2024年广东省广州市仲元中学初三一模数学试题含答案解析

试题PAGE1试题试题PAGE2试题2024年广东省广州市仲元中学年中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，比小的数是（

）A．0 B． C． D．3【答案】C【分析】根据大于0的数是正数，而负数小于0，排除A、D，而-1>-2，排除B，而-3<-2，从而可得答案．【详解】根据正负数的定义，可知-2<0，-2<3，故A、D错误；而-2<-1，B错误；-3<-2，C正确；故选C．【点睛】本题目考查有理数的大小比较，较容易，熟练掌握有理数的大小比较方法是顺利解题的关键．2．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了异分母分式的加法，先通分，再计算加法即可．【详解】解：，故选：A．3．年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．【详解】、不是中心对称图形，该选项不符合题意；、是中心对称图形，该选项符合题意；、不是中心对称图形，该选项不符合题意；、不是中心对称图形，该选项不符合题意；故选：．4．如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：是有理数，，，，由图可知，点表示的数为无理数，，点表示的数为无理数为，故选：D．5．点到直线的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离公式计算即可得出答案．【详解】解：直线平行于轴，点到直线的距离为，故选：C．6．如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，的平分线分别交边于点，，，，，，，，故选：B．7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此得出，结合，计算即可得出答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，实数的最小整数值为，故选：B．8．如图，某办公区东、西两栋办公楼的高度均为．下午时，东楼二层离地面的阳台、西楼的楼顶与太阳恰好在一条直线上，太阳光线与该阳台所在水平线所成的角是，则这两栋办公楼之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图，由题意可知，，在中，，∴，∴这两栋办公楼之间的距离为，故选：．9．如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种，∴小灯泡发光的概率为，故选：．10．已知抛物线与轴交于点，其中为常数，则该抛物线顶点的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意得出抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式可写成，再求出当时，的值即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式可写成，当时，，该抛物线顶点的纵坐标为，故选：D．二、填空题11．单项式的次数是【答案】3【分析】根据单项式次数的定义，即所含字母的指数和为单项式的次数，即可解答．【详解】解：单项式的次数是：，故答案为：．【点睛】本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键．12．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为．【答案】【分析】此题考查了位似变换，由位似比得到相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，∴，∵位似比，∴相似比，∴，即，∴，故答案为：．13．已知点在双曲线上，若，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出，求解即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．【详解】解：点在双曲线上，且，，解得：，故答案为：．14．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为．【答案】【分析】本题考查了图形的规律型问题，根据图形找到点的数量的变化规律即可求解，根据已知图形找到点的数量的变化规律是解题的关键．【详解】解：第个图有个点；第个图有个点；第个图有个点；第个图有个点；；∴第个图有个点；故答案为：．15．如图是相同的边长为的菱形组成的网格，已知，点均在小菱形的格点（网格线的交点）上，且点在上，则的长为．【答案】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，先根据网格找到圆心的位置，求出的半径及所对圆心角的度数，再利用弧长公式计算即可求解，根据网格找到圆心的位置是解题的关键．【详解】解：如图，取格点，连接，由网格可得，，，，∵，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，，∴，，∴点为所作圆的圆心，半径为，∴的长为，故答案为：．三、解答题16．计算：．【答案】【分析】本题考查了立方根、绝对值、特殊角的三角函数值，先计算立方根、绝对值、特殊角的三角函数值，再计算加减即可．【详解】解：．17．解不等式组：【答案】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】解：，解得，，解得，，∴不等式组的解集为．18．2024年3月12日，某校组织九年级300名学生开展植树活动，活动结束后，随机抽查了若干名学生每人的植树数量，将统计结果分成四种类型：A．3棵，B．4棵，C．5棵，D．6棵，并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)请补全条形统计图；(2)被抽查学生每人植树数量的中位数是棵；(3)估计九年级300名学生共植树多少棵．【答案】(1)见解析(2)(3)估计九年级300名学生共植树棵【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，补全条形统计图，中位数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）先求出抽取的学生的总人数，再求出类型的人数，补全统计图即可；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）先求出被调查的学生每人植树量的平均数，再乘以即可得出答案．【详解】（1）解：抽取的学生的总人数为：（人），类型的人数为：（人），补全条形统计图如图所示：（2）解：抽取的学生的总人数为，将植树数量按从小到大排列，处在最中间的数是第个数为，被抽查学生每人植树数量的中位数是棵，故答案为：；（3）解：被调查的学生每人植树量的平均数是：，估计九年级300名学生共植树（棵），答：估计九年级300名学生共植树棵．19．如图，在菱形中，对角线相交于点．(1)尺规作图：在菱形的边上方找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)判断四边形的形状，并给出证明．【答案】(1)作图见解析；(2)四边形是矩形，证明见解析．【分析】（）作，再在射线上截取，连接，因为四边形为菱形，所以，，因为，可得，得到，又，故可得，即点即为所求；（）由菱形的性质可得，，进而可推导出，，，得到四边形是平行四边形，即可得到四边形是矩形；本题考查了平行线的作法，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．【详解】（1）解：如图，点即为所求；（2）解：四边形是矩形．证明：∵四边形为菱形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．20．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元．(1)求甲旅行社一次最多能接待的人数；(2)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过元，试求每批组织人数的合理范围．【答案】(1)人；(2)．【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解；（）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解；本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元，∵，∴，依题意得，，解得，答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人；（2）解：当时，；解得；当时，，解得；∴每批组织人数的合理范围为．21．如图，是等边三角形的外接圆，点为劣弧上一点，连接，过点作的平行线交的延长线于点．(1)求证：平分；(2)求证：是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理、三角形外接圆的性质、切线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由等边三角形的性质可得，从而得出，再由圆周角定理得出，即可得证；（2）连接，延长交于，由是等边三角形的外接圆，得出，由平行线的性质得出，即可得证．【详解】（1）证明：是等边三角形，，，，平分；（2）证明：如图，连接，延长交于，是等边三角形的外接圆，是三角形三边的垂直平分线的交点，垂直平分，，，，为半径，是的切线．22．综合与实践主题：装饰锥形草帽．素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸．步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形．步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽．计算与探究：（）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；（）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系：．【答案】（）；（）．【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解；（）设底面圆的半径为，则，由即可求解；本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键．【详解】解：（）设底面圆的半径为，∵，，∴，∵，∴，∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形，∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为；（）∵设底面圆的半径为，则，∵，∴，∴，故答案为：．23．课本再现我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于．我们是通过度量或剪拼得出这一结论的，图（1）、（2）分别是两位同学拼合的图形．定理证明（1）请你证明“三角形的内角和是”．已知：（如图（3））．求证：．深入探究（2）三角形的内角和是，那么四边形（如图（4））的内角和是多少度呢？请你证明你的结论．结论应用（3）如图（5），在中，为的中点，点在上，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）四边形的内角和是，证明见解析；（3）【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）过点作，由平行线的性质可得，，由平角的定义得出，从而得出，即可得证；（2）连接，由（1）可得：，，结合，，计算即可得出答案；（3）由勾股定理得出，证明，得出，代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，过点作，则，，，，即；（2）四边形的内角和是，证明：如图，连接，由（1）可得：，，，，，四边形的内角和是；（3）在中，，，为的中点，，，，，，，，即，解得：．24．综合应用如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线在第二象限交于点，若动点在上运动，线段绕点顺时针旋转，点首次落在轴上时记为