2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版复习讲义含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版复习讲义含答案第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.2常用逻辑用语微拓展充分不必要条件的等价形式§1.3等式性质与不等式性质81.4基本不等式微拓展与基本不等式模型结构相似的对勾西数模型§1.5基本不等式的综合应用§1.6一元二次方程、不等式微拓展一元二次方程根的分布培优点1柯西不等式与权方和不等式第二章函数§2.1函数的概念及其表示§2.2函数的单调性与最值微拓展求函数的值域(最值)的常用方法§2.3函数的奇偶性、周期性微拓展抽象函数§2.6二次函数与幂函数微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题§2.7指数与指数函数§2.8对数与对数函数§2.11函数的零点与方程的解§2.13函数模型的应用第三章一元函数的导数及其应用§3.1导数的概念及其意义、导数的运算§3.2导数与函数的单调性微拓展常见组合函数的图象§3.3导数与函数的极值、最值培优点2指对同构问题培优点3洛必达法则§3.6利用导数证明不等式答题模板1将不等式转化为函数的最值问题培优点4切(割)线放缩§3.7利用导数研究函数的零点培优点5隐零点培优点6极值点偏移第四章三角函数与解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式§4.4简单的三角恒等变换微拓展积化和差、和差化积公式§4.5三角函数的图象与性质§4.8正弦定理、余弦定理答题模板2三角形的面积§4.10解三角形应用举例第五章平面向量与复数§5.1平面向量的概念及线性运算§5.2平面向量基本定理及坐标表示§5.3平面向量的数量积培优点7极化恒等式培优点8等和(高)线定理与奔驰定理第六章数列§6.1数列的概念86.2等差数列§6.3等比数列微拓展下标和相等的等差(比)性质的推广§6.4数列中的构造问题……………→[微§6.5数列求和答题模板3错位相减法求和培优点9新情景、新定义下的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系§7.4空间直线、平面的平行§7.5空间直线、平面的垂直§7.6空间向量的概念与运算§7.7向量法求空间角答题模板4平面与平面的夹角微拓展利用法向量的方向判断二面角§7.8空间距离及立体几何中的探索性问题§7.10立体几何中的动态、轨迹问题……[微重点]第八章直线和圆、圆锥曲线§8.2两条直线的位置关系微拓展直线系方程§8.3圆的方程微拓展圆的参数方程§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系88.5椭圆§8.6双曲线微拓展圆锥曲线的第二定义§8.7离心率的范围问题………§8.8抛物线§8.9直线与圆锥曲线的位置关系§8.10圆锥曲线中常见结论及应用…………§8.11圆锥曲线中求值与证明问题答题模板5证明问题§8.12圆锥曲线中范围与最值问题§8.13圆锥曲线中定点与定值问题§8.14圆锥曲线中的探索性与综合性问题培优点10阿波罗尼斯圆与蒙日圆培优点11阿基米德三角形第九章统计与成对数据的统计分析§9.1随机抽样、统计图表§9.2用样本估计总体§9.3成对数据的统计分析第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1计数原理与排列组合§10.2二项式定理微拓展破解三项展开式问题§10.3随机事件与概率§10.4事件的相互独立性与条件概率、全概率公式微拓展概率问题中的递推数列810.5离散型随机变量及其分布列、数字特征微拓展均值、方差的大小比较、最值(范围)问题§10.6二项分布、超几何分布与正态分布§10.7概率与统计的综合问题答题模板6概率、统计与数列的综合问题培优点1柯西不等式与权方和不等式题型一柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a²+b²)(c²+d)≥(ac+bd²(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时，等号成立).2.二维形式的柯西不等式的变式3.二维形式的柯西不等式的向量形式|aJ≤|all(当且仅当β是零向量，或存在实数k,使α=kβ时，等号成立).跟踪训练1设a=(1,-2),b=(x,y),若x²+y²=16,则a-b的最大值为_题型二权方和不等式1.二维形式：己知x,y,a,b∈R,号成立).时等号成立，称之为权方和不等式.m为该不等式的和，它的特点是分母的幂多一次.例2(1)若x>0,y>0,则6x+5y的最小值为思维升华(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.(3)关于带根号的式子，将分子变,分母次.跟踪训练2(1)己知正数x,y满足A.1B.3A.-5B.-62.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0,当且仅当=时，等号成立，根据权方和不等式，函的最小值为()A.16B.25C.364.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则的最小值为【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法，主干知识落实主干知识落实1.二次函数y=ax²+bx+c(a>0)与一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0),不等式a²+bx+二次函数的图象根x₁,x₂(xi<x₂)的解集u>a(a>0)的解集为 x<a(a>0)的解集为(2)不等式a²+bx+e<0(a≠0),x∈R恒成立a<0且4<0;2.对于不等式a²+bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形.3.(必修第一册P58T6改编)若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围4.已知不等式x²-ax-b<0的解集为(2.3),则a+b=探究核心题型题型一求解一元二次不等式命题点1不含参的不等式例1(多选)下列选项中，正确的是()A.不等式x²+x-2>0的解集为{xlr<-2或x>1)D.设x∈R,则“x-1|<1”是的充分不命题点2含参的不等式例2已知函数f(x)=ax²+(b-2)x+3.(2)若b=-a,求不等式jf(x)≤1的解集。