2023年中考数学考前最后一卷（卷）含答案

2023年中考考前最后一卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

1.-2023的倒数是（）

2.tan45。的值等于（）

3.华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作

2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（）

A.0.2022xlO14B.20.22xlO12C.2.022xlO13D.2.022x10*

4.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

5.如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（）

6.设6-的整数部分为。，小数部分为"贝！l（2a+J正）6的值是（）

A.6B.2710C.12D.9710

x=2mx+ny=S

7.已知｛，是二元一次方程组｛.，的解，则2〃L〃的算术平方根为（）

y=lnx—my=Y

A.±2B.V2C.2D.4

8.如果点尸6”，1+2加）在第三象限内，那么加的取值范围是（）

1cl1

A.——<m<0B.m>——C.m<0D.m<——

222

9.如图，正比例函数了=幻与反比例函数>=与的图像交于N（L加）、8两点，当幻4与时,

A.一1<%<0或B.1或0<xVl

C.x<-l^x>lD.-1<X<0^C0<X<1

10.如图，抛物线y="2+bx+c的对称轴是x=l.下列结论：@abc>0；®b2-4ac>0;

③8〃+c<0；@5a+b+2c>0,正确的有()

第n卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案.）

11.单项式3肛的系数为.

12.若分式运1有意义，则x的取值范围是____.

x—2

13.有甲、乙两组数据，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为S甲2,S乙2,贝s/（填“>”，或“=

14.点/（巧,%）,8（工2，%）在一次函数y=（"2）X+1的图像上，当X]>X2时，必<%,则a

的取值范围是.

15.如图，ZU3C中，。为3C的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交/C于尸，3£=/C,

且AF=9,CF=6,那么"的长度为

16.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例.这

个三角形给出了（a+b）n（n=l,2,3,4,5,6）的展开式的系数规律.例如，在三角形中

第三行的三个数1,2,1,恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四

个数1,3,3,1,恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab?+b3展开式中各项的系数，等等.

有如下四个结论：

①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

②当a=-2,b=l时，代数式a3+3a2b+3ab?+b3的值是-1；

③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-l,b=l；

④（a+b）11的展开式中的各项系数之和为2n.

上述结论中，正确的有（写出序号即可）.

三、解答题（本大题共个8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（6分）解不等式组[7IM①

请结合题意填空，完成本题的解答.

（1）解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

I।I।।1>

-2-10123

(4)原不等式组的解集为.

18.(6分)先化简，再求值：2]一三^,其中》=百+2.

Ix-2Jx-2

19.(6分)某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编

程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面

向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修

一门)？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

(1)共有一名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是一度；

(2)补全调查结果条形统计图；

⑶小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门,请用列表法或画树状图法求出两人

恰好选到同一门课程的概率.

20.(10分)如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度

4

在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m,斜坡的倾斜角为a,cosa=1.小文在C点处测

得楼顶端A的仰角为60。，在。点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A,B,C,。在同一

平面内).

B

（1）求C,。两点的高度差；

（2）求居民楼的高度（结果精确到1m,参考数据：V3«1.7）

21.（10分）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以BC为直径作。O,交48边于点D,

在①上取一点E,使前=①,连接。£,作射线CE交边于点尸.

⑴求证：NA=NACF；

4

(2)若NC=8,cosZACF=~,求3尸及DE■的长.

22.（10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销

售量了（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8OW15,且x为整数）.当

每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每

天的销售量为95件.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利卬（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天

的销售利润最大？最大利润是多少元？

23.（11分）如图，抛物线y=a（x-2）2+3Q为常数且存0）与夕轴交于点/（0,1）.

（1）求该抛物线的解析式；

2

（2）若直线>=京+］（后0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为%2,当

=10时，求左的值；

（3）当-4〈烂冽时，»有最大值y,求机的值.

24.（13分）在矩形中，点E是射线8。上一动点，连接4E,过点5作5尸，4£于

点G,交直线CD于点尸.

（1）当矩形/BCD是正方形时，以点歹为直角顶点在正方形/BCD的外部作等腰直角三角

形CFH,连接£77.

