中考数学必刷压轴题：抛物线之全等存在性问题（含解析）

中考数学抛物线压轴题之全等

1.如图1,二次函数丫=-2乂2+^^+3的图象交*轴于A、13两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点，

84

连结AC,过点C作CDLAC交AB于点D.

(1)求点D的坐标；

(2)如图2,已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段A0上取一点F,过点F作FHLCD,交该二次函数

的图象于点H(点H在点E的右侧)，当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；

(3)如图3,在直线BC上取一点\1(不与点B重合)，在直线CD的右上方是否存在这样的点N,使得以C、

M、N为顶点的三角形与aBCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax、bx+4经过点A(-3,0)和点B(3,2),与y轴

相交于点C.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP,如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直

线AP的截距；

(3)在(2)小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点.当△£△()与aEAF全

等时，求点E的纵坐标.

y小

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

3.已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-bx+c与直线y=mx+n相交于点A(0,3)且经过点B

(m-b,-m"+mb+n),其中a,b,c,m,n为实数，且aWO,mWO.

(1)求a的值；

(2)当m=l,b=2时，若第二象限中的点P(x,y)是抛物线y=ax，-bx+c上的任意一点，设点P到直

线丫=11^+门的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最大值时点P的坐标；

(3)将抛物线丫=2*2-6*+。沿着它的对称轴x=-l向下平移1个单位长度，得到新抛物线，设新抛物线

与y轴的交点为M,对称轴与X轴交于点N,动点R在对称轴上，问新抛物线上是否存在点Q,使以点N,Q,

R为顶点的三角形与AMON全等？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

y..

40,3)

Ox

4.综合与探究：

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax?+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于

点C,抛物线的顶点为点D.

(1)如图1,分别求这个二次函数和直线AC的表达式；

(2)如图2,连接AD,CD,求四边形AOCD的面积；如图3,若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使△

ACP的面积最大.请解答下面问题：

①求出点P的坐标；

②此时平面内是否存在另一点Q,使AACQ和4ACP全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请

说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系xOy,已知二次函数y=-工x?+bx的图象过点A(4,0),顶点为B,连接AB、

2

B0.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若C是B0的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B',当△OCB'为等边三角形时，

求BQ的长度；

(3)若点D在线段B0上，0D=2DB,点E、F在AOAB的边上，且满足aDOF与ADEF全等，求点E的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(a^O)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线

y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧)，抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,

EFJ_x轴，垂足为F,点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ_Lx轴，垂足为点Q,△PCQ为等边三角形

(2)求点P的坐标；

(3)求证：CE=EF；

(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使aCQAI与aCPE全等？若存在，试求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由.［注：3+2我=(V2+1)

7.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=kx+l(k#0)与x轴交于点A,与y轴交于点C,

过点C的抛物线y=ax?-(6a-2)x+b(a¥0)与直线AC交于另一点B,点B坐标为(4,3).

(1)求a的值；

(2)点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQLx轴，垂足为点Q,在x轴上点Q的右侧取点M,使MQ

,在QP的延长线上取点N,连接PM,AN,已知tan/NAQ-tanNMPQ=」，求线段PN的长；

82

(3)在(2)的条件下，过点C作CDLAB,使点D在直线AB下方，且CD=AC,连接PD,NC,当以PN,PD,

NC的长为三边长构成的三角形面积是空时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E,连接NE,PE,使得AENP

8

8.如图，抛物线y=ax=c(a¥0)与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上)，AABC

为等腰直角三角形，且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点

为E,其顶点为F,对称轴与x轴的交点为H.

(1)求a、c的值.

(2)连接OF,试判断AOEF是否为等腰三角形，并说明理由.

(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E,另一直角边与

y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与APOE全等？若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知抛物线y=x2-l和x轴交于A,B(点A在点B右边)两点，和y轴交于点C,P为抛物线上的动点.