思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(2)根据判别式△与0的关系判断根的个数，跟踪训练1设函数j(x)=ax²-(1+a)x+1.题型二三个二次之间的关系例3(1)(多选)已知关于x的一元二次不等式a²+bx+c≥0的解集为{φ≤-4或x≥5],则下解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个典例已知关于x的一元二次方程x²+2mx+2m+1=0.m的取值范围；跟踪训练2(1)(多选)己知关于x的不等式a(x+1)x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x₁,x₂)(x₁<A.x₁+x₂=2B.xx₂<-3C.-1<x₁<x₂<3(2)已知二次函数fx)=ax²+bx+c,且jix)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析题型三一元二次不等式恒成立问题例4己知函数f(x)=mx²-(m-1)x+m-1. A.(-00,-1)U(9,十00)跟踪训练1(1)对任意的x∈(-四，0),x²-mx+I>0恒成立，则m的取值范围为()A.{ml-2<m<2]B.[mb>2}C.[mln>-2]题型二基本不等式的实际应用例2第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个古祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15-0.1x)万套，为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价纪念品的利润=售价一供货价格.(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元?(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大?最大值是多少元?跟踪训练2第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2.000件，要使销售的总收入不低于投入50万元作为固定宣传费用，投万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题例3(1)若使得3x²-λx+1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是()A.2√2B.4√3C.4+2√3D.9+4√2最小值为()【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程2.会用基本不等式解决简单的最值问题.落实主干知识(3)其中叫做正数a.b的算术平均数，叫做正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值(2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.几个重要的不等式b同号). 以上不等式等号成立的条件均为a=b.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式等号成立的条件是相同的.()事2.(必修第一册P48习题T1(1)改编)若函)在x=a处取最小值，则a等于4.(2023.重庆模拟)已知x>0.y>0,x+y=1,最小值为核心题型探究核心题型探究题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a<b,则下列不等式一定成立的是()据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明，现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a,BC=b,O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线，垂足为点E,则该图形可以完成的无字证明为()B.a²+b²≥2ab(a>0,b>0)思维升华基本不等式的常见变形跟踪训练1(1)已知p:a>b>0,q:则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法命题点2配凑法A.√7B.√3C.2√2事命题点3代换法例4(1)已知正数a,b满 延伸探究已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b的最小值为 命题点4消元法例5已知正数a,b满足a²-2ab+4=0,则的最小值为()命题点5构造不等式法跟踪训练2(1)多选)下列四个函数中，最小值为2的是()(2(多选)已知正实数a,b满足ab+a+b=8,下列说法正确的是()A.ab的最大值为2B.a+b的最小值为4 落实主干知识1.两个实数比较大小的方法 2.等式的性质性质1对称性：如果a=b,那么性质2传递性：如果a=b,b=c,那么3.不等式的性质性质1对称性：a>b-性质4可乘性：a>b,c>0=→ 性质5同向可加性：a>b,c>d→性质7同正可乘方性：a>b>0=→a'>b(n∈N,n≥2).若a>b>0,m>0,则①真分数的性质②假分数的性质曲曲1.判断下列结论是否正确，(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.()(3)同向不等式具有可加性和可来性.(2.(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是()A.Ina<InbC.a²<b²D.a³<b³全部溶解),糖水变甜了，请将这一事实表示成一个不等式为4.(必修第一册P42T5改编)已知2<a<3.-2<b<-1,则a+2b的取值范围为核心题型探究核心题型探究题型一数(式)的大小比较B.a³+F≥a²b+ab²(a,b∈R)A.đ<d<bB.a<br<aC.a'<a<bFD.d<H<a⁴思维升华比较大小的常用方法(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论，C.π-<30-题型二不等式的基本性质例2(1)若实数a.b满足a<b<0,则()(2)(多选)已知a,b,c为实数，则下列说法正确的是()C.若a>b>c>0,跟踪训练2(1)设a,b,c,d为实数，且c<d,则“a<b”是“a-c<b-d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B.