河北省张家口市宣化区宣化第一中学2024-2025学年高三数学下学期仿真试题

PAGE37-河北省张家口市宣化区宣化第一中学2024-2025学年高三数学下学期仿真试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）设集合QUOTE，QUOTE，则QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知QUOTE，其中x，y是实数，i是虚数单位，则QUOTE的共轭复数为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知点M在角q终边关于QUOTE对称的曲线上，且QUOTE，则M的坐标为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE在如图所示的程序框图中，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，则输出的x等于QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2某学校上午支配上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为QUOTE，课间休息10分钟．某学生因故迟到，若他在QUOTE之间到达教室，则他听其次节课的时间不少于10分钟的概率为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE设QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE若p：QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE成等比数列；q：QUOTE，则QUOTEA.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示校情已受限制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，依据连续7天的新增病例数计算，下列各项选项中，肯定符合上述指标的是QUOTE

QUOTE平均数QUOTE；

QUOTE标准差QUOTE；

QUOTE平均数QUOTE；且标准差QUOTE；

QUOTE平均数QUOTE；且极差小于或等于2；

QUOTE众数等于1且极差小于或等于4．A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面PAB，C为PA中点，QUOTE，QUOTE，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为QUOTE

A.QUOTE B.QUOTE C.6 D.QUOTE小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A动身，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置视察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为QUOTE，他与教练间的距离为QUOTE，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的QUOTE

A.点M B.点N C.点P D.点Q已知抛物线QUOTE的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线1的对称点为点B，BP交y轴于点M，若QUOTE，QUOTE则实数a的值是QUOTEA.QUOTE B.2 C.QUOTE D.QUOTE如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，假如凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为QUOTE

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE设函数QUOTE，若曲线QUOTE上存在点QUOTE使得QUOTE成立，则实数a的取值范围为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）在平面直角坐标系中，若x，y满意约束条件QUOTE，则QUOTE的最大值为______．某食品的保鲜时间QUOTE单位：小时QUOTE与贮存温度QUOTE单位：QUOTE满意函数关系QUOTE为自然对数的底数，k、b为常数QUOTE若该食品在QUOTE的保鲜时间是192小时，在QUOTE的保鲜时间是48小时，则该食品在QUOTE的保鲜时间是______小时．在平面直角坐标系xOy中，以QUOTE为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若MN与圆C相切，则QUOTE的最小值为______．已知O为QUOTE的外心，且QUOTE，QUOTE，则QUOTE______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）已知数列QUOTE的前n项和为QUOTE，且QUOTE．

QUOTE若数列QUOTE是等比数列，求t的取值；

QUOTE求数列QUOTE的通项公式；

QUOTE记QUOTE，求数列QUOTE的前n项和QUOTE．

如图，四棱锥QUOTE的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．

QUOTE求证：QUOTE平面PAD．

QUOTE在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出QUOTE的值；若不存在，请说明理由．

为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市主动推动“一户一表”工程．非一户一表用户电费采纳“合表电价”收费标准：QUOTE元QUOTE度．“一户一表”用户电费采纳阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档其次档第三档每户每月用电量QUOTE单位：度QUOTE电价QUOTE单位：元QUOTE度QUOTE例如：某用户11月用电410度，采纳合表电价收费标准，应交电费QUOTE元，若采纳阶梯电价收费标准，应交电费QUOTE元．

为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最终10户的月用电量QUOTE单位：度QUOTE为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．组别月用电量频数统计频数频率合计QUOTE在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；

QUOTE依据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量QUOTE同一组数据用该区间的中点值作代表QUOTE；

QUOTE设某用户11月用电量为x度QUOTE，依据合表电价收费标准应交QUOTE元，依据阶梯电价收费标准应交QUOTE元，请用x表示QUOTE和QUOTE，并求当QUOTE时，x的最大值，同时依据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于QUOTE的用户带来实惠？

已知椭圆E：QUOTE的一个焦点为QUOTE，而且过点QUOTE

QUOTE求椭圆E的方程；

QUOTE设椭圆E的上下顶点分别为QUOTE，QUOTE，P是椭圆上异于QUOTE，QUOTE的任一点，直线QUOTE，QUOTE分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为QUOTE证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

