高考数学一轮总复习 13.6 离散型随机变量的均值与方差题组训练 理 苏教版

第6讲离散型随机变量的均值与方差基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·广东卷改编)已知离散型随机变量X的分布列为X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)则X的数学期望E(X)＝________.解析E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为________.X4a9P0.50.1b解析由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案73．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是________．解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案22.44．若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则E(X)的最大值为________．解析由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，则0≤p≤eq\f(1,2)，E(X)＝p＋1≤eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是________．解析X的可能取值为1,2,3，∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，由E(X)>1.75，即p2－3p＋3>1.75，得p<eq\f(1,2)或p>eq\f(5,2)(舍)．∴0<p<eq\f(1,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))6．(·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为eq\f(1,4)，从中取3次(做3次试验)X为取得次品(成功)的次数，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴V(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).答案eq\f(9,16)7．马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表：x123P(X＝x)？！？请小牛同学计算X的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________.解析设P(X＝1)＝x，则P(X＝3)＝x，由分布列性质，∴P(X＝2)＝1－2x，因此E(X)＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.答案28．(·青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的数学期望为________元．解析由概率分布性质a1＋2a1＋4a∴a1＝eq\f(1,7)，从而2a1＝eq\f(2,7)，4a1＝eq\f(4,7).因此获得资金X的分布列为X700560420Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(4,7)∴E(X)＝700×eq\f(1,7)＋560×eq\f(2,7)＋420×eq\f(4,7)＝500(元)答案500二、解答题9．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是eq\f(1,3).(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解(1)P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为eq\f(4,27).(2)6场胜3场的情况有Ceq\o\al(3,6)种，∴P＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝20×eq\f(1,27)×eq\f(8,27)＝eq\f(160,729).所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为eq\f(160,729).(3)由于X服从二项分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，V(X)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).所以在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为eq\f(4,3).10．(·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、数学期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，V(Y)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.V(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由V(Y)＝a2V(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即为所求．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为________．解析X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案2.3762．(·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析记不发芽的种子数为Y，则Y～B(1000,0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案2003．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析由题意知P(X＝0)＝eq\f(1,3)(1－p)2＝eq\f(1,12)，∴p＝eq\f(1,2).随机变量X的分布列为：X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案eq\f(5,3)二、解答题4．如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．解(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.93＝0