-a²<-ab题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知0<x<5,-I<y<1,则x-2y的取值范围是()C.2<r-2y<7延伸探究若将条件改为“-I≤x+y≤2,-2≤x-y≤1”,求x-2y的范围.(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为()跟踪训练3(1多选)己知1≤a≤2,3≤b≤5,则()两种命题进行否定.主干知识主干知识若p=q,则p是q的条件，q是p的_条件p是q的__条件p是q的条件p是q的条件(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号名称全称量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记否定3x∈M,绨p(x)设A={xp(x)},B=(xlq(x)}.D.绨p:3x∈R,x+2>0探究核心题型A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题型二充分、必要条件的应用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件：②“x∈[gA”是“x∈[nB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.问题：已知集合A=[xla≤x≤a+2},B={xl(x+D(x-3)<0].(1)当a=2时，求A∩B;(2)若,求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.充分不必要条件的等价形式p是q的充分不必要条件，等价于绨q是绨p的充分不必要条件.跟踪训练2从①“充分不必要条件”,②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：己知集合,B=(ak²-4x+4-m²≤0,m∈R}.(2)若存在正实数m,使得“x∈A”是“x∈B”成立的,求正实数m的取值范围，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(1)(多选)下列说法正确的是()A.“正方形是菱形”是全称量词命题C.命题“3x∈R,x²-2x+3=0”的否定为“Vx∈R,x²-2x+3≠0”D.命题“Vx>1,都有2x+1>5”的否定为“3x≤1,使得2x+1≤5”命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题中的真命题是()命题点3含量词的命题的应用例5(1)若命题“Vx∈[-1,2],x²+1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是()A.(-0,0)B.(一00,1)跟踪训练3(1)下列命题为真命题的是()A.任意两个等腰三角形都相似B.所有的梯形都是等腰梯形C.Vx∈R,x+国≥0式x²-ax+4≤0,则下列说法正确的是()A.命题p的否定是“3x∈[0.1],不等式2x-2<m²-3m”B.命题q的否定是“Vx∈[1,3],不等式x²-ax+4≥0”C.当命题p为真命题时，1≤m≤2(3)集合的表示法：非负整数集(或自然数集)正整实数集符号N'(或N+)的真子集.集合语言图形语言并集交集1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2"个子集，2"-1个真子集.(2){xly=x²+1)={ply=x²+1]={(x,y)ly=x²+1}.((3)若1∈[x²,x],则x=-12.(必修第一册P14T4改编)设集合A={x3≤x<7],B=(x|2<x<10},则(nA)∩B等于()C.[x|2<x<3或7≤x<10]3.(必修第一册P35T9改编)已知集合A={1,3,a²},B=[1,a+2]),若AUB=A,则实数a4.(必修第一册P9T5改编)己知集核心题型核心题型题型一集合的含义与表示例1(1)2023长春模拟)己知集合A=[(x,yx²+y²=4],B=[(x,y)x+y=0],则AOB的A.ASBB.B三A思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.的关系是()C.MS[nND.NS[(2)设集合A=[x|-I≤x+I≤6],B=[xim-I<x<2m+1),当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为:当BSA时，实数m的取值范围是_题型三集合的基本运算(2M(多选)已知M,N均为实数集R的子集，且NO(CgM)=0,则下列结论中正确的是()命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(多选)己知A=[xlx²+x-6=0],B=[xlmx+1=0],且AUB=A,则m的值可能为(2)(2024本溪模拟)设集合A=[xlr<a²],B=(xly>a),若A∩(CgB)=A,则实数a的取值范围A.[0,1]跟踪训练3(1)多选)已知集合A=[xp²-2x>0],B=[x|l<x<3],则()(2)已知集合A,B满足A={p>1},B=[xlx<a-1},若A∩B=②,则实数a的取值范围为()A.(-0,1)B.(一00,2)题型四集合的新定义问题抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非c∈G,有(a-b)-c=a-(b-c);②3e∈G,使得Va∈G,有ea=a-e=a;③Vaa-b=b-a=e,则称G关于“.”构成一个群。则A.G={-1,0,1}关于数的乘法构成群C.实数集关于数的加法构成群则称A为封闭集。下列叙述中，正确的为()A.集合A={-2,-1,0,1,2)为封闭集C.封闭集一定是无限集D.若A为封闭集，则一定有0A解函数模型在社会生活中的广泛应用.主干知识落实主干知识落实1.三种函数模型的性质函数性质单调递增单调递增单调递增增长速度相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现随a值的变化而各有不同函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)反比例函数模型b为常数，k≠0)指数函数模型fix)=baY+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型fx)=blog,x+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型(x)=ax+b(a,b,α为常数，a≠0,a≠0)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)西数y=2*的西数值比y=x²的函数值大.