已知函数QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求QUOTE的单调区间；

QUOTEⅡQUOTE设曲线QUOTE与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为QUOTE，求证：对于随意的实数x，都有QUOTE；

QUOTEⅢQUOTE若方程QUOTE为实数QUOTE有两个实数根QUOTE，QUOTE，且QUOTE，求证：QUOTE．

在平面直角坐标系xoy中，曲线QUOTE：QUOTE为参数QUOTE，在以平面直角坐标系的原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系中，曲线QUOTE：QUOTE．

QUOTE求曲线QUOTE的一般方程以及曲线QUOTE的平面直角坐标方程；

QUOTE若曲线QUOTE上恰好存在三个不同的点到曲线QUOTE的距离相等，求这三个点的极坐标．

若QUOTE，QUOTE，且QUOTE．

QUOTE求QUOTE的最小值；

QUOTE是否存在a，b，使得QUOTE的值为QUOTE？并说明理由．

数学仿真试卷答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．

求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．

【解答】

解：由QUOTE，

QUOTE，

得QUOTE，QUOTE，QUOTE．

故选A．

2.【答案】D

【解析】解：由已知，QUOTE，计算QUOTE

依据复数相等的概念QUOTE，解得QUOTE，

QUOTE，其共轭复数为QUOTE．

故选D．

由已知得出QUOTE，由复数相等的概念求出x，y确定出QUOTE，再得出共轭复数

本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．

3.【答案】C

【解析】解：由题意可得点M的横坐标为sinq，纵坐标为cosq，

故选：C．

由题意利用随意角的三角函数的定义，两点关于直线QUOTE对称的特点，得出结论．

本题主要考查随意角的三角函数的定义，两点关于直线QUOTE对称的特点，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，

由于：QUOTE；QUOTE；QUOTE，

可得：QUOTE，

则输出x的值是1．

故选：C．

由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最大数，依据对数函数的性质比较出a、b、c的大小关系即可．

本题考查了选择结构的程序框图，以及对数函数的性质的应用，依据框图的流程推断算法的功能是解答此类问题的关键．

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查几何概型中的长度类型，解决的关键是找到问题的分界点，分清是长度，面积，还是体积类型，再应用概率公式求解．

由题意，此学生在9：QUOTE：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听其次节课的时间不少于10分钟，则他在9：QUOTE：20之间随机到达教室，区间长度为10，即可求出概率．

