必修一第一章第3节3.2基本不等式第二课时学历案学生版

§1预备知识3．1基本不等式的应用【学习主题】不等式与最大（小）值【设计者】【课时安排】1课时【学习目标】1、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2、会用基本不等式解决实际问题。【学习重难点】1、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2、会用基本不等式解决实际问题。【学情分析】本节主要目标是使学生掌握如何利用基本不等式的最值问题，及实际应用问题。上节课首先从代数角度导出基本不等式，然后利用几何背景素材加以阐释，给出了基本不等式的几何解释，并进一步探究交流了基本不等式的其他解释．由于前面已经学习了基本不等式的概念，根据学生的认知规律及特点，大部分学生都积累了一定的成功经验，积累了一定的学习兴趣及信心，为本节课的学习做了很好的铺垫。【学法建议】1、熟记基本不等式及其变形。2、注意基本不等式应用的条件。3、学会利用配凑、换元、常数代换等方法求解最值问题。4、理解不等式恒成立的模型。【学习过程】一一、课前预习，发现问题（一）逐字逐句阅读教材第2829页，回答下列问题并记录预习发现的问题。问题1、准备一根16cm的细绳代替细铁丝弯成形状不同的矩形，小组合作，不断改变矩形的长宽，记录数据，填写下表，并猜想矩形的长宽分别为何值时，面积最大，你会严格推理论证吗？问题2、证明：当x，y均为正数时，若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值问题3、当两个正数的乘积为定值时，它们的和有什么结论？问题4、当x>0时，求x＋eq\f(1,x)的最小值？①“求x＋eq\f(1,x)”的最小值的含义是什么？②本题中要求的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求解？如果能如何求？③在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x2＝1，x＝1时，等号成立。”？④当（二）预习自测基础知识自测x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当_________时，积xy取得最___值___；(2)若xy＝p(积为定值)，则当且仅当__________时，和x＋y取得最_____值_________。迁移与应用1、判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)x＋eq\f(1,x)的最小值为2()(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq\r(2)()(3)当x>1时，x＋eq\f(1,x－1)≥2eq\r(\f(x,x－1))，所以x＋eq\f(1,x－1)的最小值为2eq\r(\f(x,x－1))()（4）“x>0且y>0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要条件()(5)()(6)若a>0，则的最小值为2eq\r(a)()2、当x＞0时，x＋eq\f(9,x)的最小值为________3、已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________二、二、课中学习，合作探究【学习任务1】利用基本不等式求最值【例1】（1）下列式子中，最小值是2的是（）（2）已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为（3）正数a,b满足2a+b+6=ab”,则ab的最小值为（4）若实数a，b满足a＞0,b>0，则的最小值为【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表回答【课堂评价1】（1）已知a>0,b>0,且a+4b=4,求ab的最大值。（2）已知正数a,b满足,求ab的最小值。【课堂活动与展示】同桌互评【反思总结】通过上述例子的解答你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？【学习任务2】配凑法求最值【例2】(1)若0<x<eq\f(1,2)，则y＝x(1－2x)的最大值是()Aeq\f(1,4)Beq\f(1,8)C1D4（2）已知x>2，若y=x＋eq\f(1,x－2)在x＝n处取得最小值，则n＝()Aeq\f(5,2)B3Ceq\f(7,2)D4（3）已知a>b>0，则2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值为（）A4×eq\r(4,4)B6CD3eq\r(2)【课堂评价2】（1）已知x<eq\f(1,2)，则2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值是（2）已知正数a，b满足，求的最大值【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表回答【学习任务3】换元法求最值【例3】（1）已知x>1，求的最小值【课堂评价3】（1）求函数y＝eq\f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表回答【学习任务4】消元法求最值【例4】（1）已知x>1，且x－y＝1，则x＋eq\f(1,y)的最小值是（2）设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表回答【课堂评价4】（1）已知2xy－y＋1＝0(x>0，y>0)，则eq\f(2＋xy,x)的最小值为()A4eq\r(2)B8C9D8eq\r(2)【课堂活动与展示】由学生演板【学习任务5】常数代换法求最值【例5】（1）已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．（2）已知实数a>0,b>0,eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋1)＝1，则a＋2b的最小值是()A3eq\r(2)B2eq\r(2)C3D2（3）设x>0，y>0，x＋2y＝5，则eq\f(（x＋1）（2y＋1）,\r(xy))的最小值为________【课堂评价5】（1）若正数x，y满足x＋5y＝3xy，则5x＋y的最小值为（）（2）已知正数x、y满足x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,1＋y)的最小值为()A2Beq\f(9,2)Ceq\f(14,3)D5【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表回答【反思总结】总结基本不等式求最值得方法【学习任务6】利用基本不等式求解恒成立问题【例6】（1）当x＞1时，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的取值范围是(){a|a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|a≥3}D．{a|a≤3}（2）若对任意x>0，恒成立，则实数a的取值范围是________________【课堂评价6】（1）已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立的实数m的范围是________【课堂活动与展示】由学生演板【反思总结】不等式恒成立问题应该如何转化？【学习任务7】利用基本不等式解决实际问题【例7】课本29页例5【课堂活动与展示】由小组代表讲解【课堂评价7】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。(1)若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式。(2)要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？【课堂活动与展示】