2025高考数学一轮复习- 离散型随机变量的数字特征-专项训练【含解析】

课时过关检测(六十二)离散型随机变量的数字特征【原卷版】1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，若n1＝2，n2＝3，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝()ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2A．1－eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1－eq\r(2) D．1＋eq\r(2)3．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)4．(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是()A．E(X)是反映随机变量的平均取值B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)C．E(aX＋b)＝aE(X)＋bD．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b5．(多选)设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下表所示，则当p在(0,1)内增大时，下列说法正确的是()ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A．E(ξ)减小 B．E(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小6．已知随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,3)ab若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝________．7．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是________．8．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．9．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差．10．如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为()A．eq\f(126,125) B．eq\f(7,5)C．eq\f(168,125) D．eq\f(6,5)11．(多选)eq\f(1,4)<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()X012Pp－p21－pp2A．P(X＝2)的值最大B．P(X＝0)<P(X＝1)C．E(X)随着p的增大而减小D．E(X)随着p的增大而增大12．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是eq\f(2,5)；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9)，则白球的个数为________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________．13．某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15)．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．14．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当eq\f(10,a)＋eq\f(1,9b)取最小值时，c的值为________．15．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．(1)求方差D(ξ)的最大值；(2)求eq\f(2Dξ－1,Eξ)的最大值．课时过关检测(六十二)离散型随机变量的数字特征【解析版】1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，若n1＝2，n2＝3，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)解析：A抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，n1＝2，n2＝3，∵n1＝2，∴ξ1的分布列为ξ112Peq\f(1,2)eq\f(1,2)E(ξ1)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，D(ξ1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∵n2＝3，∴ξ2的分布列为ξ2123Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)E(ξ2)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)，D(ξ2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,4)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,4)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16)．∴E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)．故选A．2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝()ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2A．1－eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1－eq\r(2) D．1＋eq\r(2)解析：C由离散型随机变量分布列的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤1－2q≤1，,q2≤1，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2)，∴E(ξ)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－eq\f(1,2)＝1－eq\r(2)．3．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)解析：B因为取出小球上的数字X的数学期望是2，且个数依次成等差数列，设标有数字1,2,3的小球依次为a－d，a，a＋d个，则P(X＝1)＝eq\f(a－d,3a)，P(X＝2)＝eq\f(a,3a)＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(a＋d,3a)，所以E(X)＝eq\f(a－d,3a)＋eq\f(2,3)＋eq\f(a＋d,3a)×3＝2⇒d＝0，a∈N*．故袋中标有数字1,2,3的小球个数相同．不妨设标有数字1,2,3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球的概率皆为eq\f(1,3)，方差为eq\f(1,3)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,3)×(3－2)2＝eq\f(2,3)，故选B．4．(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是()A．E(X)是反映随机变量的平均取值B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)C．E(aX＋b)＝aE(X)＋bD．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b解析：ABC离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即A、B正确；由期望和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误．故选A、B、C．5．(多选)设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下表所示，则当p在(0,1)内增大时，下列说法正确的是()ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A．E(ξ)减小 B．E(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小解析：BD由分布列可得：E(ξ)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝p＋eq\f(1,2)，所以当p在(0,1)内增大时，E(ξ)增大，故选项B正确；D(ξ)＝eq\f(1－p,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p－\f(1,2)))2＋eq\f(p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－p－\f(1,2)))2＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，所以D(ξ)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，先增后减，故选项D正确，故选B、D．6．已知随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,3)ab若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝________．解析：由概率分布列的性质知a＋b＝eq\f(2,3)．E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝a＋b＝eq\f(2,3)．答案：eq\f(2,3)7．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是________．解析：依题意，X的所有可能值是0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)，所以X的数学期望是eq\f(3,5)．答案：eq\f(3,5)8．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．解析：ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)．随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝1)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，所以E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1．答案：eq\f(1,3)19．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差．解：(1)由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人．所以P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,1)C\o\al(2,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(40,210)＝eq\f(4,21)．(2)X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(0,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,7)C\o\al(1,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(3,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,30)，所以X的分布列为X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)，所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,5)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,5)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,5)))2×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(6,5)))2×eq\f(1,30)＝eq\f(14,25)．10．如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为()A．eq\f(126,125) B．eq\f(7,5)C．eq\f(168,125) D．eq\f(6,5)解析：D根据题意正方体内部有3×3×3＝27个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有6×9＝54个，仅有两个面涂上颜色的有3×12＝36个，有三个面涂上共有8个，故随机变量X的可能取值为0,1,2,3．于是P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)．所以期望为E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5)．故选D．11．(多选)eq\f(1,4)<p<1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有()X012Pp－p21－pp2A．P(X＝2)的值最大B．P(X＝0)<P(X＝1)C．E(X)随着p的增大而减小D．E(X)随着p的增大而增大解析：BD当p＝eq\f(1,2)时，P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>eq\f(1,4)，A错误；因为eq\f(1,4)<p<1，所以p－p2＝p(1－p)<1－p，即P(X＝0)<P(X＝1)，B正确；E(X)＝(1－p)＋2p2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,4)))2＋eq\f(7,8)，因为eq\f(1,4)<p<1，所以E(X)随着p的增大而增大，C错误，D正确，故选B、D．12．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是eq\f(2,5)；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9)，则白球的个数为________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________．解析：设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9)，则eq\f(C\o\al(2,y)＋C\o\al(1,y)C\o\al(1,10－y),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,9)，化简得y2－19y＋70＝0，解得y＝5或y＝14(舍)，由题设知ξ的所有取值是0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)．则随机变量ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)所以E(ξ)＝eq\f(5,12)＋eq\f(5,12)×2＋eq\f(1,12)×3＝eq\f(3,2)．答案：5eq\f(3,2)13．某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15)．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200(万元)，D(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000．若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300,0．则X2的分布列为X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200(万元)，D(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000．∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．14．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当eq\f(1