(1)求出A,B,C三点的坐标；

(2)求动点P到原点0的距离的最小值，并求此时点P的坐标；

(3)当点P在x轴下方的抛物线上运动时，过P的直线交x轴于E,若aPOE和APOC全等，求此时点P的

10.已知：如图，抛物线Cl：交y轴交于点B,交X轴于点A、E(点E在点A的右边).且连接AB=J而,

cotZABO=3,Q(-2,-5)在6上.

x

(1)求抛物线3的解析式；

(2)若一个动点P自OB的中点H出发，先到达x轴上某点(设为N),再到达抛物线的对称轴上某点(设

为点K)最后到达点B,求使点P运动的总路径最短的点N,点K的坐标，并求出这个最短总路径的长；

(3)设抛物线G的对称轴与x轴交于点F,顶点为D,另一条抛物线C2经过点E(抛物线C?与抛物线G不

重合)且顶点为M(a,b)b<0,对称轴与x轴相交于点G,且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为

顶点的三角形全等，求a、b的值(只需写结果，不必写出解答过程)

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax'+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于

点D,顶点为M,且DM=OC+OD.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为$,求S关于x的函数关系式,

并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以0、P、E为顶点的三角形与△

OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系中，以点M(2,0)为圆心的。M与y轴相切于原点0,过点B(-2,0)作

。\1的切线，切点为C,抛物线y=qSx2+bx+c经过点B和点比

(1)求这条抛物线解析式；

(2)求点C的坐标，并判断点C是否在(1)中抛物线上；

(3)动点P从原点0出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处.此

时△B0Q与△MCB全等，求t的值.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax、bx+c(a^O)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直

线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧)，抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,

EFJ_x轴，垂足为点F,点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMLx轴，垂足为点M,ZXPCM为等边三角

形.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求点P的坐标；

(3)试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

(4)连接PE,在x轴上点M的右侧是否存在一点N,使ACMN与4CPE全等？若存在，试求出点N的坐标;

若不存在，请说明理由.

14.如图，抛物线y=与x轴交于点A、B,且经过点D(-,—)

22

(1)求c；

(2)若点C为抛物线上一点，且直线AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分，试说明AC平分BD,且求

出直线AC的解析式；

(3)x轴上方的抛物线y=-lx2+c上是否存在两点P、Q,满足Rt^AQP全等于RtAABP?若存在，求出P、

2

Q两点；若不存在，请说明理由.

15.如图所示，抛物线y=-(x-«m)2加＞0)的顶点为A,直线1：y。巨XF与丫轴交点为民

(1)写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)证明点A在直线1上，并求NOAB的度数；

(3)动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？

若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知：如图，抛物线5经过A,B,C三点，顶点为D,且与x轴的另一个交点为E.

(1)求抛物线Q解析式；

(2)求四边形ABDE的面积；

(3)ZXAOB与ABDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；

(4)设抛物线5的对称轴与x轴交于点F,另一条抛物线C2经过点E(抛物线C2与抛物线5不重合)，且

顶点为M(a,b),对称轴与x轴相交于点G,且以M,G,E为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形

全等，求a,b的值.(只需写出结果，不必写出解答过程)

17.如图，已知抛物线y=2x?-4x+n与x轴交于不同的两点A、B,其顶点是C,点D是抛物线的对称轴与

x轴的交点.

(1)求实数n的取值范围；

(2)求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含有m的式子表示)；

(3)若直线了二方乂+1分别交x轴、y轴于点E、F,问△!«(：与aEOF是否有可能全等？如果可能，请证明；

如果不可能，请说明理由.

18.已知：抛物线Ci：y=-W-(x+4)=3向右平移4个单位后得到抛物线C2.

16

(1)写出抛物线C2的函数解析式；

(2)如果抛物线Cz交x轴于点A,B(点A在点B的左边)，交y轴于点P,联结PB,求线段PB的长；

(3)另有一条与抛物线C2不同的抛物线C3,它经过点B,顶点为Q,对称轴与x轴交于点D,且以Q,D,B

为顶点的三角形与以P,0,B为顶点的三角形全等，请求出满足条件的顶点Q的坐标.6.如图，已知在平

面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+4经过点A(-3,0)和点B(3,2),与y轴相交于点C.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP,如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直

线AP与y轴相交的纵坐标；

(3)在(2)小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点.当AEA。与4EAF全

等时，求点E的纵坐标.

