2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.3 函数的最大（小）值与导数（教师用书）教案 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大（小）值与导数（教师用书）教案新人教A版选修1-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容来源于新人教A版选修1-1的第3章导数及其应用的第3节函数的最大（小）值与导数。本节课的主要内容包括：

1.函数的最大值和最小值的定义及性质；

2.利用导数求函数的最值；

3.应用实例分析，巩固求最值的方法。

教学内容以教材为基础，结合学生的实际情况，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力。在教学过程中，通过生动的实例分析和丰富的练习题，使学生掌握导数在求函数最值方面的应用，提高学生的数学素养。二、核心素养目标本节课的核心素养目标为：

1.逻辑推理：使学生理解函数最大值和最小值的定义及性质，并能运用导数求函数的最值；

2.数学建模：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，通过实例分析，使学生掌握导数在求函数最值方面的应用；

3.直观想象：培养学生借助图形直观地理解和分析函数最值问题；

4.数学运算：培养学生熟练运用导数运算求解函数最值的能力。三、学情分析本节课针对的是高中数学选修1-1的学生，他们已经掌握了导数的基本概念和求导法则，能够理解函数的单调性。在学习本节内容之前，学生需要具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力。

根据对学生的了解，我将他们分为三个层次：

1.基础层：这部分学生对导数和函数单调性的理解较为基础，能够完成简单的导数运算和函数单调性分析。他们在求解函数最值问题时，可能缺乏对复杂情况的处理能力，需要教师的引导和帮助。

2.提升层：这部分学生已经具备一定的解题能力，能够独立完成导数和函数单调性的相关问题。但在处理综合性较强的问题时，可能需要教师的点拨才能找到解题思路。

3.优秀层：这部分学生在导数和函数单调性方面有较高的理解水平，解题能力较强，能够独立解决各类函数最值问题。他们在学习本节课的内容时，可以适当拓展一些难度较大的题目，提高自己的数学素养。

针对不同层次的学生，教师在教学过程中应采取不同的策略：

1.对于基础层的学生，教师应注重基础知识的教学，通过详细的讲解和例题分析，帮助他们巩固导数和函数单调性的概念。在求解函数最值问题时，教师可以引导学生逐步分析，突破解题过程中的难点。

2.对于提升层的学生，教师应适当提高教学难度，引导他们独立思考，培养解题能力。在教学过程中，教师可以设置一些具有挑战性的问题，让学生在探讨和解决问题中，进一步提高自己的数学素养。

3.对于优秀层的学生，教师可以适当拓展课程内容，引导他们深入研究函数最值的性质和应用。同时，鼓励他们参加各类数学竞赛和学术活动，提升自己的数学水平和综合素质。

在教学过程中，教师还需关注学生的学习习惯和态度。部分学生可能存在以下问题：

1.对数学学科兴趣不足，学习积极性不高；

2.课堂注意力不集中，容易走神；

3.解题过程中粗心大意，容易犯错；

4.缺乏自主学习能力和合作意识。

针对以上问题，教师应采取以下措施：

1.创设生动有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣；

2.优化课堂结构，注重启发式教学，提高学生的课堂参与度；

3.加强课堂管理，提高学生的自律意识；

4.布置适量的课后练习，培养学生的自主学习能力；

5.组织小组合作活动，提高学生的合作意识和团队精神。四、教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备、白板、投影仪、计算机、网络连接、教学软件等。

2.课程平台：学校内部的教学管理系统、数学课程网站、在线教学平台等。

3.信息化资源：教学PPT、动画演示、视频资料、在线练习题库、数学软件工具等。

4.教学手段：讲授课、案例分析、小组讨论、合作探究、练习讲解、互动提问、数学软件操作等。

5.教学辅助工具：导数板书演示、函数图像展示、数学模型实物等。

6.教材及辅助材料：新人教A版选修1-1教材、教学指导书、课后习题集、补充讲义等。

7.课外拓展资源：数学竞赛资料、学术研究报告、数学历史故事、数学游戏等。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：教师通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，如PPT、视频、文档等，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“函数的最大（小）值与导数”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数最大值和最小值的概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：教师通过讲述一个实际应用问题，引出函数最大值和最小值的概念，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：教师详细讲解如何利用导数求函数的最大值和最小值，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生在实践中掌握求函数最值的方法。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，体验求函数最值的方法。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解如何利用导数求函数的最大值和最小值。