【解答】解：他在9：QUOTE：00之间随机到达教室，区间长度为50，他听其次节课的时间不少于10分钟，

则他在9：QUOTE：20之间随机到达教室，区间长度为10，

QUOTE他在9：QUOTE：00之间随机到达教室，

则他听其次节课的时间不少于10分钟的概率是QUOTE，

故选A．

6.【答案】A

【解析】解：由QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

运用柯西不等式，可得：

QUOTE，

若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE成等比数列，即有QUOTE，

则QUOTE，

即由p推得q，

但由q推不到p，比如QUOTE，则QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE不成等比数列．

故p是q的充分不必要条件．

故选：A．

运用柯西不等式，可得：QUOTE，探讨等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．

本题考查充分必要条件的推断，同时考查等比数列的定义，留意运用定义法和柯西不等式解题是关键．

7.【答案】D

【解析】解：QUOTE错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数QUOTE，但不符合题意，

QUOTE错，举反例：6，6，6，6，6，6，6，其标准差QUOTE，但不符合题意，

QUOTE错，举反例：0，0，0，0，0，1，6，平均数QUOTE，且标准差QUOTE；但不符合题意，

QUOTE对，若极差小于2，明显符合条件，

若极差小于等于2，有可能QUOTE，1，2；QUOTE，2，3；QUOTE，3，4；QUOTE，4，5；QUOTE，5，6．

在平均数QUOTE的条件下，只有QUOTE成立，符合条件．

QUOTE对，在众数等于1且极差小于等于4时，最大数不超过5，符合条件．

故选：D．

对QUOTE举反例推断，对于QUOTE分状况探讨，对于QUOTE结合题意推断即可．

本题考查了平均数，极差，方差等基本学问，考查分类探讨思想，是一道常规题．

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．

由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再绽开的图形，由勾股定理求解．

【解答】

解：如图，

沿圆锥母线PA剪开再绽开，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

则圆锥底面周长为QUOTE，绽开后所得扇形为半圆，

B到QUOTE处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为QUOTE．

故选：A．

9.【答案】D

【解析】【分析】

分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行推断．利用解除法即可得出答案．

此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要留意依次推断各点位置的可能性，点P的位置不好解除，同学们要留意细致视察．

【解答】

解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变更变更，与函数图象不符，故本选项错误；

B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应当相同，与函数图象不符，故本选项错误；

C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；

D、经推断点Q符合函数图象，故本选项正确；

故选：D

10.【答案】D

【解析】解：由抛物线的性质得QUOTE，因为QUOTE，QUOTE，

因为B，O关于准线对称，设准线与x轴的交点为A，

所以QUOTE，

所以QUOTE，而QUOTE

所以QUOTE，

即QUOTE，

所以QUOTE，

故选：D．

由抛物线的性质可得QUOTE，再由题意可得QUOTE，进而可得a的值．

本题考查抛物线的性质，及对应边成比例的性质，属于中档题．

11.【答案】A

【解析】解：如图1，由正、侧视图得：

当凳脚所在直线为PC时，过P作QUOTE底面ABCD，

四边形ABCD为正方形，设边长为a，则QUOTE，

设QUOTE，则QUOTE为PC与底面所成角，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

如图2，凳脚的切面为菱形PMEN，QUOTE，

QUOTE，

由题意知QUOTE，QUOTE，

QUOTE切面的面积为QUOTE

故选：A．

由正、侧视图得当凳脚所在直线为PC时，过P作QUOTE底面ABCD，四边形ABCD为正方形，设边长为a，则QUOTE，设QUOTE，则QUOTE为PC与底面所成角，推导出QUOTE，凳脚的切面为菱形PMEN，QUOTE，由此能求出切面的面积．

本题考查切面面积的求法，考查棱柱的三视图等基础学问，考查运算求解实力，是中档题．

12.【答案】C

【解析】解：QUOTE，

QUOTE当QUOTE时，QUOTE取得最大值QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE取得最小值QUOTE，

即函数QUOTE的取值范围为QUOTE，

若QUOTE上存在点QUOTE使得QUOTE成立，

则QUOTE且QUOTE．

若下面证明QUOTE．

假设QUOTE，则QUOTE，不满意QUOTE．

同理假设QUOTE，则不满意QUOTE．

综上可得：QUOTE．

QUOTE函数QUOTE，的定义域为QUOTE，

QUOTE等价为QUOTE，在QUOTE上有解

即平方得QUOTE，

则QUOTE，

设QUOTE，则QUOTE，

由QUOTE得QUOTE，此时函数单调递增，

由QUOTE得QUOTE，此时函数单调递减，

即当QUOTE时，函数取得微小值，即QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，

则QUOTE．

则QUOTE．

故选：C．

利用函数QUOTE的单调性可以证明QUOTE令函数QUOTE，化为QUOTE令QUOTE，利用导数探讨其单调性即可得出．

本题考查了函数单调性的应用、利用导数探讨函数的单调性，考查了推理实力与计算实力，属于难题．

13.【答案】8

【解析】解：作出x，y满意约束条件QUOTE对于的平面区域如图：

由QUOTE，则QUOTE

平移直线QUOTE，由图象可知当直线QUOTE，

经过点A时，直线QUOTE的截距最大，此时z最大，

由，解得QUOTE，

此时QUOTE，

故答案为：8．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

14.【答案】24

【解析】【分析】

本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算实力，属于中档题．

由题意可得，QUOTE时，QUOTE；QUOTE时，QUOTE代入函数QUOTE，解方程，可得QUOTE，QUOTE，再由QUOTE，代入即可得到结论．

【解答】

解：由题意可得，QUOTE时，QUOTE；QUOTE时，QUOTE．

代入函数QUOTE，

可得QUOTE，QUOTE，

即有QUOTE，QUOTE，

则当QUOTE时，QUOTE．

故答案为：24．

15.【答案】QUOTE

【解析】解：QUOTE在平面直角坐标系xOy中，以QUOTE为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，