5-

-3-2-101234x

19.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax、bx+4经过点A(-3,0)和点B(3,2),与y轴

相交于点C.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP,如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直

线AP与y轴相交的纵坐标；

(3)在(2)小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点.当△EAO与4EAF全

等时，求点E的纵坐标.

y小

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

20.综合与探究：

在平面直角坐标系中，二次函数丫=@*^^+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于

点C,抛物线的顶点为点D.

(1)如图1,分别求这个二次函数和直线AC的表达式；

(2)如图2,连接AD,CD,求四边形A0CD的面积；如图3,若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使△

ACP的面积最大.请解答下面问题：

①求出点P的坐标；

②此时平面内是否存在另一点Q,使AACQ和4ACP全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请

说明理由.

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直

线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧)，抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,

EFLx轴，垂足为F,点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQLx轴，垂足为点Q,4PCQ为等边三角形

(2)求点P的坐标；

(3)求证：CE=EF；

(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与4CPE全等？若存在，试求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由.[注：3+2点=(亚+1)2].

22.如图，抛物线yuax'+c(a¥0)与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上)，AABC

为等腰直角三角形，且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点

为E,其顶点为F,对称轴与x轴的交点为H.

(1)求a、c的值.

(2)连接OF,试判断AOEF是否为等腰三角形，并说明理由.

(3)现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E,另一直角边与

y轴相交于点P,是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与APOE全等？若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于

点D,顶点为M,且DM=OC+OD.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为$,求S关于x的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以0、P、E为顶点的三角形与△

OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由.

24.如图，在平面直角坐标系中，以点M(2,0)为圆心的。M与y轴相切于原点0,过点B(-2,0)作

。\1的切线，切点为C,抛物线yuQ^x2+bx+c经过点B和点比

(1)求这条抛物线解析式；

(2)求点C的坐标，并判断点C是否在(1)中抛物线上；

(3)动点P从原点0出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处.此

时△B0Q与△MCB全等，求t的值.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直

线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧)，抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,

EFLx轴，垂足为点F,点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM，x轴，垂足为点M,Z\PCM为等边三角

形.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)求点P的坐标；

(3)试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

(4)连接PE,在x轴上点M的右侧是否存在一点N,使ACMN与4CPE全等？若存在，试求出点N的坐标;

若不存在，请说明理由.

26.如图，抛物线y=-2x，c与x轴交于点A、B,且经过点9)

2ns2

(1)求c；

(2)若点C为抛物线上一点，且直线AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分，试说明AC平分BD,且求

出直线AC的解析式；

(3)x轴上方的抛物线y=-lx2+c上是否存在两点P、Q,满足Rt^AQP全等于RtAABP?若存在，求出P、

2

Q两点；若不存在，请说明理由.

27.如图所示，抛物线y=-(x-«m)2(m>0)的顶点为A,直线1：与丫轴交点为民

(1)写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)证明点A在直线1上，并求NOAB的度数；

(3)动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P,使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？

若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

28.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，0A=4,0C=3,

若抛物线经过0、A两点，物线的顶点为D,在CD〃x轴，直线AC交抛物线于点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AC交于点E,F.以

PE,PF为边构造矩形PEKF,设点K的坐标为(m,n),求出m,n之间的关系式.

(3)点P是x轴上方抛物线上的一个动点(不与点D重合).过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AC

交于点E,F.对称轴与直线AC交于点Q,4PEF与4CDQ全等？求点P坐标.

备用图

1.【解答】解：（1）

令x=0,则y=3,

：.C(0,3),

.•.OC=3.

2

令y=0,则--X+AX+3=0,

84

解得：X|--4,X2=6,

；.A(-4,0),B(6,0),

...OA=4,0B=6.

VCD1AC,

...NACD=90°,

VCO±AD,

.,.OC2=OA«0D,

.",OD=—,

4

.•/)(9,0).

4

2

(2)Vy=-AX+JLX+3=-A(x-1)2+空,

8488

AE(1,空).

