2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的定点、定值问题-专项训练【含解析】

课时过关检测(五十五)圆锥曲线中的定点、定值问题【原卷版】1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为C的右顶点和上顶点，若△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍，且eq\o(F1A,\s\up7(→))·eq\o(F1B,\s\up7(→))＝3．(1)求C的标准方程；(2)若过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，点P在直线x＝6上，且NP与x轴平行，求证：直线MP恒过定点．2．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)(m＞0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5．(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB．记点A，B到直线y＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．3．△ABC中，已知B(－eq\r(2)，0)，C(eq\r(2)，0)，AD⊥BC交BC于点D，H为AD中点，满足BH⊥AC，点H的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))作直线l交曲线C于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点．4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，eq\o(QM,\s\up7(→))＝λeq\o(QO,\s\up7(→))，eq\o(QN,\s\up7(→))＝μeq\o(QO,\s\up7(→))，求证：eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)为定值．课时过关检测(五十五)圆锥曲线中的定点、定值问题【解析版】1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为C的右顶点和上顶点，若△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍，且eq\o(F1A,\s\up7(→))·eq\o(F1B,\s\up7(→))＝3．(1)求C的标准方程；(2)若过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，点P在直线x＝6上，且NP与x轴平行，求证：直线MP恒过定点．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)，∵点A，B分别为C的右顶点和上顶点，∴A(a,0)，B(0，b)，则eq\o(F1A,\s\up7(→))＝(a＋c,0)，eq\o(F1B,\s\up7(→))＝(c，b)．又△ABF1的面积是△ABF2的面积的3倍，且eq\o(F1A,\s\up7(→))·eq\o(F1B,\s\up7(→))＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3a－c，,ca＋c＝3，))解得a＝2，c＝1，则b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，∴C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)证明：设直线MN的方程为x＝my＋eq\f(2,3)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，N(x2，y2)，则P(6，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my＋\f(2,3)，))消去x，整理得(3m2＋4)y2＋4my－eq\f(32,3)＝0，Δ>0恒成立，由根与系数的关系得，y1＋y2＝eq\f(－4m,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(－\f(32,3),3m2＋4)，∴my1y2＝eq\f(8,3)(y1＋y2)．又直线MP的方程为y－y2＝eq\f(y1－y2,x1－6)(x－6)，令y＝0，得x－6＝eq\f(y2x1－6,y2－y1)．∵x1＝my1＋eq\f(2,3)，∴x－6＝eq\f(y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1－\f(16,3))),y2－y1)＝eq\f(my1y2－\f(16,3)y2,y2－y1)＝eq\f(\f(8,3)y1＋y2－\f(16,3)y2,y2－y1)＝－eq\f(8,3)，则x＝eq\f(10,3)，故直线MP恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，0))．2．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)(m＞0)是抛物线C上一点，且|PF|＝5．(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB．记点A，B到直线y＝－4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．解：(1)由抛物线的定义知|PF|＝eq\f(p,2)＋4＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．(2)证明：由P(4，m)(m＞0)是抛物线C上一点，得m＝4，易知直线PA斜率存在且不为0，设直线PA的方程为x－4＝t(y－4)(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝ty－4，,y2＝4x，))消去x得y2－4ty＋16(t－1)＝0，Δ＝16(t－2)2＞0，所以t≠2，所以y1＝4t－4，所以a＝|y1－(－4)|＝|4t|．因为PA⊥PB，所以用－eq\f(1,t)代替t(t≠0，t≠2，－eq\f(1,t)≠2)，得y2＝－eq\f(4,t)－4，b＝|y2－(－4)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,t)))，所以ab＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4t×\f(4,t)))＝16，即ab为定值．3．△ABC中，已知B(－eq\r(2)，0)，C(eq\r(2)，0)，AD⊥BC交BC于点D，H为AD中点，满足BH⊥AC，点H的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))作直线l交曲线C于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点．解：(1)设H(x，y)，则A(x,2y)，eq\o(BH,\s\up7(→))＝(x＋eq\r(2)，y)，eq\o(CA,\s\up7(→))＝(x－eq\r(2)，2y)，因为BH⊥AC，所以eq\o(BH,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，即(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))＋2y2＝0，整理得x2＋2y2＝2，即eq\f(x2,2)＋y2＝1．因为在△ABC中，三顶点不可能共线，所以y≠0，故曲线C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1(y≠0)．(2)证明：若直线l斜率不存在，可得圆：x2＋y2＝1，若直线l斜率为0，可得圆：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))2＝eq\f(16,9)．两个圆的公共点为N(0，－1)，若直线l斜率存在且不为0时，设其方程为y＝kx＋eq\f(1,3)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,3)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))可得(2k2＋1)x2＋eq\f(4,3)kx－eq\f(16,9)＝0，Δ＞0恒成立，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(4k,6k2＋3)，,x1x2＝－\f(16,18k2＋9)，))eq\o(NP,\s\up7(→))·eq\o(NQ,\s\up7(→))＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝x1x2＋(y1＋1)·(y2＋1)＝x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(4,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(4,3)))＝(k2＋1)x1x2＋eq\f(4,3)k(x1＋x2)＋eq\f(16,9)＝eq\f(－16k2＋1,18k2＋9)＋eq\f(\f(4,3)k－4k,6k2＋3)＋eq\f(16,9)＝eq\f(－16k2－16－16k2＋\f(16,9)18k2＋9,18k2＋9)＝0，即NP⊥NQ，所以以PQ为直径的圆经过定点N(0，－1)．综上所述，以PQ为直径的圆恒过定点N(0，－1)．4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，eq\o(QM,\s\up7(→))＝λeq\o(QO,\s\up7(→))，eq\o(QN,\s\up7(→))＝μeq\o(QO,\s\up7(→))，求证：eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)为定值．解：(1)因为抛物线y2＝2px过点P(1,2)，所以2p＝4，即p＝2．故抛物线C的方程为y2＝4x．由题意知，直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋1，))得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3．所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－eq\f(2k－4,k2)，x1x2＝eq\f(1,k2)．直线PA的方程为y－2＝eq\f(y1－2,x1－1)(x－1)．令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝eq\f(－y1＋2,x1－1)＋2＝eq\f(－kx1＋1,x1－1)＋2．同理得点N的纵坐标为yN＝eq\f(－kx2＋1,x2－1)＋2．由eq\o(QM,\s\up7(→))＝λeq\o(QO,\s\up7(→))，eq\o(QN,\s\up7(→))＝μeq\o(Q