①如图1,若点£在线段3C上，则线段/£与£〃之间的数量关系是，位置关系是

②如图2,若点£在线段3C的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明;

如果不成立，请说明理由;

（2）如图3,若点£在线段3C上，以8E和3尸为邻边作口月石版，"是r中点，连接GM,

AB=3,BC=2,求GW的最小值.

2023年中考考前最后一卷

数学*全解全析

第I卷

12345678910

DBCABACDAB

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

1.（本题3分）-2023的倒数是（）

1-1

A.-2023B.2023C.------D.--------

20232023

【答案】D

【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1,则这两个数互为倒数，即可

求解.

1

【详解】解：-2023的倒数是一

2023'

故选：D.

【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键.

2.（本题3分）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.—D."

23

【答案】B

【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解.

【详解】作一个直角三角形，ZC=90°,/4=45。，如图：

CA

：.Z5=90°-45°=45°,

.♦.△48C是等腰三角形，AC=BC,

.•.根据正切定义，tan//=^=l,

AO

乙4=45。，

tan45°=l,

故选B.

【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键.

3.（本题3分）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运

算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（）

A.0.2022xlO14B.20.22xlO12C.2.022xl013D.2.022xlO14

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中上同＜10,〃为整数.确定〃的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位,"的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿=108.

【详解】解：100亿=10%10i°x2022=2.022xl0”，

故选：C.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值.

4.（本题3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A-c（§）“

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，

这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【详解】A.是轴对称图形，故A符合题意；

B.不是轴对称图形，故B不符合题意；

C.不是轴对称图形，故C不符合题意；

D.是轴对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

部分折叠后可重合.

5.（本题3分）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是

（）

【答案】A

【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

【详解】解：从左边看，可得如下图形：

故选：A.

【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键.

6.（本题3分）设6-质的整数部分为。，小数部分为6,贝”2"+M）6的值是（）

A.6B.2710C.12D.9710

【答案】A

【分析】首先根据aU的整数部分可确定。的值，进而确定b的值，然后将。与b的值代入

计算即可得到所求代数式的值.

【详解】"〈而々，

A2<6-V10<3,

二6-亚的整数部分a=2,

.•.小数部分6=6-屈-2=4-丽，

A（2a+VlO）ft=（2x2+4o'）（4-A）=g+府-府516-10=6.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6-亚的整数部分。与小数部分b的值是

解题关键.

x=2mx+ny=8

7.（本题3分）已知｛，是二元一次方程组｛-।的解，则2m-〃的算术平方根为（）

y=lnx—my=l

A.±2B.V2C.2D.4

【答案】C

【分析】把x与y的值代入方程组求出加与〃的值，即可求出所求.

x=2mx+ny=?>

【详解】：｛।是二元一次方程组｛-的解，

y=\nx-my=l

2加+〃=8

2n-m=\

“7=3

解得｛

〃=2

j2m-"=j2x3-2=>/?=2

即2m-n的算术平方根为2

故选C.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

8.（本题3分）如果点P（加，1+2加）在第三象限内，那么，〃的取值范围是（）

111

A.——<m<0B.m>——C.m<0D.m<——

222

【答案】D

【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解.

【详解】解：：点尸（m,l+2m）在第三象限内，

fm<0①

,•[1+2机<0②’

解不等式①得：m<0,

解不等式②得：m<~,

2

...不等式组的解集为：能

2

故选D.

【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的

坐标特征是解题的关键.

9.（本题3分）如图，正比例函数十=左》与反比例函数>=&的图像交于/（1,机）、3两点,

当KxV殳时，X的取值范围是（）

x

A.-14x<0或x21B.x4-l或0<x41

C.xV-1或x21D.-lVx<0或0<尤41

【答案】A

【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点8的坐标，然后根据人尤V%的解集即为反

X

比例函数在一次函数上方的部分可得答案.

【详解】解析：・•・正比例函数y=%x与反比例函数y=与的图像交于4（1,机）、2两点，

X

5（—1,—J7l）,

由图像可知，当左%时，x的取值范围是T4x<0或,

x

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点5

的坐标的坐标是解本题的关键.

