高中数学学业水平考试 精 品讲义及专题训练05 指数对数幂函数（教师版）

学考专题05指数对数幂函数考点归纳考点归纳指数的基本知识根式的基本性质①的定义域为,的定义域为②，定义域为③，定义域为④，定义域为⑤，定义域为指数的基本性质①零指数幂:;②负整数指数幂:③正分数指数幂:;④负分数指数幂:指数的基本计算①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算③幂的乘方运算④积的乘方运算指数函数指数函数的定义及一般形式一般地，函数，叫做指数函数指数函数的图象和性质图象定义域值域性质过定点当时，；时,当时，；时,在上是增函数在上是减函数对数的运算对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数对数的分类一般对数：底数为，，记为常用对数：底数为10，记为，即：自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：对数的性质与运算法则①两个基本对数：①，②②对数恒等式：①，②。③换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。④积的对数：；⑤商的对数：；⑥幂的对数：❶，❷，❸，❹对数函数对数函数的定义及一般形式形如：的函数叫做对数函数对数函数的图象和性质图象性质定义域：值域：当时，即过定点当时，；当时，当时，；当时，在上为增函数（5）在上为减函数真题训练真题训练一、单选题1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）计算的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据对数的性质与运算法则计算可得；【解析】解：故选：D2．（2023·广东·高三学业考试）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可.【解析】根据对数函数的性质得，解得，所以函数的定义域为.故选：C.3．（2023·广东·高三学业考试）函数的定义域是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】根据题意列出不等式求解即可.【解析】由题意得，，解得，即函数的定义域是.故选：D4．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的定义域是（

）A．（-∞，2） B．[1，2） C．[1，2] D．[1，+∞）【答案】A【分析】根据对数型函数的真数大于0即可求解.【解析】由题意得，∴．故选:A．5．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数的真数大于零建立不等式可求解.【解析】由题意得，解得，故函数的定义域是.故选：C.6．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列结论正确的是（

）A．若则 B．若，则C．若则 D．若，则【答案】A【分析】利用函数的单调性判断每个不等式是否正确.【解析】由可得，因此A正确；由可得，因此B不正确；，与大小关系不确定，因此C不正确；因不知的正负，由无法得出，因此D不正确．故选：A.7．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中，是幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数的定义辨析即可【解析】根据幂函数的形式可判断B正确，A为一次函数，C为指数函数，D为对数函数故选：B8．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数可能是对数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项.【解析】对数函数的定义域为，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.故选：A.9．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中是减函数且值域为R的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由幂函数及对数函数的图象与性质即可求解.【解析】解：对A：函数的值域为，故选项A错误；对B：函数为和上的增函数，故选项B错误；对C：函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故选项C错误；对D：由幂函数的性质知为减函数且值域为R，故选项D正确；故选：D.10．（2023秋·广东·高三统考学业考试）设，，，则，，的大小关系（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比大小.【解析】由已知得，，且，，所以，故选：A.11．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据题意，将代入到中，即可求得答案.【解析】由题意，幂函数的图象经过点，则，故选：D12．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算以及根式的含义，直接可求得答案.【解析】因为，故，故选：D13．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的图象和性质即得.【解析】由对数函数性质知为增函数，故排除BD；当时，，即函数过点，排除C.故选：A．14．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（）A．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．【解析】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．故选：D．15．（2023·广东·高二统考学业考试）下列函数中，定义域为R的函数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函数的定义域，即得.【解析】对于A，函数的定义域为，不符合题意；对于B，函数的定义域为，不符合题意；对于C，函数的定义域为，不符合题意；对于D，函数的定义域为R，符合题意.故选：D.16．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数的定义求值.【解析】，．故选：D．17．（2023秋·广东·高三统考学业考试）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，根据在上是增函数，所以，即.故选：D.18．（2023·广东·高三统考学业考试）设，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据分段函数，先求得，再求即可.【解析】因为，所以，所以，故选：B19．（2023·广东·高三学业考试）已知函数则（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】先根据分段函数求出，再根据分段函数，即可求出结果.【解析】因为，所以.故选：D.20．（2023·广东·高三学业考试）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出，，再根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【解析】，，，.故选：D.21．（2023·广东·高三学业考试）已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【解析】因为，，，因此，.故选：A.22．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知三个数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【解析】解：因为，所以，故选：D二、填空题23．（2023·广东·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则当时，.【答案】3【分析】代入点的坐标，确定幂函数即可.【解析】由题可知，则，故当时，.故答案为：.24．（2023·广东·高三学业考试）若，则.【答案】/【分析】将对数式化为指数式，由此求得的值.【解析】依题意，所以.故答案为：25．（2023·广东·高三学业考试）函数且（且）的图象必经过定点．【答案】【分析】由指数函数的性质分析定点【解析】令，得，此时故过定点26．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数，则．【答案】【分析】根据分段函数性质直接计算即可.【解析】由，则，故答案为：2．27．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝.【答案】27【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，【解析】令，得，此时，故定点，设，则，得，故，故答案为：2728．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，则的值为【答案】－3【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围．【解析】，，∴．故答案为：．三、解答题29．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数．(1)求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.【解析】（1）解：因为函数为偶函数，则，即，所以，，.（2）解：，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故.四、应用题30．（2023·广东·高三学业考试）为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？【答案】（1），；（2）从年开始，每