()(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不赔，()(3)已知a>1,在(0,十0)上，随着x的增大，y=a²的增长速度会超过并远远大于y=x和y(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.()2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()r3.(2024南宁联考)有一组实验数据如表：X23456y则体现这组数据的最佳函数模型是()般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间x(单位：秒)之间的关系为h(r)=-5r²+15r+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为()探究核心题型题型一用函数图象刻画变化过程例1(1多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示；根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(x,y)0=1,2,…,I1),并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[-2.3]上，下列四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能反映x,y函数关系的是()A.y=a+bxC.y=a+logxr跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=jfix)的图象大致是AC题型二已知函数模型的实际问题的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为1gE=4.8+1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的()Moe(其中Mo,k是正常数).已知经过1h,设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%题型三构造函数模型的实际问题例3(2024文山模拟)汽车智能辅助驾驶己开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间o、人的反应时间n、系统反应时间h、制动时间n,相应的距离分别为do,d,d,ds,当车速为v(单位：阶段准备系统反应制动时间3距离d 解函数模型在社会生活中的广泛应用.落实主干知识1.三种函数模型的性质函数性质y=x产在(0,十一)单调递增单调递增单调递增增长速度相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现为与平行随a值的变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型fx)=ax+b(a,b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)反比例函数模型fx)=令+bok,b为常数，k≠0)指数函数模型jf(x)=ba³+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=bogax+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=ax²十b(a,b,a为常数，a≠0,a≠0)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=2的函数值比y=x²的函数值大，()(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不(3)已知a>1,在(0,十一)上，随着x的增大，y=a²的增长速度会超过并远远大于y=x和y=log₀x的增长速度.()(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.()2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()x23456y则体现这组数据的最佳函数模型是()般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间x(单位：秒)之间的关系为h()=-5r+15t+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为() 题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，已知成人单次服用1单位某药最低有效浓度(MEC)o根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(x,y)(=1,2,…,11),并由实验数据此散点图，在区间[-2,3]上，下列四个函数模型(a,b为待系的是()A.y=a+bxB.y=a+bC.y=a+logx跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=fx)的图象大致是AB题型二已知函数模型的实际问题的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的()(2)2023-无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》,文化娱乐场所室内甲醛浓Moe-(其中Mo,k是正常数).