重难点31 阿基米德三角形（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点31阿基米德三角形【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1弦长与弦所在方程问题】 2【题型2定点问题】 3【题型3切线垂直问题】 4【题型4切线交点及其轨迹问题】 5【题型5面积问题】 7【题型6最值问题】 81、阿基米德三角形阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容，圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，阿基米德三角形的考查频率变高，在各类题型中都有可能考查，复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.【知识点1阿基米德三角形】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行.性质3若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为：ax+by+c=0，则定点的坐标为.性质4底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为.性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.【题型1弦长与弦所在方程问题】【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知过抛物线x2=16y焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，过点A，B处的切线交于点P，若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为（

）A．x+2y−8=0 B．x−2y+8=0C．x−4y+16=0 D．x+4y−16=0【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为3x−3y+6=0，关于“阿基米德三角形”△PABA．AB=323C．PF⊥AB D．点P的坐标为3【变式1-2】（23-24高二上·重庆·期末）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P在直线x−y+6=0上，则直线AB的方程为（

A．x−y−2=0 B．x−2y−2=0C．x+y−2=0 D．x+2y−2=0【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）AB为抛物线x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2A．xB．底边AB的直线方程为x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面积的最小值为2p【题型2定点问题】【例2】（23-24高二下·安徽·开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：y=ax2给出如下三个条件：①焦点为F0,12(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；(2)已知△ABQ是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．【变式2-1】（2024·湖南·三模）已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B(1)求E的方程；(2)直线l:x=−4，过l上一点P作E的两条切线PM,PN，切点分别为M，N.求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标.【变式2-2】（2024·甘肃兰州·一模）已知圆C过点P4,1，M2,3和N2,−1，且圆C与y轴交于点F，点F(1)求圆C和抛物线E的方程；(2)过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别作抛物线E的切线，两条切线交于点Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由．【变式2-3】（2024·辽宁·三模）设抛物线C的方程为y2=4x，M为直线l:x=−m(m>0)上任意一点；过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（(1)当M的坐标为−1,32时，求过M，A，(2)求证：直线AB恒过定点；(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．【题型3切线垂直问题】【例3】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为（1）若点P坐标为0,−1，求切线PA,PB的方程；（2）若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直.【变式3-1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线C:y2=4x的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；(2)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k【变式3-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，点M是（1）求证：切线PA和PB互相垂直；（2）求证：直线PM与y轴平行；（3）求△PAB面积的最小值.【变式3-3】（23-24高三下·江西景德镇·阶段练习）已知椭圆C1:x23+y22=1，抛物线C2与椭圆C1有相同的焦点，抛物线C2的顶点为原点，点P是抛物线C2的准线上任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA（1）求抛物线C2的方程及k（2）若直线AB交椭圆C1于C、D两点，S1、S2分别是△PAB、△PCD【题型4切线交点及其轨迹问题】【例4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知抛物线E：x2=2y，过点T1,1的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x轴交于点M，l2与x轴交于点N(1)证明：点P在定直线上；(2)若△PMN面积为22，求点P(3)若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标.【变式4-1】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知点Px0,y0是抛物线y2=2pxp>0上任意一点，则在点P处的切线方程为y0y=px+(1)当a=6时，设这两条切线交于点Q，求点Q的轨迹方程；(2)（ⅰ）求证：由点A，B及抛物线C0的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线C（ⅱ）对C1再重复上述过程，又得一抛物线C2，以此类推，设得到的抛物线序列为C1，C2，C3【变式4-2】（2024·广西·二模）已知抛物线C:x2=y，过点E0,2作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线(1)证明：P在定直线上；(2)若F为抛物线C的焦点，证明：∠PFA=∠PFB．【变式4-3】（2024·上海·三模）已知抛物线Γ:x2=2y的焦点为F，过点T1,1的直线l与Γ交于A、B两点．设Γ在点A、B处的切线分别为l1，l2，l1与x轴交于点M，l2与x(1)设点A横坐标为a，求切线l1的斜率，并证明FM⊥(2)证明：点P必在直线y=x−1上；(3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标．【题型5面积问题】【例5】（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直线l:y=kx−1与抛物线y2=4x交于A，B点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”A．82 B．42 C．22【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB，已知P为抛物线y2=x的准线上一点，则阿基米德三角形A．12 B．14 C．2【变式5-2】（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线E：x2=2y的焦点为F，点P是x轴下方的一点，过点P作E的两条切线l1,l2，且(1)求证：F，P，M，N四点共圆；(2)过点F作y轴的垂线l，两直线l1,l2分别交l于【变式5-3】（2024·河南·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知a=4,y,(1)求点Mx,y的轨迹Γ(2)由圆x2+y2=R2上任一点Nx0,y0处的切线方程为x0x+y0y=R2，类比其推导思想可得抛物线C:y2=2px(p>0)上任一点【题型6最值问题】【例6】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形．△PABA．p23 B．p22 C．【变式6-1】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）AB为抛物线x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2分别过A,BA．xB．底边AB的直线方程为x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面积的最小值为2p【变式6-2】（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为1的直线l1交抛物线E:x2=2pyp>0于A、B两点，线段AB(1)求抛物线E的方程；(2)设抛物线E的焦点为F，过点F的直线l2与抛物线E交于M、N两点，分别在点M、N处作抛物线E的切线，两条切线交于点P，则△PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l【变式6-3】（2024·河北·模拟预测）已知抛物线C:x2=2py(p>0)，过点P(0,2)的直线l与C交于A,B两点，当直线l与y轴垂直时，OA⊥OB(1)求C的准线方程；(2)若点A在第一象限，直线l的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T，连接TB交C于另一点为D，直线AD与y轴交于点Q，求△APQ与△ADT面积之比的最大值.一、单选题1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，顶点为O，斜率为43的直线l过点F且与抛物线C交于M,N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则A．11 B．23 C．13 D．2．（2024·青海西宁·二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（A．p22 B．p2 C．23．（23-24高二·全国·课后作业）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2pxp>0，弦AB过焦点F，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQA．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能4．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线y2=4x，过焦点的弦AB的两个端点的切线相交于点M，则下列说法正确的是（A．M点必在直线x=−2上，且以AB为直径的圆过M点B．M点必在直线x=−1上，但以ABC．M点必在直线x=−2上，但以AB为直径的圆不过M点D．M点必在直线x=−1上，且以AB5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直线l:y=kx−1与抛物线y2=4x交于A，B点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB顶点A．±1 B．±2 C．±3 D．±6．（23-24高三·云南昆明·阶段练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、B两点，M为AB的中点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1、l2相交于点P①P点必在抛物线的准线上；②AP⊥PB；③设Ax1,y1、Bx2④PF⊥AB；⑤PM平行于x轴.其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线Γ:x2=8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y=−2和x轴分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线Γ的另一个交点为Q．过点B作BC//AF交PF于点C附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为Ax1,y1，Bx2,y2，以A，B为切点的切线

