山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期期末数学模拟试题一（含解析）

高一数学期末模拟一2024.6.22一、单选题1．某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，262．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位是（

）A．90 B．90.5 C．91 D．91.53．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.事件A1=“第一次得到的数字是2”；事件A2=“第二次得到的数字是奇数”；事件A3=“两次得到数字的乘积是奇数”；事件AA．事件A1和事件A2对立B．事件A2和事件A4互斥C．事件A1和事件A4．如图，在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，直线MC与平面ABC所成夹角为60∘，F是侧棱MC的中点，则异面直线MB与A．33 B．34 C．1335．在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（

）A．甲组中位数为3，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2C．丙组平均数为2，方差为3 D．丁组平均数为2，第85百分位数为76．如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P②二面角P-③若Q是对角线AC1上一点，则PQ+④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C其中真命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是12，则甲最终获胜的概率是（

）A．116 B．716 C．388．如图所示为鳖臑V-ABC，VA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F分别在棱VB，VC上，且EF⊥VC，AE⊥A．163πB．42πC．二、多选题9．已知m，n，l是空间中三条不同直线，α，β,，γ是空间中三个不同的平面，则下列命题中正确的是（

A．若m⊂α，m∥β，nB．若α∩β=m，α∩γC．若α⊥β，α⊥γD．若α∩β=m，α10.已知数据1：x1，x2，⋯，xn，数据2：2x1-1，2x2A．平均数 B．极差 C．中位数 D．标准差11．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90°，AA1=CD=2A．Ω是梯形B．Ω是菱形C．Ω的面积为3D．以Ω为底面，C为顶点的棱锥体积是1三、填空题12．为了解某大学射击社团的射击水平，分析组用分层抽样的方法抽取了6名老学员和2名新学员的某次射击成绩进行分析，经测算，6名老学员的射击成绩样本均值为8（单位：环），方差为53（单位：环2）；2名新学员的射击成绩分别为3环和5环，则抽取的这8名学员的射击成绩的方差为环213．甲､乙､丙三人参加一次面试，他们通过面试的概率分别为23,314．在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB,△AFE和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P-AEF，如图乙所示，则三棱锥P-AEF外接球的体积是四、解答题15．今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示：(1)求实数a的值，并求70分是成绩的多少百分位数？(2)试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；(3)从这次健康知识竞赛成绩落在区间90,100内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间90,100内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率．16．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC=2，E是BC的中点，AE∩BD(1)求证：CD⊥平面B1(2)求B1E与平面(3)在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B117．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率；（2）求甲取到白球的概率.18．如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=62，点E为线段AB上一点，AE=1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B'位置，使得点B'在平面AECD上的射影在线段(1)在图2中，线段B'C上是否存在点F，使得EF∥平面B'(2)在图2中求二面角B'19．如图，在三棱台ABC-DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=（1）证明：AC⊥（2）当θ为何值时，直线AD与平面BEFC所成角的正弦值为21高一数学期末模拟一答案1．A【详解】根据分层抽样原理知，72×450810=40，72×3608102．B【详解】把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位是90+912=90.5.3．D【详解】对于A，事件A2=“第二次得到的数字是奇数”=“第二次得到的数字是1，3，5”，所以事件A1和事件A2互斥但不对立；对于B，事件A2发生时，即“第二次得到的数字是1，3，5”，若A4=“两次得到数字的和是6”也发生，则此时只需“第一次得到的数字是5，3，1”，即事件A2发生时，事件A4也有可能发生，故B错误；对于C，由题意PA1=16，

