙NDJ\J

【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tanA=g,即可得解;

答案第12页，共14页

(2)设NABC=NC&)=x,由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得

SA。。=4sin3%cosx,结合导数求解即可.

【详解】(1)由题tanC+^=tan5(括tanC-1),

即tanB+tanC=-\/5(l-tan3tanC),即tanB+tanC=-6，

1-tanBtanC

所以tan(_B+C)=~,即tan(7u—A)=—,所以tanA=V§\

又A£(0,7l),所以A..

712

(2)由题(1)知NBAC=-,又NBDC=—TT,ZABC=ZCBD=x,

~33

由△BCD中，ZBDC=-TI,