点M，N分别在线段OA，OB上，MN与圆C相切，

QUOTE依据圆的对称性，当QUOTE时，QUOTE取最小值，

如图，QUOTE，QUOTE，

QUOTE的最小值为QUOTE．

故答案为：QUOTE．

由题意，依据圆的对称性，可得当QUOTE时，QUOTE取最小值．

本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，是中档题．

16.【答案】QUOTE

【解析】解：QUOTE

等式两边同时乘QUOTE

得：QUOTE

又QUOTE

QUOTE

由正弦定理得：

又QUOTE

故应填QUOTE

先将等式左右两边同时乘以QUOTE，得：QUOTE，再利用由正弦定理得：QUOTE

然后利用两角的和差公式求解

本题考查了向量的数量积，正弦定理及两角的和差公式，属难度较大的题

17.【答案】解：QUOTE由QUOTE，得QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，即QUOTE，

所以QUOTE，QUOTE，

依题意，QUOTE，

解得QUOTE．

QUOTE有QUOTE知QUOTE，

所以QUOTE，又因为QUOTE，

所以数列QUOTE是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以QUOTE，

所以QUOTE．

QUOTE由QUOTE知，QUOTE

则QUOTE．

【解析】QUOTE干脆利用数列的等比中项求出t的值．

QUOTE利用等比数列的定义求出数列的通项公式．

QUOTE利用裂项相消法求出数列的和．

本题考查的学问要点：数列的通项公式的应用及数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．

18.【答案】解：QUOTE证明：如图，取PA的中点M，连接MD，MF，

QUOTE，M分别为PB，PA的中点，QUOTE，QUOTE，

又QUOTE四边形ABCD是平行四边形，QUOTE，QUOTE，

QUOTE为CD的中点，QUOTE，QUOTE．

QUOTE，QUOTE，则四边形DEFM为平行四边形，

QUOTE．

QUOTE平面PAD，QUOTE平面PAD，

QUOTE平面PAD；

QUOTE存在点Q符合题目条件，且此时PQ：QUOTE：1．

取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：QUOTE：1，

连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面．

证明如下：在平行四边形ABCD中，QUOTE，H分别为CD，AB的中点，

QUOTE，又F是PB的中点，

QUOTE是QUOTE的重心，且PG：QUOTE：1．

又PQ：QUOTE：1，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE与AE确定一个平面QUOTE，而QUOTE直线AG，

QUOTE，则A，E，Q，F四点共面．

故在线段PC上存在一点Q，使得A，E，Q，F四点共面．

【解析】QUOTE取PA的中点M，连接MD，MF，证明四边形DEFM为平行四边形，可得QUOTE，由直线与平面平行的判定可得QUOTE平面PAD；

QUOTE取AB的中点H，连接PH交AF于G，在PC上取点Q，使PQ：QUOTE：1，连接GQ，HC，则A，E，Q，F四点共面，然后证明即可．

本题考查直线与平面平行的判定，平面的基本性质，考查空间想象实力与思维实力，是中档题．

19.【答案】解：QUOTE频率分布表如下：组别月用电量频数频率4122430264合计1001频率分布直方图如下：

QUOTE该100户用户11月的平均用电量：

QUOTE度

所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．

QUOTE，

QUOTE，

由QUOTE，得QUOTE或QUOTE或QUOTE，

解得QUOTE，

QUOTE，QUOTE的最大值为423．

依据频率分布直方图，QUOTE时的频率为：

QUOTE，

故估计“阶梯电价”能给不低于QUOTE的用户带来实惠．

【解析】QUOTE完成频率分布表，作出频率分布直方图．

QUOTE由频率分布直方图能求出该100户用户11月的平均用电量，由此能估计全市住户11月的平均用电量．

QUOTE求出QUOTE，QUOTE，由QUOTE，解得QUOTE，从而x的最大值为QUOTE依据频率分布直方图，能估计“阶梯电价”能给不低于QUOTE的用户带来实惠．