-实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握求函数最值的方法。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解如何利用导数求函数的最大值和最小值，掌握相关技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与本节课相关的拓展资源，如书籍、网站、视频等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的函数最大值和最小值的概念及相关技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学杂志和期刊：推荐学生阅读《数学通报》、《数学进展》等数学杂志和期刊，了解函数最值领域的最新研究动态和应用实例。

（2）数学学术网站：引导学生访问数学学术网站，如“数学之家”、“中国数学网”等，查找与函数最值相关的论文和研究报告，拓宽知识视野。

（3）数学竞赛题目：鼓励学生参加各类数学竞赛，如全国高中生数学竞赛、美国数学竞赛等，通过竞赛题目锻炼自己的数学思维和解题能力。

（4）数学软件工具：教授学生使用数学软件工具，如MATLAB、Mathematica等，学会利用软件进行函数最值的计算和分析。

2.拓展建议：

（1）课后自主学习：鼓励学生在课后自主学习函数最值的相关知识，通过阅读教材、查阅资料、参加线上课程等方式，提高自己的数学素养。

（2）合作研究项目：组织学生进行合作研究项目，如探讨函数最值在实际问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力和团队合作精神。

（3）参加数学讲座和研讨会：邀请数学专家和学者进行数学讲座和研讨会，让学生有机会与专业人士交流，提高自己的数学思维水平。

（4）运用数学知识解决实际问题：鼓励学生将所学函数最值知识运用到实际问题中，如优化生产过程、分析经济数据等，培养学生的应用能力。七、课后作业1.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[-1,1]上的最大值和最小值。

2.求函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[1,4]上的最大值和最小值。

3.已知函数h(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求其在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

4.求函数f(x)=x^2-2x在区间[0,2]上的最大值和最小值，并说明函数的单调性。

5.已知函数g(x)=-x^2+4x在区间[-2,2]上的最大值和最小值，求函数在区间[-2,-1]和区间[-1,2]上的最大值和最小值。

答案：

1.最大值：f(x)=3，在x=1时取得；最小值：f(x)=1，在x=-1时取得。

2.最大值：g(x)=27，在x=3时取得；最小值：g(x)=-1，在x=2时取得。

3.最大值：h(x)=1，在x=1时取得；最小值：h(x)=-13，在x=-1时取得。

4.最大值：f(x)=0，在x=1时取得；最小值：f(x)=-3，在x=0时取得。函数在x=1时取得最大值，在x=0时取得最小值，因此函数在区间[0,2]上是先增后减的。

5.最大值：g(x)=0，在x=-1时取得；最小值：g(x)=-3，在x=0时取得。八、课堂1.提问评价：在课堂讲解过程中，教师可以通过提问的方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度，以及导数在求函数最值中的应用。教师可以根据学生的回答，及时调整教学进度和难度，确保学生能够跟上教学节奏。

2.观察评价：教师可以通过观察学生的课堂表现，了解学生的学习态度和参与程度。对于积极参与课堂讨论、提出问题或给出独到见解的学生，教师可以给予鼓励和表扬，激发学生的学习兴趣和动力。

3.测试评价：在课堂讲解结束后，教师可以通过布置随堂测试或课后练习题，检验学生对函数最大值和最小值概念的掌握程度，以及导数在求函数最值中的应用能力。通过测试结果，教师可以了解学生的学习效果，及时发现问题并进行解决。

八、作业评价

1.认真批改作业：教师需要认真批改学生的课后作业，对学生的答案进行