10.（本题3分）如图，抛物线y=ax2+6x+c的对称轴是x=l.下列结论：①%>0；

®b2-4ac>0;③8a+c<0；®5a+b+2c>0,正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】由抛物线的性质和对称轴是尤=1,分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线

与X轴有两个交点，可判断②；由》=-3=1,得6=-2。，令x=-2,求函数值，即可判

2a

断③；令x=2时，贝独=4a+2b+c>0,令彳=-1时，y=a-b+c>0,即可判断④；然后

得到答案.

【详解】解：根据题意，则a<0,c>0,

..b

・x=-----=1,

2a

b=-2a>0,

abc<0,故①错误;

由抛物线与x轴有两个交点，则4QC>0，故②正确；

*.*b=一2〃,

令x=-2时，>=4。-26+c<0,

/.8a+c<0,故③正确；

在y=ax2+bx+c中，

令x=2时，贝！j〉=4〃+26+c〉0,

令x=—l时，y=a-b+c>0f

由两式相加，得5a+b+2c>0,故④正确；

，正确的结论有：②③④，共3个；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练

判断各个式子的符号.

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案.）

11.（本题3分）单项式3中的系数为.

【答案】3

【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案.

【详解】3个的系数是3,

故答案为：3.

【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义.

12.（本题3分）若分式/1有意义，则x的取值范围是____.

x—2

【答案】且"2//2且xN-3

【分析】根据分式有意义的条件》-2。0,二次根式有意义的条件x+320解题即可.

【详解】解：由题意得

Jx-2w0

|x+3＞0

&,「xw2

解得＜即xN-3且xw2

[x＞-3

故答案为：]2-3且%。2.

【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识

是解题关键.

13.(本题3分)有甲、乙两组数据，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为S甲2,S乙2,则S甲2s乙2(填，”，“V”或“=

【答案】＞

【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较

即可.

【详解】解：由题意得：

—11+12+13+14+15-一12+12+13+14+14―

%甲=-------------------------=13,坛=-----------------=13,

.,[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)24(14-1^24(15-1^2]

,甲-52，

22

,[(12-13)+(12-13)+(13-13^4-13j+(14-134

坛—5"不，

«•s甲＞s乙；

故答案为＞.

【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键.

14.(本题3分)如图，AA8C中，。为8C的中点，£是/。上一点，连接3E并延长交/C

于尸，BE=AC,且AF=9,CF=6,那么*'的长度为.

【答案】j3;

【分析】延长40至G使40=DG,连接BG,得出A4C。三AGAD彳导出4C=BG=,

所以得出A4郎是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算.

如图：延长4。至G使4D=OG,连接6G

在A4CD和AG5Z）中：

CD=BD

<ZADC=ZBDG

AD=DG

：.\ACD兰NGBD

：./CAD=/G,AC=BG

9：BE=AC

：.BE=BG

：.ZG=Z.BEG

:/BEG=ZAEF

：.ZAEF=ZEAF

：.EF=AF

：.AF+CF=BF-EF

BPAF+6=9-EF

：.AF=-

2

【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键.

15.（本题3分）点/（国,弘）,5（工2，%）在一次函数y=（"2）x+l的图像上，当再时，yt<y2,

则a的取值范围是.

【答案】a<2

【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可.

【详解】：当王>/时，%

.,.Q-2V0,

故答案为：。<2.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

16.（本题3分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就

是一例.这个三角形给出了（a+b）n（n=l,2,3,4,5,6）的展开式的系数规律.例如，

在三角形中第三行的三个数1，2,1,恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；

第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab?+b3展开式中各项的系数，

等等.

有如下四个结论：

①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

②当a=-2,b=l时，代数式a3+3a2b+3ab?+b3的值是-1；

③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-l,b=l；

④（a+b）11的展开式中的各项系数之和为2n.

上述结论中，正确的有（写出序号即可）.

【答案】①②

【分析】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与（。+6）”的展开式的系数间的对应关系，据此

逐项分析.

【详解】解：：在杨辉三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应（a+6>=/+2仍+〃展

开式中各项的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着（a+6>=a3+3a26+3ad2+b3

展开式中各项的系数，等等

在杨辉三角形中第"行的〃个数，对应（。+6）"一展开式中各项的系数，

①（a+b）5展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10。*++/；

②;/+3/6+3〃/+/各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，

・・+3cl2b+Bab?+/=(a+b)，,

当。=-2,b=l时，代数式=(-2+lf=-1；

③；a4+4a?b+6a2b2+4ab3+b“各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，

a4+4a3b+6a2b2+Aab3+Z>4=(a+Z?)4,

当代数式时，a+b=O,不一定是。=-l,6=1；

④•.•当a=l,6=1时，展开式各项之和便是系数之和，

...(。+匕)”的展开式中的各项系数之和为(1+1)"=2",

故答案为：①②.