已知经过1h,设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%题型三构造函数模型的实际问题时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别间n、系统反应时间h、制动时间n,相应的距离分别为do,d,d₂,ds,当车速为(单位：阶段准备人的反应系统反应制动时间距离d主干知识主干知识函数性质单调递增单调递增单调递增增长速度相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现随α值的变化而各有不同函数模型函数解析式一次函数模型fx)=ax+b(a,b为常数，a≠0)二次函数模型fix)=a²+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)反比例函数模型,b为常数，k≠0)指数函数模型fx)=ba²+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型fx)=blog₀x+c(a,b,c为常数，a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型fix)=a²+b(a.b,a为常数，a≠0,a≠0)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%,第二天跃了10%,则员工甲不赚不(3)已知a>1,在(0,十一)上，随着x的增大，y=a²的增长速度会超过并远远大于y=x和y=log₀x的增长速度.()(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y=100xB.y=log1ooxC.y=x⁰X23456y般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间(单位：秒)之间的关系为h(r)=-5²+15t+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为()A.26米核心题型探究核心题型探究题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，己知成人单次服用1单位某药根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒此散点图，在区间[-2,3]上，下列四个函数模型(a,b为待A.y=a+bxB.y=a+BC.y=a+logx跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=fx)的图象大致是C题型二已知函数模型的实际问题的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为1gE=4.8+1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的()Moe(其中Mo,k是正常数).已知经过1h,设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%题型三构造函数模型的实际问题例3(2024文山模拟)汽车智能辅助驾驶己开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间o、人的反应时间n、系统反应时间h、制动时间n,相应的距离分别为do,d,d,ds,当车速为v(单位：阶段准备系统反应制动时间3距离d 主干知识主干知识1.函数的零点与方程的解对于一般函数y=fx),我们把使的实数x叫做函数y=fx)的零点.方程f(x)=0有实数解→函数y=fu)有函数y=fux)的图象与有公共点.么,函数y=fx)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得这个c也就是方程fx)=0的解.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值若连续不断的函数fx)是定义域上的单调函2.下列函数中，不能用二分法求零点的是()A.y=2xB.y=(x-2)²A.(0,1)B.(1,题型一函数零点所在区间的判定A.(1.2)B.(2,e)C.(e,3)D.(跟踪训练1(1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分题型二函数零点个数的判定思维升华求解西数零点个数的基本方法(1)直接法；令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根，则x)有跟踪训练2(1)(2024渭南模拟)函数fx)=3"logz-1的零点个数为()_"题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(2023.安阳模拟)已知函的图象与直线y=k—x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是()命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023北京模拟)已知函若存在x∈(一0,-1),使得(xo)=0,则实数a的取值范围是()C.(一四，0)跟踪训练3(1)(2024-邵阳模拟)已知函数若g(x)=fx)-a有4个零点，则实数a的取值范围为()A.(0,4)B.(0,3)C.(0,2)(2)(2023-夭津模拟)函数fx)=2alogzx+a-4*+3在区间上有零点，则实数a的取值范围是()【课标要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象，3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.落实主干知识1.利用描点法作函数图象的步骤：y_y上移上移y=对称.(3)当x∈(0,十)时，函数y=fix)与y=f(xl)的图象相同.()ABD题型一作函数图象题型二函数图象的识别A思维升华识别西数的图象的主要方法跟踪训练2(1)函的部分图象为()y=f\x-1)的图象AC题型三函数图象的应用BDC.若x₁≠x,但j(x₁)=fix₂),则x₁+x₂=2命题点3利用图象求参数的取值范围例5(2023-保定联考)已知函若函数g(x)=fx)-a有三个零点，则a的取值范围是()A.(0,1)跟踪训练3(1)把函数f(x)=Inlx-al的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0,十一)上单调递增，则a的最大值为()(2)已知函数f(x)=|x-2I+1,g(x)=kx.取值范围是x∈(-0,m),都有f(x)≤3,则实数m的取值范围是的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置.题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质重重重找中间值命题点2找中间值重重的大小关系是()特殊值法命题点3特殊值法则下列结论正确的是()则下列结论正确的是()A.d<bfB.abf<baC.alogyc<blog,cA.