新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（讲）（解析版）

第2讲复数本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：项目满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).考点二复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).考点三复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).考点四常用结论1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.4.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.高频考点一复数的概念【例1】(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是()A.eq\f(1,z)对应的点在第一象限 B.|z|<|z＋1|C.z的虚部为i D.z＋eq\o(z,\s\up6(－))<0【答案】D【解析】∵z＝－1＋i，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,－1＋i)＝eq\f(－1－i,（－1＋i）（－1－i）)＝－eq\f(1,2)－eq\f(i,2).则eq\f(1,z)对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝eq\r(2)，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝－2<0，故D正确.【方法技巧】1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.【变式训练】1.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝eq\f(3－i,1＋2i)，则|z|＝()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.1【答案】C【解析】∵z＝eq\f(3－i,1＋2i)＝eq\f(（3－i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(1－7i,5)，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))\s\up12(2))＝eq\r(2).高频考点二复数的几何意义【例2】(2020·临沂质检)已知eq\f(a,1－i)＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由eq\f(a,1－i)＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋1＝0，,a＝b－1，))即a＝－2，b＝－1，∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.【方法技巧】1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.【变式训练】1.若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为()A.(－eq\r(2)，eq\r(2)) B.(－eq\r(2)，0)C.(0，eq\r(2)) D.[0，eq\r(2))【答案】B【解析】z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a<0，,a2－2<0，))解得－eq\r(2)<a<0.2.(2022·郑州模拟)已知复数z1＝eq\f(2－i,2＋i)在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与虚轴垂直，则z2的虚部为________.【答案】－eq\f(4,5)【解析】z1＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(（2－i）2,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,5)，y0＋\f(4,5)))，又向量eq\o(AB,\s\up6(→))与虚轴垂直，∴y0＋eq\f(4,5)＝0，故z2的虚部y0＝－eq\f(4,5).高频考点三复数的运算【例3】(1)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A.0 B.1C.eq\r(2) D.2(2)在数学中，记表达式ad－bc为由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))所确定的二阶行列式.若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝eq\f(2＋i,1－i)，z3＝eq\o(z,\s\up6(－))2，则当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1z2,z3z4))＝eq\f(1,2)－i时，z4的虚部为________.【答案】(1)D(2)－2【解析】(1)法一z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.法二|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.故选D.(2)依题意，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1z2,z3z4))＝z1z4－z2z3，因为z3＝eq\o(z,\s\up6(－))2，且z2＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,2)＝eq\f(1＋3i,2)，所以z2·z3＝|z2|2＝eq\f(5,2)，因此有(1＋i)z4－eq\f(5,2)＝eq\f(1,2)－i，即(1＋i)z4＝3－i，故z4＝eq\f(3－i,1＋i)＝eq\f(（3－i）（1－i）,2)＝1－2i.所以z4的虚部是－2.【方法技巧】1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度：(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).【变式训练】1.(2022·南宁模拟)已知z＝eq\f(3－i,1－i)(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))的虚部是()A.－1 B.－2C.1 D.2【答案】A【解析】∵z＝eq\f(3－i,1－i)＝eq\f(（3－i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(4＋2i,2)＝2＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝2－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为－1.2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,