78-2024年山东省潍坊市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年山东省潍坊市中考数学试卷一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）1．（4分）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（）A．1.267×105 B．1.267×106 C．1.267×107 D．126.7×1043．（4分）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（）A． B． C． D．4．（4分）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）A．100min，50℃ B．120min，50℃ C．100min，55℃ D．120min，55℃5．（4分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（）A．60° B．55° C．50° D．45°6．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）（多选）7．（5分）下列命题是真命题的有（）A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＞b，则ac＞bc C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数（多选）8．（5分）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（）A．体积为π B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为（多选）9．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（）A．a﹣b+c＞0 B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0） C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2 D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立（多选）10．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（）A．＝ B．AB＝OE C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）11．（4分）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：．①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．12．（4分）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为．13．（4分）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．14．（4分）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝，n＝．四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．16．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．求证：（1）△AEH≌△CFG；（2）四边形EGFH为平行四边形．17．（10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△OPQ的面积．18．（11分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．【数据描述】如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．商家统计量中位数众数平均数方差甲商家a33.51.05乙商家4b1.24（3）直接写出表中a和b的值，并求的值；（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．19．（10分）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．20．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．21．（14分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10﹣1•m﹣2•d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．（1）求y关于x的函数表达式；（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）22．（13分）【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．【探索发现】（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．【问题解决】（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）

2024年山东省潍坊市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）1．（4分）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案．【解答】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意；B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；C选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意；D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．2．（4分）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（）A．1.267×105 B．1.267×106 C．1.267×107 D．126.7×104【分析】将一个数写成a×10n，（其中1≤a＜10，n为整数），即可得到答案．【解答】解：126.7万＝1267000＝1.267×106，故选：B．【点评】本题主要考查科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．3．（4分）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据物体及其俯视图即可求解．【解答】解：由图形可得，它的主视图如图所示：，故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．4．（4分）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（）A．100min，50℃ B．120min，50℃ C．100min，55℃ D．120min，55℃【分析】根据图像即可得到最佳时间和温度．【解答】解：由图象可知，在120min时提取率最高，50℃时提取率最高，故最佳的提取时间和提取温度分别为120min，50℃，故选：B．【点评】本题考查的是折线统计图，对数据分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．5．（4分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（）A．60° B．55° C．50° D．45°【分析】过点E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得∠BEH＝∠α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，根据∠β＝45°求出∠FEH即可求解．【解答】解：过点E作EH∥AB，∵AB∥FG，∴AB∥EH∥FG，∴∠BEH＝α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，∵β＝45°，∴∠FEH＝180°﹣45°﹣15°＝120°，∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣120°＝60°，∴EF与FG所成锐角的度数为60°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．6．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论．【解答】解：∵m﹣2n＝3，∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）＝m2+4n2﹣4mn﹣4＝（m﹣2n）2﹣4＝32﹣4＝9﹣4＝5＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点评】本题主要考查了根的判别式，关键是根的判别式的熟练应用．二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）（多选）7．（5分）下列命题是真命题的有（）A．若a＝b，则ac＝bc B．若a＞b，则ac＞bc C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数【分析】利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、由等式的性质可得，若a＝b，则ac＝bc，原命题为真命题，符合题意；B、由不等式的性质可得，若a＞b，且c＞0，则ac＞bc，原命题为假命题，不符合题意；C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题，符合题意；D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题，不符合题意．故选：AC．【点评】本题考查了命题与定理，实数的运算，等式的性质，不等式的性质，解题的关键是了解等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．（多选）8．（5分）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（）A．体积为π B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为【分析】运用圆柱的体积，母线长，侧面积以及侧面展开图的周长相关知识求解各选项再判断即可．【解答】解：A．∵圆柱的底面半径为，高为1，∴圆柱的体积为，故选项A不符合题意；B．∵圆柱的高为1，∴圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意；C．∴圆柱的底面半径为，高为1，∴圆柱的底面周长为，∴侧面积为，故选项C正确，符合题意；D．∵圆柱的底面周长为，高为1，∴圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意，综上，正确的结论为B，C，故选：BC．【点评】本题主要考查二次根式的应用，几何体的表面积，几何体的展开图，关键是相关公式的熟练应用．（多选）9．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0）．下列结论正确的有（）A．a﹣b+c＞0 B．该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣3，0） C．若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该抛物线上，则y1＜y2 D．对任意实数n，不等式an2+bn≤a+b总成立【分析】根据二次函数的图象和性质进行解题即可．【解答】解：将x＝﹣1代入，可得y＝a﹣b+c，由图象可知，此时图象在x轴上方，故a﹣b+c＞0，故选项A正确；对称轴是直线x＝1，∴故该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0），故选项B错误；∵x＝1时，函数有最大值，（2，y2）距离对称轴更近，故y1＜y2，故选项C正确；∵x＝1时，函数有最大值，故an2+bn+c≤a+b+c，即不等式an2+bn≤a+b总成立，故选项D正确；故选ACD．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（多选）10．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（）A．＝ B．AB＝OE C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形【分析】根据全等三角形的判定定理证明∠OCA＝∠ACE，证明OC＝CE＝OA即可证明四边形AOCE为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可．【解答】解：令AC，OE交于点F，由题意得：OE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵AO＝OC，∴△AOE≌△COE，∴∠AOE＝∠COE，∵OF＝OF，AO＝AO，∴△AOF≌△COF，∴∠OAF＝∠OCF，∵AO∥BC，∴∠OAF＝∠ACE，∴∠OCA＝∠ACE，∴，选项A正确；∵∠OCF＝∠ECF，∠OFC＝∠EFC＝90°，CF＝CF∴△EFC≌△OFC，∴OC＝CE＝OA，∵AO∥EC，故四边形AOCE为菱形，选项D正确；∵，∴AB＝AD，∵四边形AOCE为菱形，∴AE＝OC＝OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD＝OE，∴AB＝OE，选项B正确；∠AOD＝∠OAE，故选项C错误；故选：ABD．