2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分训练.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\数学课件\\高分训练.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陈丽2022年\\2022\\课件\\二轮\\2023版创新设计二轮专题复习数学新教材通用版（鲁津京……）\\教师word文档\\板块三立体几何与空间向量\\高分训练.tif"INET2025年高考数学一轮复习-立体几何中的动点及其轨迹问题-专项训练一、基本技能练1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为()A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点.PE⊥A1C于E，且PA＝PE，则点P的轨迹是()A.线段 B.圆弧C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分3.如图，圆锥的底面直径AB＝2，母线VA＝3，点C在母线VB上，且VC＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A.eq\r(13) B.eq\r(7)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(3\r(3),2)4.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为()A.4π B.2πC.π D.eq\f(π,2)5.已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，eq\r(2)，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))6.点P为棱长是2eq\r(5)的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为()A.π B.2πC.4π D.2eq\r(5)π7.已知正三棱锥P－ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为()A.eq\f(3π,4) B.πC.2π D.3π8.如图，三角形PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分9.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，点M，N分别为线段AB′，AC上的动点，点T在平面BCC′B′内，则MT＋NT的最小值是()A.eq\r(2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(6),2) D.110.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝eq\r(2)，AA′＝eq\r(3)，上底面A′B′C′D′的中心为O′，当点E在线段CC′上从C移动到C′时，点O′在平面BDE上的射影G的轨迹长度为()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(\r(3)π,6)11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).12.如图，P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1表面上的动点，且AP＝eq\r(2)，则动点P的轨迹的长度为________.二、创新拓展练13.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)，若θ1＝θ2，则三棱锥P－BB1C1体积的最小值是()A.eq\f(9,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,4)14.(多选)如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为A1D1的中点，F为CC1上的一个动点，设由点A，E，F构成的平面为α，则()A.平面α截正方体的截面可能是三角形B.当点F与点C1重合时，平面α截正方体的截面面积为2eq\r(6)C.当点D到平面α的距离的最大值为eq\f(2\r(6),3)D.当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形15.已知面积为2eq\r(3)的菱形ABCD如图①所示，其中AC＝2，E是线段AD的中点.现沿AC折起，使得点D到达点S的位置，此时二面角S－AC－B的大小为120°，连接SB，得到三棱锥S－ABC如图②所示，则三棱锥S－ABC的体积为________；若点F在三棱锥的表面运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹长度为________.16.如图，三棱锥S－ABC的所有棱长均为1，SH⊥底面ABC，点M，N在直线SH上，且MN＝eq\f(\r(3),3)，若动点P在底面ABC内，且△PMN的面积为eq\f(\r(2),12)，则动点P的轨迹长度为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离，所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.2.答案A解析由题意知，△A1AP≌△A1EP，则点P为在线段AE的中垂面上运动，从而与底面ABCD的交线为线段.3.答案B解析在圆锥侧面的展开图中，AA′＝2π，所以∠AVA′＝eq\f(\o(AA′,\s\up8(︵)),VA)＝eq\f(2,3)π，所以∠AVB＝eq\f(1,2)∠AVA′＝eq\f(π,3)，由余弦定理得AC2＝VA2＋VC2－2VA·VC·cos∠AVB＝32＋12－2×3×1×eq\f(1,2)＝7，所以AC＝eq\r(7).所以这只蚂蚁爬行的最短距离是eq\r(7)，故选B.4.答案D解析易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取线段MN的中点P，则DP＝eq\f(1,2)MN＝1，所以点P的轨迹是以D为球心，1为半径的eq\f(1,8)球面，故S＝eq\f(1,8)×4π×12＝eq\f(π,2).5.答案B解析根据题意，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))为x轴正方向，eq\o(DC,\s\up6(→))为y轴正方向，eq\o(DD1,\s\up6(→))为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1的中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为eq\r(12＋12＋（\r(2)）2)＝2，所以半径r＝1，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1，由P在长方体表面上运动，所以|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即|eq\o(PO,\s\up6(→))|2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))，即eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)).6.答案C解析根据题意知，该正方体的内切球半径为r＝eq\r(5)，如图，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CN为DP在平面B1C1CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2eq\r(5)，∴O到过D，C，N的平面的距离为1，∴截面圆的半径为eq\r(（\r(5)）2－1)＝2，∴点P的轨迹的长度为2π×2＝4π.7.