定理：点P的坐标为x1推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C0,mm>0，则另一顶点P的轨迹方程为A．5−1 B．2+5 C．3+58．（2024·云南昆明·模拟预测）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点Ax1,y1,Bx2,（1）若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB=90（2）点P的坐标是x1（3）△PAB的边AB所在的直线方程为x1（4）△PAB的边AB上的中线与y轴平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）二、多选题9．（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线C:x2=8y，阿基米德三角形PAB，弦AB过C的焦点F，其中点AA．点P的纵坐标为−2 B．C的准线方程为x=−2C．若AF=8，则AB的斜率为3 D．△PAB10．（2024·湖南长沙·二模）过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线l1，l2，设l1，l2的交点为M，称△A．△AMB是直角三角形B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线C．MF是△AMB的高线D．△AMB面积的最小值为211．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点，以Ax1,y1,BA．xB．若x1=2，则AC．存在点P，使得PAD．△PAB面积的最小值为4三、填空题12．（2024高三·全国·专题练习）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为y2=4x，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为13．（24-25高二上·上海·单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的△PAB（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直线l：y=kx−1与抛物线y2=4x交于A、B两点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的顶点P的坐标为14．（23-24高三下·江西·阶段练习）圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为x2=4y，弦AB过C的焦点F，设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，则有x0=x1四、解答题15．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S=abπ，（a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：x2(1)求C的面积；(2)若直线l:x+2y−3=0交C于A,B两点，求AB．16．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称△PAB为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点P是圆Q:x2+(y+5)2=4上的动点，△PAB是抛物线Γ:

(1)求抛物线Γ的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；(3)设D是“圆边形”的抛