8

设H(m,_—m'+—m+3),则P(m,_.

8484

HG=—-m2+—m+3,HP—yn-yp---m2+—m-—.

84884

2

.,.SABIIE=—(XB-XE)・IIP=$(-Am+Zm-2)---H.

2288416168

VFH±CD,AC1CD,

：.AC〃FH,

；./HFG=/CAO,

VZA0C=ZFGH=90°,

...△ACO〜AFHG,

•FG=0A=j4

,,HGocy

2

，FG=9HG=--lm+Am+4,

363

AF—AG-FG—m+4+—m'-—m-4=—m'+—m,

6363

SAAFC~~"AF*0C=2"(—m+—m)——m+m,

22624

SHa，®ACEB_SAACO+SAOCE+SAOEB——X4X3+—X3X1+—6义2^=工^^,

22288

；•S三边形FCEHB=S四边彤ACEB+S^BHE-SYAFC=」L^^+(—5nf+2^~m_)-(—in+m)=-9m~+.l9m+15=-§

8161684161616

(3)2+迎，

18576

•"当m=[^"时，S五也形FCEHB取得最大值9001.

18576

此时，H的横坐标为」些.

18

(3)VB(6,0),C(0,3),D(20),

4

；.CD=BD=号，BC=3遥，

.,.ZDCB=ZDBC.

①如图3-1,ACMN^ADCB,MN交y轴于K,

图3-1

则CM=CN=DC=DB=E,MN=BC=3旄，NCMN=/CNM=/DBC=NDCB,

4

/.MN±y轴，

.,.ZCKN=ZC0B=90°,MK=NK=AMN=^^,

22

.♦.△CKN〜ACOB,

.CK_CO_V5

"CNCB~5~,

.•.CK=^^,

4_

OK=OC+CK=I?+0'后,

_4

?.N.12+3近）

24

②如图3-2,AMCN^ADBC,

图3-2

则CN=CB=3泥，ZMCN=ZDBC,

：.CN〃AB,

：.N（3旄，3）.

③如图3-3,ACMN^ADBC,

则NCMN=NDCB,CM=CN=DC=DB=1^,MN=BC=3泥，

4

・・.MN〃CD,

作MRJ_y轴于R,

则煦=典=2_=近.

AC0OBCB'T'

.•.CR=‘近，|»1=盟5,

42

.•,OR=3--^ZE,

4

作MQ〃y轴,NQLMQ于点Q,

则/NMQ=NDCO,ZNQM=ZD0C=90°,

.,.△COD〜AMQN,

.MQ=C0=j4

"NQDOy

.•.MQ=4MN=°^区，NQ=3MN=%55,

5555

.,欣国二冬区OR+MQ=-°+33^,

1020

・•.N(-运60+33/).

1020___

综上所述，满足要标的N点坐标有：(昌返，竺曳近)、(3泥，3)、(-昌返，60+33叫

241020

2.【解答】解：(1)二•抛物线y=ax?+bx+4过点A(-3,0)和点B(3,2),

.(9a-3b+4=0

19a+3b+4=2

(2)如图1,连接AC,DH,

丁点C关于直线AP的对称点D,

：.AD=AC,

x+4与y轴交于点c(0,4),与x轴交于点A(-3,0),

.♦.AC=5,

；.AD=5,

...点D(2,0),

(4-a)2=a2+22,

.3

,,a=rr,

2

二直线AP的截距为旦；

2

(3)：,点E是y轴正半轴上一点，

...△AOE是直角三角形，且NA0E=90°

当AEA。与aEAF全等时，存在两种情况：

①如图2,当/EFA=NA0E=90°,AEFA^AAOE,

AEF=OA,

VZAHO=ZEHF,ZA0H=ZEFH=90°,

/.△AOH^AEFH(AAS),

/.AH=EH,

由(2)知：OH=3,

2

.•.EH=AH=OE--,

2

RtAAHO+,AH2=AO2+OH2,

(OE-3)2=32+2,

2

解得：OE=空运或生2近.(舍),

22

..•点E的纵坐标是空匹;

2

②如图3,当/EFA=NA0E=90°,AEFA^AEOA,

；.AF=AO=3,EF=OE,

RtAAHO中，AH=

2

/<FH=3V^-3,EH=--OE,

22

RtZXEFH中，由勾股定理得：EH2=FH2+EF2,

二(2.-0E)2=(^ZE-3)2+0E2,

22

解得：0E=3遥-6,

二点E的纵坐标是3遥-6；

综上，点E的纵坐标是空近■或3旄-6.