答案B解析设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为△ABC的中心，且BO＝eq\f(2,3)×6×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，故PO＝eq\r(36－12)＝2eq\r(6).因为PQ＝5，故OQ＝1，故Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而△ABC内切圆的圆心为O，半径为eq\f(2×\f(\r(3),4)×36,3×6)＝eq\r(3)>1，故Q的轨迹圆在△ABC内部，故其面积为π.8.答案A解析由条件易得AD∥BC，且∠APD＝∠CPB，AD＝4，BC＝8，可得tan∠APD＝eq\f(AD,PA)＝eq\f(CB,PB)＝tan∠CPB，即eq\f(PB,PA)＝eq\f(CB,AD)＝2，在平面PAB内以AB所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，则A(－3，0)，B(3，0)，设P(x，y)，则有eq\f(PB,PA)＝eq\r(\f(（x－3）2＋y2,（x＋3）2＋y2))＝2，整理可得x2＋y2＋10x＋9＝0(x≠0).由于点P不在直线AB上，故此轨迹为圆的一部分，故答案选A.9.答案B解析A点关于BC的对称点为E，M关于BB′的对称点为M′，记d为直线EB′与AC之间的距离，则MT＋NT＝M′T＋NT≥M′N≥d，由B′E∥D′C，d为E到平面ACD′的距离，因为VD′－ACE＝eq\f(1,3)×1×S△ACE＝eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3)，而VD′－ACE＝VE－ACD′＝eq\f(1,3)×d×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),6)d＝eq\f(1,3)，故d＝eq\f(2\r(3),3).10.答案B解析如图，以CA，CC′分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则有C(0，0)，O(1，0)，O′(1，eq\r(3))，设G(x，y)，由O′G⊥OG，可得eq\f(y,x－1)·eq\f(y－\r(3),x－1)＝－1，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋(x－1)2＝eq\f(3,4)，所以点O′在平面BDE上的射影G的轨迹是以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))为圆心，半径为eq\f(\r(3),2)的eq\o(OG,\s\up8(︵)).因为tan∠GOF＝eq\f(O′C′,OO′)＝eq\f(\r(3),3)，所以O′G＝O′O·sin∠GOF＝eq\f(\r(3),2)，所以△O′GF是等边三角形，即∠GFO＝eq\f(2π,3)，所以圆弧OG的长l＝eq\f(2π,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)π,3).11.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)解析连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.12.答案eq\f(3π,2)解析由已知AC＝AB1＝AD1＝eq\r(2)，在平面BC1，平面A1C1中，BP＝A1P＝DP＝1，所以动点P的轨迹是在平面BC1，平面A1C1，平面DC1内分别以B，D，A1为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为eq\f(π,2)×3＝eq\f(3π,2).二、创新拓展练13.答案C解析以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体的棱长为3，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(3,2)))，D1(0，0，3)，设P(x，y，0)(x≥0，y≥0)，则eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－x，－y，\f(3,2)))，eq\o(PD1,\s\up6(→))＝(－x，－y，3).因为θ1＝θ2，平面ABCD的一个法向量z＝(0，0，1)，所以eq\f(|\o(PE,\s\up6(→))·z|,|\o(PE,\s\up6(→))|·|z|)＝eq\f(|\o(PD1,\s\up6(→))·z|,|\o(PD1,\s\up6(→))|·|z|)，得eq\f(\f(3,2),\r(（3－x）2＋y2＋\f(9,4)))＝eq\f(3,\r(x2＋y2＋9))，整理得x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则动点P的轨迹为圆的一部分，所以点P到平面BB1C1的最小距离为1，所以三棱锥P－BB1C1体积的最小值是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×1＝eq\f(3,2).14.答案BCD解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P，连接PF并延长与y轴交于点M，则平面α由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知A错误.当点F与点C1重合时，截面是一个边长为eq\r(5)的菱形，该菱形的两条对角线长度分别AC1＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)和eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，则此时截面的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(2)＝2eq\r(6).当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形，B，D正确.D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，4)，设点M的坐标为(0，t，0)(t∈[2，4])，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，t，0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2，0，－4)，则可知点P到直线AM的距离为d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up6(→))·\o(AM,\s\up6(→)),|\o(AM,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(20t2＋64,4＋t2))，S△APM＝eq\f(1,2)eq\r(t2＋4)·d＝eq\r(5t2＋16).S△PAD＝eq\f(1,2)×2×4＝4，设点D到平面α的距离为h，利用等体积法VD－APM＝VM－PAD，即eq\f(1,3)·S△APM·h＝eq\f(1,3)·S△PAD·t，可得h＝eq\f(4t,\r(5t2＋16))，则h＝eq\f(4,\r(5＋\f(16,t2)))，由h＝eq\f(4,\r(5＋\f(16,t2)))在t∈[2，4]上单调递增，所以当t＝4时，h取到最大值为eq\f(2\r(6),3).故选BCD.15.答案eq\f(\r(3),2)eq\r(3)＋eq\f(3,2)解析依题意，eq\f(1,2)AC·BD＝BD＝2eq\r