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、解直角三角形，三角形的外接圆与外心，菱形的判定，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）11．（4分）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：y＝﹣x+2（答案不唯一）．①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．【分析】一次函数y＝kx+b（k≠0）中的y随着x的增大而减小可得k＜0，再根据函数图象与y轴正半轴相交可得b＞0，据此即可求解．【解答】解：∵y随着x的增大而减小，∴一次函数的比例系数k＜0，又∵函数图象与y轴正半轴相交，∴b＞0，∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是y＝﹣x+2，故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．12．（4分）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为．【分析】作C′F⊥AO，求出OF，C'F的值即可得到答案．【解答】解：作C′F⊥AO，交y轴于点F，由题可得：OA＝4，∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴AO是∠BAC的角平分线，∴∠OAC＝30°，∴，在Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，即，解得，∴，，，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13．（4分）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．【分析】列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解．【解答】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了列举法与树状图法，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键．14．（4分）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝45，n＝2．【分析】当正整数为k2时，若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．【解答】解：由图中排布可知，当正整数为k2时，若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；∵，而2025＝452，在第45行，第1列，∴2024在第45行，第2列，∴m＝45，n＝2，故答案为：45，2．【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解题的关键是找出规律．四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【分析】（1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减；（2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得．【解答】解：（1）＝﹣2+（2﹣1）﹣2﹣3＝﹣2+4﹣3＝﹣1；（2）＝＝＝a﹣2；当时，原式＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混合运算，是解决问题的关键．16．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．求证：（1）△AEH≌△CFG；（2）四边形EGFH为平行四边形．【分析】（1）由矩形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，即得∠EAH＝∠FCG，由折叠的性质可得AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，即得CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，进而得AH＝CG，即可由ASA证明△AEH≌△CFG；（2）由（1）得∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，EH＝FG，进而即可求证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠EAH＝∠FCG，由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，∴AH＝CG，在△AEH和△CFG中，，∴△AEH≌△CFG（ASA）；（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EGFH为平行四边形．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．17．（10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交的图象于点Q．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△OPQ的面积．【分析】（1）利用正比例函数求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；（2）分别求出P、Q的坐标，得到PQ的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；【解答】解：（1）把代入得，，∴m＝﹣3，∴，把代入得，，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）把代入得，，∴，∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为，把代入得，，∴，∴，∴．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键．18．（11分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．【数据描述】如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（1）（2）．（1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；（2）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题（3）（4）．商家统计量中位数众数平均数方差甲商家a33.51.05乙商家4b1.24（3）直接写出表中a和b的值，并求的值；（4）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．【分析】（1）分别用3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家4分的评价分值个数，即可补全条形统计图；（2）用360°乘以甲商家4分的占比即可求解；（3）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；（4）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解．【解答】解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，补全条形统计图如下：（2）；（3）∵甲商家共有30个数据，∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，∴，由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，∴众数b＝4，乙商家平均数；（4）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，∴小亮应该选择乙商家．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．19．（10分）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：P＝10x．预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：，其中0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．（1）若y＝148万元，求该商场建造的隔热层厚度；（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t＝y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x（cm）的取值范围．【分析】（1）根据题意可以得出y＝﹣x2+4x+160，再令y＝148，解一元二次方程求解即可；（2）将（1）中y＝﹣x2+4x+160代入t＝y+x2，可得出t与x的关系式t＝4x+160，然后利用一次函数的性质，即可求出x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：，整理得y＝﹣x2+4x+160，当y＝148时，则﹣x2+4x+160＝148，解得：x1＝6，x2＝﹣2．∵0≤x≤9，∴x2＝﹣2不符合题意，舍去，答：该商场建造的隔热层厚度为6cm．（2）由（1）得y＝﹣x2+4x+160，∵t＝y+x2，∴t＝﹣x2+4x+160+x2＝4x+160（172≤t≤192）．∵4＞0，∴t随x的增大而增大，当t＝172时，4x+160＝172，解得x＝3；当t＝192时，4x+160＝192，解得x＝8；答：x的取值范围为3≤x≤8．【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．20．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝1，，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OD，由角平分线可得∠BAD＝∠EAD，又由OA＝OD可得∠OAD＝∠ODA，即得∠ODA＝∠EAD，由DE⊥AE得∠EAD+∠ADE＝90°，进而可得∠ODA+∠ADE＝90°，即得OD⊥DE，即可求证；（2）AB是⊙O的直径可得∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，又由（1）知∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，由∠BAD＝∠EAD，∠DBC＝∠ADC，进而可得∠DBC＝∠CDE，再根据∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，可得∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，得到BD＝CD，，解Rt△CDE得到CD＝BD＝3，再解Rt△ABD即可求解．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠EAD，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠ODA+∠ADE＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，∴∠DBC＝∠CDE，∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，∴BD＝CD，，在Rt△CDE中，，∴CD＝3CE＝3×1＝3，∴BD＝3，在Rt△ABD中，，∴AB＝3BD＝3×3＝9，即⊙O的直径为9．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆的有关定理是解题的关键．21．（14分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW•h•10﹣1•m﹣2•d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．（1）求y关于x的函数表达式；（2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，将图中的点代入即可求出答案；（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；（3）延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案．【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，将（0，40），（10，45），（30，49）代入，得，解得，∴；（2）根据函数解析式得函数对称轴，故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大；（3），延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，∴，∵HN＝HF+FN＝4+a，∴，∴，∴，延长AN交GM与J点，∵∠AJG＝∠AGJ，∴AJ＝AG，∵，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图