3.【解答】解：(1)点A(0,3)在直线y=mx+n上，得n=3.

•.,点A(0,3)、点B(m-b,-m'+mb+n)在抛物线y=ax°-bx+c上，

.,.c=3,-m2+mb+3=a(m-b)--b(m-b)+3.

(a+1)(m-b)2=0,

若m-b=0,则(m-b,-m'+mb+n)与(0,3)重合，与题意不合.

/.a=-1；

(2)当m=l,b=2时，直线y=x+3与x轴的交点C(-3,0),

抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,

如图，作PHJ_AC,PF^x轴，垂足分别为H,F.作CD〃y轴，HD〃x轴，交点为1),HD与PF的交点为E.

则△CDHS/\HEP.

ACDH是等腰直角三角形，

...△HEP是等腰直角三角形，

；.PE=HE,d=PH=^HE,

设点H(m,m+3),P(x,-x~-2x+3),

则E(x,m+3).

-x2-2x+3-m-3=m-x.

解得m=—-x2-—x,

22

1•d与x的函数解析式为d=&(m-x)=亚(-—x2-—x-x)=-YZ(x>3x).

__222

d=-返(X2+3X)=-返(x、3x+S)&

2248

故当x=-3时，d有最大值2返.此时点p(-3,!§.)；

2824

（3）存在，如图,

由(1)知，a=-1,c=3,

•.•对称轴为x=-1,

/.b=-2

二抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,

•••新抛物线的解析式为y=-x2-2x+2,

AM(0,2),N(-1,0),

；.ON=1,0M=2,

•.•以点N,Q,R为顶点的三角形与aMON全等，且NM0N=90°,

...NNRQ=90°,

...①RQ=ON=1,NR=0M=2,

?.Q(-2,2),或Q(0,2)

②NR=ON=1,RQ=2,

Q(_3,-1)或(1,-1),

・•・符合条件的点Q的坐标为：(-2,2),(0,2),(-3,-1),(1,-1).

4.【解答】解：(1)设：二次函数的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a,即：-3a=2,解得:

故抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=-2x?-马x+2,顶点D的坐标为(-1,g),

333

__f

将点A、C坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：J(°=Tk+b,解得：首方，

1b=2b=2

则直线AC的表达式为：y=—x+2；

3

(2)过点P、D分别作PH〃y轴、DG〃y轴，分别交AC于点H、G,

点D(-1,—),则点G(-1,A),

33

S四边形Aoa>=S&\cD+SaBc==XGDXOA+《XABX0C=-^-X《X3+=X4X2=6;

22232

2

①设点P(x,--？-x-AX+2),则点H(x,2X+2),

333

22

SAACP=—XPHX0A=^X3(-—x--^-x+2-^-x-2)=-x+3x,

22333

V-l<0,抛物线开口向下，故S&CP有最大值，

当x=-3时，S&CP有最大值，

2

点p坐标为(-3,$)；

22

②(I)当点Q在直线AC上方时，

△QAC^APCA,则点P、Q关于线段AC的中垂线对称，

线段AC的中点M（1）,

2

AC的中垂线L,过点M,且其表达式中的k值为：-3,

则直线L的表达式为：y=-2x-$…①，

24

同理过点P平行于直线AC的直线k的表达式为：y=2x+[…②,

32

联立①②并解得：x=-“，即点N（-4,至3）,

262626

点N是P、Q的中点，由中点公式得点Q（-正，处）；

2626

（II）当点Q在直线AC的下方时，

△Q'AC^APAC,

同理可得PQ，表达式为：y=-3x+1,

24

设点0坐标为（x,-3x+Jo,点p（-3,S）,

2422

,.,AP=AQr,即：（-3+旦）2+（8）2=（x+3）2+（-3X+JL）2,

2224

整理得：13X2+21X+9=1,解得：x=2•或旦（舍去旦），

42622

当△£;''AC^APCA,

同理Q"为（-3,A）；

213

故：点Q的坐标为Q（-至，丝）或（A,或（-3,J_）.