【点睛】本题考查了合情推理，由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间

的对应规律，是解题的关键.

四、解答题(本大题共个8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

2x>x-l,①

17.(本题6分)解不等式组

X+1V3②

请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

-2-10123

(4)原不等式组的解集为.

【答案】(1)x2-1

(2)x<2

(3)见解析

(4)-1<x<2

【分析】(1)通过移项、合并同类项直接求出结果;

(2)通过移项直接求出结果；

(3)根据在数轴上表示解集的方法求解即可；

(4)根据数轴得出原不等式组的解集.

【详解】(1)解：移项得：2x-x2-1

解得：x>-l

故答案为：x>-1；

(2)移项得：尤V3-1,

解得：%<2,

故答案为：x<2；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

-2-10123

（4）所以原不等式组的解集为：-l<x<2,

故答案为：-l<x<2.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的

关键.

18.（本题6分）先化简，再求值：［1+士］+工其中X=6+2.

（x-2jx-2

【答案】一］，也

x-23

【分析】利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可.

【详解】解:［1+为卜/

(%+2)(x—2)

x—2

x-2+41

x-2x+2

x+21

x—2x+2

1

-x-2'

当x=g+2时,

原式=耳二

【点睛】本题考查分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算

是解答的关键.

19.（本题6分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”

及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学

校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选

修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：

(1)共有一名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是一度；

(2)补全调查结果条形统计图；

(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人

恰好选到同一门课程的概率.

【答案】⑴120,99

(2)见解析

1

⑶W

【分析】(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数,

即可解决问题；

(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果

有5种，再由概率公式求解即可.

【详解】(1)解：参与了本次问卷调查的学生人数为：30^25%=120(名)，

贝！1“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°X—=99°,

故答案为：120,99；

(2)解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120x^=18(名)，

则选修“园艺”的学生人数为：120-30-33-18-15=24(:名)，

补全条形统计图如下：

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E,

画树状图如下:

ABCDE

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种,

，小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为三=！.

255

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重

复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

20.（本题10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高

4

度4B,在居民楼前方有一斜坡，坡长C0=15m,斜坡的倾斜角为a,cosa=^■.小文在。点

处测得楼顶端A的仰角为60。，在。点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A,B,C,。在同

一平面内）.

⑴求C,。两点的局度差；

（2）求居民楼的高度45.（结果精确到1m,参考数据：V3«1.7）

【答案】（l）9m

（2）24m

【分析】（1）过点。作交3C的延长线于点£,在RtVOCE中，可得

4

C£=CDcosa=15x-=12(m),再利用勾股定理可求出。E,即可得出答案.

(2)过点。作。尸_L/B于尸，设/尸=xm,在RtA4D尸中，tan3Q°=—=—=—，解得

DFDF3

。尸=百》，在RtZ\/3C中，N3=(x+9)m,BC=(后一12，n,tan60°=——x+9

瓜-12

求出x的值，即可得出答案.

【详解】(1)解：过点。作DEL8C,交3c的延长线于点£,

口口

口

口

口口

口

口

口

口

4

•••在RtVDCE中，cosa=~,CD=15m,

4

C£,=CZ>cosa=15x-=12(m).

DE=y/CD1-CE2=V152-122=9(m).

答:C,。两点的高度差为9m.

(2)过点。作。尸于尸，

由题意可得班7=DE,DF=BE,

设AF=xm,

在RtA/Z)尸中，tan/ADF=tan30°=

DFDF3

解得。尸=后,

在RtZ\/3C中，AB=AF+FBAF+DE^(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=,

ABx+9

tan60°==V3,

BC一瓜72

解得x=6百+-,

2

j-o

/./B=6j3+-+9a24(m)

答：居民楼的高度约为24m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角

函数的定义是解答本题的关键.