本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、概率的求法，考查运算求解实力，考查数形结合思想，是中档题．

20.【答案】QUOTEⅠQUOTE解法一：由题意，QUOTE椭圆E：QUOTE的一个交点为QUOTE，

QUOTE，QUOTE

QUOTE椭圆过点QUOTE．

QUOTE，QUOTE

QUOTE解得QUOTE，QUOTE，

所以椭圆E的方程为QUOTE分QUOTE

解法二：椭圆的两个焦点分别为QUOTE，

由椭圆的定义可得QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，

所以椭圆E的方程为QUOTE分QUOTE

QUOTEⅡQUOTE解法一：由QUOTEⅠQUOTE可知QUOTE，QUOTE，设QUOTE，

直线QUOTE：QUOTE，令QUOTE，得QUOTE；

直线QUOTE：QUOTE，令QUOTE，得QUOTE；

设圆G的圆心为QUOTE，

则QUOTE，

QUOTE

而QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE，

所以QUOTE，即线段OT的长度为定值QUOTE分QUOTE

解法二：由QUOTEⅠQUOTE可知QUOTE，QUOTE，设QUOTE，

直线QUOTE：QUOTE，令QUOTE，得QUOTE；

直线QUOTE：QUOTE，令QUOTE，得QUOTE；

则QUOTE，而QUOTE，所以QUOTE，

所以QUOTE，由切割线定理得QUOTE

所以QUOTE，即线段OT的长度为定值QUOTE分QUOTE

【解析】QUOTEⅠQUOTE解法一：依据椭圆E：QUOTE的一个交点为QUOTE，过点QUOTE，可得QUOTE，QUOTE，联马上可求得椭圆E的方程；

解法二：椭圆的两个焦点分别为QUOTE，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；

QUOTEⅡQUOTE解法一：由QUOTEⅠQUOTE可知QUOTE，QUOTE，设QUOTE，求出QUOTE，同QUOTE

设圆G的圆心为QUOTE，利用QUOTE，即可得到线段OT的长度；

解法二：由QUOTEⅠQUOTE可知QUOTE，QUOTE，设QUOTE，求出QUOTE，QUOTE，可得QUOTE，由切割线定理可得线段OT的长度．

本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，细致审题，挖掘隐含是关键．

21.【答案】QUOTEⅠQUOTE解：由QUOTE，可得QUOTE．

当QUOTE，即QUOTE时，函数QUOTE单调递增；

当QUOTE，即QUOTE时，函数QUOTE单调递减．

QUOTE的单调递增区间为QUOTE，单调递减区间为QUOTE．

QUOTEⅡQUOTE证明：设点p的坐标为QUOTE，则QUOTE，QUOTE，

曲线QUOTE在点P处的切线方程为QUOTE，即QUOTE，

令函数QUOTE，即QUOTE，

则QUOTE

QUOTE，QUOTE当QUOTE时，QUOTE；当QUOTE时，QUOTE，

QUOTE在QUOTE上单调递增，在QUOTE上单调递减，

QUOTE对于随意实数x，QUOTE，即对随意实数x，都有QUOTE；

QUOTEⅢQUOTE证明：由QUOTEⅡQUOTE知，QUOTE，设方程QUOTE的根为QUOTE，可得QUOTE．

QUOTE在QUOTE上单调递减，又由QUOTEⅡQUOTE知QUOTE，

因此QUOTE

类似地，设曲线QUOTE在原点处的切线方程为QUOTE，可得QUOTE，

对于随意的QUOTE，有QUOTE，即QUOTE．

设方程QUOTE的根为QUOTE，可得QUOTE，

QUOTE在QUOTE上单调递增，且QUOTE，

因此QUOTE，

由此可得