“两次得到数字的和是6”可能有：1,5,2,4,3,3,4,2,5,1五种情况，即PA4=56×6=4．D【详解】取BC的中点E，连接EF、AE，如下图所示：因为MA⊥平面ABC，则直线MC与平面ABC所成夹角为∠因为AB、AC⊂平面ABC，则AM⊥AB又因为AC=2，且tan∠ACM故MB=AM2+AB2=12+4=4，同理可得MC=AM2+AC2=12+4=4，因为E、F分别为BC、MC的中点，故EF//由余弦定理可得cos∠AFE=5．C【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误；B选项，假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误；C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为x1,x2,⋯,x10若x10=8，则x10-22=36>30，不合要求，故x10≤7，所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确；D选项，8500×10=8.5，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数，即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8，满足平均数为2，第85百分位数为6．C【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，B1C⊥平面ABC1故B1C⊥PC1，异面直线PC1与直线BC1的所成的角为定值，①正确；对于②，平面PBC对于③，将平面ACC1沿直线AC1翻折到平面ABC1D1内，平面图如下，过C点做CP⊥AD1，CP∩AC1=Q，CP∩BC1=E,此时，PQ+QC对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中易证A1C⊥平面BDC1，设AC∩BD=O，则∠A1OC1即为二面角A1-BD-C1的平面角，又正方体边长为1，故A1C1=2,AO=OC=22，则A1O=C1O=62,由余弦定理得7．D【详解】设甲失败的事件为A,乙失败的事件为B,丙失败的事件为C,甲最终获胜事件为N，则甲最终获胜的概率为PN=P8．C【详解】因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又AB⊥BC，VA∩AB=A，VA,AB⊂平面VAB，所以BC⊥平面VAB，AE⊂平面VAB，所以BC⊥AE，又AE⊥VB又AE⊥平面VBC，AE⊥VE，所以VA即为三棱锥V-AEF外接球的直径，所以三棱锥V-AEF外接球的半径9．BC【详解】对于选项A：在正方体中，BC⊂平面ABCD，BC∥平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，A1D1∥平面ABCD，满足条件，但平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，故A错误；对于选项D根据线面平行的性质定理可得m∥l，故B正确；对于选项C：若α⊥β，则存在异于m的直线l⊂β，使得l⊥α，因为α⊥γ，则l//γ10.AC【详解】设数据1：x1，x2，⋯，xn，的均值为x，标准差为s，中位数为t，极差为R=xmax-xmin则数据2：2x1-1，2x2-1，⋯，2xn-1，的均值为2x-1，故A错误，数据2：2x1-1，2x211．BC【详解】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取C1D1的中点G，连接A1G,FG，显然四边形A1B1C1D1是直角梯形，有C1G//A1B1,C1G=1=A1B1，则四边形A1B1C1G是平行四边形，于是A1G//B1C1,A1G=B1C1，在矩形BCC1B1中，E，

12．92/4.5【详解】记6名老学员射击环数分别为x1,x2,x3,x4,x5,

13．2960【详解】三人中恰有两人通过面试，可能情况为甲和乙通过、丙未通过；甲和丙通过、乙未通过；乙和丙通过、甲未通过.根据事件互斥性可知所求概率为23×14．86ππ,6π【详解】对于第一空，由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2，2，4的长方体，如图所示，三棱锥P所以外接球的直径2R2=所以三棱锥P−AEF外接球的体积为V=对于第二空，过点M的平面截三棱锥P−AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为πR2=π62=6此时截面圆半径r=R2-OM2=R2-MN22=6-515．(1)a=0.005；70分是成绩的45百分位数(2)71分(3)35．【详解】（1）10×a+3a+4a+5a+6a+a=1，解得a=0.005（3）这次知识竞赛成绩落在区间90,100内的教工有120×0.05=6名．记“至少有一个男性教工被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性教工为1，2号，则样本空间Ω{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}，所以PA=91516．(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，B1PB1C=12.【详解】(1)因为AD//BC，E是BC的中点，所以AB=AD=BE=12BC=2，故四边形ABED是菱形，从而AE⊥BD，所以△BAE沿着AE翻折成△B1AE后，AE⊥B1M，AE⊥DM,又因为B1M∩DM=M，所以AE⊥平面B1MD，由题意，易知AD//(3)假设线段B1C上是存在点P，使得MP//平面B1AD，过点P作PQ//CD交B1D于Q，连结MP，AQ，如下图：所以AM//CD//PQ，所以A，M，P，Q四点共面，又因为MP//平面B1AD，所以MP//AQ，所以四边形AMPQ17．（1）P(A)=27；（2）P(B)=2235【详解】（1）设事件A（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件i=1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：所以P18．(1)存在，B'FB'C=14(2)60°【详解】（1）在B'C上取点F，使得B'FB'C=14，过F作CD的平行线交B'D于M点，连接EF，AM，因为MF∥CD且MFCD=B'FB（2）如图，记点B'在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接B'N，因为CE⊥ON，CE⊥B'O，ON∩B'O=O，ON，B'O⊂平面B'ON，所以CE⊥平面B'ON，又B'N⊂平面B'ON，所以CE⊥B'N(1)证明见解析；(2)2π（1）证明：取AC的中点M，连接NM，BM，因为AD=DF=FC=1,则AC⊥BM