21.（本题10分）如图，在RtA43C中，44c3=90。，以3C为直径作。O,交48边于点

在历上取一点£，使筋=①，连接。£，作射线CE交48边于点厂.

4

(2)若/C=8,cosZACF=~,求8月及的长.

【答案】(1)见解析

42

⑵BF=5,DE=—

【分析】(1)根据RtA^SC中，44CB=90。，得到/A+/B=/ACF+NBCF=90。,根据BE=CD,

得至|JNB=NBCF,推出/N=NNCF；

(2)根据/2=/BCF,ZA=ZACF,得至!J/F=CF,BF=CF,推出/尸=B尸AB,根据

/C4_________

cosZACF=cosA=——=-,AC=8,得到48=10,得到8产=5,根据BC=dAB2-AC?=6，

AB5

得到sinZ=——=—,连接CD,根据BC是。。的直径，得到N5OC=90。,推出N8+N8CD=90。，

AB5

DrjqiQ7

推出NN=NBCr),得到sinN8CO=—=—,推出8。=—,得到。尸=8尸-8。=—,根据

BC555

NFDE=/BCE,NB=/BCE,得到/FQE=/B,推出。E〃5C,得至I」△阳£s△必。，推出

DEDF42

=犷得到"=石

5C

【详解】(1)解：・・・RtA45C中，ZACB=90。,

：.NA+NB=NACF+NBCF=90。,

•:箴=无，

：./B=/BCF,

：.NA=NACF；

(2)•:NB=NBCF,/A=NACF

：.AF=CF,BF=CF,

:・AF=BF=；AB,

/C4

cosZ.ACF=cosA二—,AC=8,

AB5

；・BF=5,

BC=YJAB2-AC2=6^

..4BC3

・・SHI4=---=—,

AB5

连接CD,・.・5C是。。的直径，

・•・NBDC=90。,

：.ZB+ZBCD=90°,

：./A=NBCD,

RDa

.・.sin/BCD=——=土,

BC5

BD=—,

5

7

：.DF=BF-BD=-,

5

•：/FDE=NBCE,ZB=ZBCE,

：.ZFDE=ZB,

：.DE//BC,

：.AFDE^AFBC,

.DEDF

••加一版’

【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键

是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定

和性质.

22.（本题10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天

的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8<x<15,且x为整数）.当

每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天

的销售量为95件.

（1）求y与x之间的函数关系式.

(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利卬(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的

销售利润最大？最大利润是多少元？

[答案](1»=_5X+150

⑵13

(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

【分析】(1)根据给定的数据，利用待定系数法即可求出夕与x之间的函数关系式；

(2)根据每件的销售利润x每天的销售量=425,解一元二次方程即可；

(3)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润x每天的销售量，即可得出卬关

于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

【详解】(1)解：设了与x之间的函数关系式为了=丘+6(笈片0),根据题意得：

[9左+6=105,,[左=一5

11koc,解得：1>,cn,

[11左+6=95[6=150

与x之间的函数关系式为了=-5x+150；

(2)解：(-5x+150)(x-8)=425,

整理得：f-38x+345=0，

x

解得：i=13,X2=25,

；8<x<15,

,若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

(3)解：根据题意得：w=y(x-8)=(―5x+150)(x-8)

--5x2+190%-1200

=-5(19)2+605

V8<x<15,且x为整数，

当x<19时，w随x的增大而增大，

.•.当产15时，w有最大值，最大值为525.

答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准

题目的等量关系，

23.(本题II分)如图，抛物线y=a(x-2)2+3(°为常数且分0)与y轴交于点/(0,1).

(1)求该抛物线的解析式；

2

(2)若直线>=京+](原0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为X/,X2，当XJ+X22

=10时，求左的值；

4.717

(3)当-4〈二加时，y有最大值求加的值.

19?厂9

【答案】(1)y=——2)+3；(2)kx=2,k2=—,；(3).

【分析】(1)把/代入抛物线的解析式，解方程求解即可；

1o7

(2)联立两个函数的解析式，消去％得：-：(》-2)2+3=履+j再利用根与系数的关系与

X：+<=(西+工2『一2再工2=1°，可得关于左的方程，解方程可得答案；

(3)先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当以42,2<«1<8,m>8,结合函数

图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.