262626春,213

5.【解答】解：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：-工*屋+处=0,解得b=2,

2

2

二二次函数的表达式为y=-AX+2X.

2

(2)：y=-U+2x=_2(x-2)2+2,

22

；.B(2,2),抛物线的对称轴为x=2.

如图1所示：

由两点间的距离公式得：OB=yj22+2=25/2^BA=4(4一2)2+(2_0)2=2"^"^.

是0B的中点,

：.0C=BC=6

VAOB,C为等边三角形，

.，.ZOCB,=60°.

又。点B与点B'关于CQ对称，

,NB'CQ=ZBCQ=60°.

•；OA=4,0B=2A/2.AB=2血，

.,.OB2+ABZ=OA2

.•./0BA=90°.

在RtZ\CBQ中，ZCBQ=90°,ZBCQ=60°,BC=&,

?.tan60°=里

BC

.•.BQ=«CB=V^XM=捉.

(3)分两种情况：

i)当F在边OA上时，

①如图2,过D作DF_Lx轴，垂足为F,

VADOF^ADEF,且E在线段0A上,

.•.OF=FE,

由(2)得：0B=2&,

•.•点D在线段B0上,0D=2DB,

；.0[)=20B=^X

33

VZBOA=45°,

；.cos45°,

OD

.,.OF=OD»cos45°=^/2_x—=—.

323

则0E=20F=2,

3

.•.点E的坐标为（旦，0）；

3

②如图3,过D作DFJ_x轴于F,过D作l）E〃x轴，交AB于E,连接EF,过E作EG_Lx轴于G,

/.△BDE^ABOA,

.BD_DE_1

"OB"0A~3'

•；0A=4,

,-.DE=A,

3

VDE#0A,

?.Z0FD=ZFDE=90°,

•；DE=OF=g,DF=DF,

3

.,.△OFD^AEDF,

同理可得：Z\EDF也△FGE,

.,.△OFD^AEDF^AFGE,

.•.0G=0F+FG=0F+DE=^+9=B,EG=DF=OD-sin45°=匹，

3333

；.E的坐标为（旦，-1）；

33

③如图4,将aDOF沿边DF翻折，使得0恰好落在AB边上，记为点E,

过B作BM±x轴于M,过E作EN1BM于N,

由翻折的性质得：△D0FZ4DEF,

.,.OD=DE=&^,

3_

•.•BD=20D=2i但，

23_

二在RtZM）BE中，由勾股定理得：

BE=^DE2_B［）2=

3

则BN=NE=BE・cos45°返

_323

0M+NE=2+^^,BM-BN=2-

33

二点E的坐标为：（2+Z返，2-2返）；

33

ii）当点F在AB上时,

①过D作DF〃x轴，交AB于F,连接OF与DA,

：DF〃x轴，

.,.△BDF^ABOA,

•.•BDBF）

BOBA

由抛物线的对称性得：OB=BA,

；.BD=BF,

则NBDF=NBFD,Z0DF=ZAFD,

；.OD=OB-BD=BA-BF=AF,

则aDOF丝Z\DAF,

；.E和A重合,则点E的坐标为（4,0）；

②如图6,由①可知：当E与0重合时，△DOF与ADEF重合，

此时点E（0,0）；

综上所述，点E的坐标为：（包，0）或（3，A）或（2+2运，2-2幽）或（4,0）

或（0,0）.

33333

6.【解答】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+1,将点A(0,2)代入，得a(0-2)2+1=2,

解这个方程，得@=工，

4

22

二抛物线的表达式为y=2(x-2)+1=AX-x+2；

44

(2)将x=2代入y=x,得y=2

...点C的坐标为(2,2)即CG=2,

•/aPCQ为等边三角形

AZCQP=60°,CQ=PQ,

VPQ±x轴，

.,.ZCQG=30°,

：.CQ=4,GQ=2«.

