课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学第五章平面向量2平面向量的数量积及平面向量的应用试题文

PAGEPAGE12平面对量的数量积及平面对量的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点平面对量的数量积①理解平面对量数量积的含义及其物理意义;②驾驭向量夹角概念及其范围,驾驭向量长度的表示;③了解平面对量的数量积与向量投影的关系;④驾驭数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用2024课标全国Ⅱ,4,5分平面对量的数量积模长★★★2024课标Ⅱ,4,5分平面对量的数量积坐标运算平面对量数量积的应用①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积推断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题、力学问题与一些实际问题2024课标全国Ⅰ,13,5分两向量垂直的充要条件坐标运算★★☆2024课标全国Ⅲ,13,5分两向量垂直的充要条件坐标运算2024课标全国Ⅲ,3,5分平面对量的夹角平面对量的数量积、坐标运算分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面对量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、推断三角形形态等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何等学问综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题实力和学问迁移实力,难度适中.破考点【考点集训】考点一平面对量的数量积1.(2025届湖南长沙雅礼中学9月月考,4)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1 B.0 C.1 D.2答案B2.已知点A,B,C满意|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值为.

答案-253.(2024天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AE·答案29考点二平面对量数量积的应用1.(2024云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若动点P满意CA2-CB2+2AB·CP=0,则点P的轨迹A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心答案A2.(2025届广东普宁一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,则以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为.

答案433.(2025届湖北黄冈9月调研,15)已知平面对量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D为BC的中点,则|AD|=答案24.(2025届广东深圳外国语中学10月模拟,17)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.解析(1)∵a与b-2c垂直,∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=(sinβ+cosβ)当且仅当sin2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z所以|b+c|的最大值为42.炼技法【方法集训】方法1平面对量模长的求解方法1.(2024河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满意:|a|=2,|b|=4,<a,b>=π3,则|3a-2bA.52 B.213 C.15 D.23答案B2.(2025届湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于()A.1 B.3 C.4 D.5答案D3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满意c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=()A.1 B.5 C.2 D.25答案D方法2平面对量夹角的求解方法1.(2024课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,A.30° B.45° C.60° D.120°答案A2.(2024江西七校联考,13)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影为-3,则向量a与b的夹角为.

答案233.(2024吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120°的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为θ,则cosθ=.

答案-7方法3用向量法解决平面几何问题1.(2024四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,则△ABC的形态是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.上述三种状况都有可能答案B2.(2025届江西临川一中9月月考,17)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3解析(1)因为m=22,-22,n=(sinx,cosx),m⊥n,所以m·n=0,即所以tanx=1.(2)由已知得|m|=|n|=1,所以m·n=|m|·|n|cosπ3=12,即22sinx-22cosx=12,所以sinx-π4=12.因为0<x<π2,所以-π4过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一平面对量的数量积1.(2024课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B2.(2024课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1 B.0 C.1 D.2答案C考点二平面对量数量积的应用1.(2024课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.

答案72.(2024课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.

答案23.(2024课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.

答案-2B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一平面对量的数量积1.(2024天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为()A.-15 B.-9 C.-6 D.0答案C2.(2024天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为()A.-58 B.18 C.1答案B3.(2024北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A4.(2024上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为.

答案-3考点二平面对量数量积的应用1.(2024北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=.

答案-12.(2024北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.

答案π3.(2024浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若平面对量b满意b·e1=b·e2=1,则|b|=答案24.(2024北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为.

答案65.(2024天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为.

答案36.(2024江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α,且tanα=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=.

答案37.(2024安徽,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满意AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出全部正确结论的编号)

①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.答案①④⑤8.(2024天津,13,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,则λ的值为.

答案2C组老师专用题组考点一平面对量的数量积1.(2024浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则()A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3答案C2.(2010全国Ⅰ,11,5分)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,则PA·PB的最小值为()A.-4+2 B.-3+2C.-4+22 D.-3+22答案D3.(2024湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=.

答案94.(2024重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=10,则a·b=.

答案105.(2024江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是.

答案76.(2013课标Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=.

答案2考点二平面对量数量积的应用1.(2024重庆,7,5分)已知非零向量a,b满意|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.π3 B.π2 C.2π答案C2.(2024陕西,8,5分)对随意平面对量a,b,下列关系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2024湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9答案B4.(2024山东,7,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为π6A.23 B.3 C.0 D.-3答案B5.(2011全国,3,5分)设向量a,b满意|a|=|b|=1,a·b=-12,则|a+2bA.2 B.3 C.5 D.7答案B6.(2024湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满意|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值范围是()A.[4,6] B.[19-1,19+1]C.[23,27] D.[7-1,7+1]答案D7.(2024浙江,9,4分)已知a,b,e是平面对量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满意b2-4e·b+3=0,则|a-bA.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案A8.(2024安徽,10,5分)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4全部可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A.2π3 B.π3 C.答案B9.(2024四川,14,5分)平面对量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.

答案210.(2024江西,12,5分)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=答案311.(2024湖北,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=.

答案2512.(2012课标全国,15,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.

答案3213.(2024江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为.

答案314.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=.

答案2【三年模拟】时间:50分钟分值:70分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2025届湖南八校9月联考,8)已知a=(2sin13°,2sin77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为π3,则a·bA.2 B.3 C.4 D.5答案B2.(2024湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=()A.12 B.1 C.2答案A3.(2025届湖北襄阳重点中学9月联考,4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),则x<0或x>4是向量a与b的夹角为锐角的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B4.(2025届四川高校附中10月月考,11)△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c,若b=5,c=6,BC边上的中线AD=3,则AB·AC=()A.15 B.-15 C.252 D.-答案D5.(2024湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为()A.2215 B.103 C.6答案A6.(2024安徽师大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,点P是△ABC所在平面内一点,则当PA2+PB2+PC2取得最小值时,A.272 B.-272答案D7.(2024河北石家庄调研,10)在平行四边形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若点M,N满意BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=()A.20 B.15 C.36 D.6答案C8.(2025届四川顶级名校其次次联考,11)向量a,b,c满意:a=(4,0),b=(4,4),(a-c)·(b-c)=0,则b·c的最大值是()A.24 B.24-82C.24+82 D.82答案C二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2025届山东临沂摸底考试,14)O是△ABC所在平面内的一点,若|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC的形态为.

答案直角三角形10.(2024豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=12DC=2,点E,F分别为线段AD,BC的三等分点,O为DC的中点,则FE·OF=答案-14三、解答题(共20分)11.(2024河南中原