【详解】解：(1)把«0,£|代入y="x-2y+3中，

4a+3——,

3

1

a——,

3

••・抛物线的解析式为：y=--(x-2)2+3.

(2)联立一次函数与抛物线的解析式得：

',2

V=KX+—

V3

17

y=-§(x-2)+3

/.—(x—2)+3=kxH—,

3V73

整理得：―一(4—3左)x—3=0,

/.项+々=4-3k,x1x2=-3,

2

'/Xy+xf=（玉+x2）-2x1x2=10,

.*.（4-3k）2一2x（—3）=（4—3k）2+12>0,

*.*xi+x2=4-3k,XI*X2=-3,

XI2+X22=（4-3k）2+6=10,

2

解得：kx=2,k2=—,

.•化i-2,左2-3，

（3）:函数的对称轴为直线x=2,

4H21

当mV2时，当x=m时，y有最大值，-y-=--（m-2）2+3,

解得m=±V5，m=-^5,

当m>2时,当x=2时，y有最大值，

.4m

••----=3,

3

.9

・・m=一,

4

综上所述，m的值为-布或g.

4

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与X轴的交点坐标，一

元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的

关键.

24.（本题13分）在矩形48CD中，点E是射线BC上一动点，连接过点3作时，ZE

于点G,交直线于点尸.

（1）当矩形/BCD是正方形时，以点尸为直角顶点在正方形/BCD的外部作等腰直角三角形

CFH,连接

①如图1,若点E在线段3c上，则线段/E与之间的数量关系是，位置关系是

②如图2,若点E在线段3c的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如

果不成立，请说明理由；

(2)如图3,若点£在线段BC上，以BE和BF为邻边作口2瓦小，M是58中点，连接GW,

AB=3,BC=2,求GM的最小值.

【答案】(1)①相等；垂直；②成立，理由见解析；(2)亚

13

【分析】(1)①证明△ABEgABCF,得至l」BE=CF,AE=BF,再证明四边形BEHF为平行四

边形，从而可得结果；

②根据(1)中同样的证明方法求证即可；

(2)说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x,证明

△ABEs/XBCF,得到CF,再利用勾股定理表示出EF=j£/-4x+4,求出最值即可得到

GM的最小值.

【详解】解：(1)①•••四边形ABCD为正方形，

；.AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,即/BAE+NAEB=90。，

VAEXBF,

AZCBF+ZAEB=90°,

；.NCBF=NBAE,又AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

.,.△ABE^ABCF(AAS),

；.BE=CF,AE=BF,

VAFCH为等腰直角三角形，

；.FC=FH=BE,FH_LFC,而CD_LBC,

；.FH〃BC,

...四边形BEHF为平行四边形，

；.BF〃EH且BF=EH,

；.AE=EH,AE±EH,

故答案为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，

同理可得：AABE^ABCF(AAS),

，BE=CF,AE=BF,

VAFCH为等腰直角三角形，

；.FC=FH=BE,FH_LFC,而CD_LBC,

；.FH〃BC,

...四边形BEHF为平行四边形，

ABF#EH且BF=EH,

/.AE=EH,AEXEH；

(2)VZEGF=ZBCD=90°,

：.C.E、G、F四点共圆，

•..四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点,

.•.M也是EF中点，

AM是四边形BCHF外接圆圆心，

则GM的最小值为圆M半径的最小值，

VAB=3,BC=2,

设BE=x,则CE=2-x,

同(1)可得：ZCBF=ZBAE,

又：ZABE=ZBCF=90°,

/.△ABE^ABCF,

.•.2=必,即」,

BCCF2CF

.EF=^/CE2+CF2

卜疗+可

x2-4x+4,

设y=-x2-4x+4,

当X=时，y取最小值上,

AEF的最小值为时3,

13

故GM的最小值为浏1.

13

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性

质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关

键

2023年中考考前最后一卷

数学■参考答案

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的）

12345678910

DBCABACDAB

第n卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

3

11.3；12.尤2-3且xw2/xr2且xN-3；13.>；14.-；15.。<2；16.①②.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）

【详解】（1）解：移项得：2x-x2-1

解得：%>-1......................1分

故答案为：xN-1；

（2）移项得：%<3-1,

解得：x<2,......................2分

故答案为：x<2；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

।1