00=2+273，PQ=4,

将y=4代入y=L(x-2)2+l,得4=」(x-2)2+l

44

解这个方程，得XI=2+2J5=0Q,X2=2-2A/§<0(不合题意，舍去).

二点P的坐标为(2+2V3-4)；

(3)把y=x代入y=」x2-x+2,得x=Lx?-x+2

44

解这个方程，得小=4+2血，X2=4-2A/5<2(不合题意，舍去)

；.y=4+2&=EF

.•.点E的坐标为(4+2&,4+2如)

°E=>/EF2+0F2=4+4&，

又0C=VcG2-H3G2=2圾，

.,.CE=0E-0C=4+2圾，

，CE=EF；

(4)不存在.

如图，假设x轴上存在一点，使△CQM丝aCPE,贝1cM=CE,ZQCM=ZPCE

/./MCE=60°

又；CE=EF,

；.EM=EF,

又•.•点E为直线y=x上的点,

.,.ZCEF=45°,

二点M与点F不重合.

•••EF_Lx轴,这与“垂线段最短”矛盾,

二原假设错误，满足条件的点M不存在.

7.【解答】解：（1）当x=0时，由y=kx+l得y=l,贝!JC(0,1).

二•抛物线丫=2*~-（6a-2）x+b(aWO)经过C(0,1),(4,3),

.（b=l

I3=16a-4（6a~2）+b

'普

解得：a=7,

b=l

(2)把B(4,3)代入y=kx+l中，得

3=4k+l,解得：k=—,

2

..・直线AB的解析式为y=—x+1.

2

由y=0得O=2x+1,

2

解得：x=-2,

\A(-2,0),0A=2,

：C(0,1),

*.OC=1,

\tanZCAO=-^=A

OA2

；PQ_Lx轴，

/.tanZPAQ=^-=—,

QA2

设PQ=m,贝!|QA=2m,

VtanZNAQ-tanZMPQ=-^,

2

.NQMQ=1

,前方~2,

•.・MQ=5,

8

5_

.PN+m_8_1

2m丁5，

,・.PN=2

4

(3)方法一：

在y轴左侧抛物线上存在E,使得AENP与以PN,PD,NC的长为三边长的三角形全等.

过点D作DFLCO于点F,如图2,

VDF1CF,CD1AB,

Z.ZCDF+ZDCF=90°,ZDCF+ZAC0=90°,

ZCDF=ZACO,

•.•CO_Lx轴，DF±CO,

二NA0C=/CFD=90°,

在aACO和ACDF中，

，ZACO=ZCDF

<ZAOC=ZCFD«

CA=CD

?.AACO^ACDF(AAS),

.,.CF=AO=2,I)F=CO=1,

；.OF=CF-CO=1,

作PH〃CN,交y轴于点H,连接DH,

VCH/7PN,

二四边形CHPN是平行四边形，

；.CN=HP,CH=PN=§,

4

.•.HF=CF-CH=t，

DH=A/DF2+HF2=-1,

/.DH=PN.

...△PHD是以PN,PD,NC的长为三边长的三角形，

延长FD、PQ交于点G,

・・，PQ〃y轴，

/.ZG=1800-ZCFD=90°,

•・S四边形HFGP=S2MFD+SZ\PHD+SAPDG,

/.A(HF+PG)FG=AHF«FD+空+』DG・PG.

2282

.点P在y=Lx+l上，.•.可设P(t,—1+1),

22

.•.A(3,+At+i+i).t=AxAxi+^+A(t-1)«(At+1+i),

24224822

，t=4,P(4,3),

?.N(4,—),tan/DPG=W^=§.

4PG4

•；tanNHDF=^=3,

FD4

NDPG=NHDF.

VZDPG+ZPDG=90°,

?.ZHDF+ZPDG=90",

Z.ZHDP=90°.

VPN=DH,若AENP与△PDH全等,则有两种情况：

①当/ENP=NPD