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bA.a<b<cC.b<a<c题型二利用指数、对数及幕的运算性质化简比较大小命题点1作差法A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<b(2)(2024-宿州模拟)己知3"=4,a=2”-3,b=4"-5,则()A.a>0>b命题点2作商法例5已知a=0.8-04,b=logs3,c=log₄5,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<a命题点3乘方法例6已知a=log;5,b=logs7,则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>a命题点4对数法重则a,b的大小关系为思维升华求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.C.b>c>a(2)已知x,y,z为正数，且2*=3=5,则()A.3y<2x<5zB.2x<3y<5zC.3y<5z<2xD.5z<2x<3y【课标要求】1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y=a²(a>0,且a≠1)与对数函数y=log₀x(a>0,且a≠1互为反函数.1.对数的概念一般地，如果a=Ma>0.且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作其中叫做对数的底数，叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作以e为底的对数叫做自然对数，记作2.对数的性质与运算性质(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①log.(MN)=(3)对数换底公式：且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).3.对数函数的图象与性质图象 0定义域性质当x>1时，当0<x<1时，_当x>1时， 函数 函数指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数(a>01.log₀b-loga=1(a>0,且a≠1,b>0,且2.如图，给出4个对数函数的图象。则b>a>I>d>c>0,即在第一象限内，不同的对数函数图yoy=log,x(4)函数y=logzx与的图象关于x轴对称.()2.(2023.雅安模拟)己知xlog,2=1,则4*等于()ACBD核心题型核心题型题型一对数式的运算事事题型二对数函数的图象及应用且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是()ACBD=a*-b的大致图象是()ABC题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小D法正确的是()A.c>b>aB.b>>a命题点2解对数方程、不等式例4(2023-中山模拟)设实数a>0,则“2>2”是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件命题点3对数函数的性质及应用例5(2023-郑州模拟)设函数fx)=In|2x+1|-In|2x-1|,则fxM)B.是奇函数，且上单调递减C.是偶函数，且上单调递增D.是奇函数，且上单调递减定义域：二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成。值范围是()点等性质，并能简单应用.主干知识主干知识1.根式(1)一般地，如果x=a,那么叫做α的n次方根，其中>1,且n∈N当n为偶数时，2.分数指数幂正数的正分数指数幂：正数的负分数指数幂：0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aa=;(a)=;(ab)=_(a>0,b>0,r,s∈R).(2)指数函数的图象与性质图象Ox定义域性质过定点,即x=0时，y=1当x>0时，: 当x<0时，_ 当x>0时， 函数 函数1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,o1.判断下列结论是否正确，(请在括号中打“√”或“×”)(3)指数函数y=a²与y=a¹(a>2.已知函数y=a-2*和y=2*+b都是指数函数，则a+b等于()A.不确定B.0C.1D.23.已知关于x的不等则该不等式的解集为()A.(-4,十00)B.(-4,十00)核心题型探究核心题型探究题型一指数幂的运算例1计算：跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a,b满足等式3°=6,则下列可能成立的关系式为()A.a=bB.0<b<aC.a<b<0(2)若函数j(x)=|2*-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_跟踪训练2(多选)已知函数x)=a-b(a>0,且a≠1,b≠0)的图象不经过第三象限，则a,b的取值范围可能为()A.0<a<1,b<0B.0<a<1,0<b≤1C.a>1,b<0题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024-海口模拟)已知Ia=1.306,重则()A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<b命题点2解简单的指数方程或不等式A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函为常数，且a≠0,a∈R)是奇函数.(2)若Vx∈[1,2],都有f(2x)-mfix)≥0成立，求实数m的取值范围.思维升华(1)利用指数西数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中问量.(2)求解与指数函数有关的复合禹数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，跟踪训练3(1M多选)(2023-重庆模拟)已知函则下列结论正确的是()主干知识主干知识②当a>0时，幂函数的图象都过点和,且在(0,+00)上单调递增：③当a<0时，幂函数的图象都过点,且在(0,十四)上单2.二次函数函数图象(抛物线)定义域对称轴顶点当b=0时是函数，当b≠0时是非奇非偶函数上单调递:A.(2,10)B.(1,2)C.[2,10]4.已知函数j(x)=x²+2(a-1)x+2在区间(-,-3)上单调递减，则实数a的取值范围是核心题型核心题型四个值，则相对应曲线C,C₂,C,C₄的n依次为()(2K(2023-无锡模拟)“n=1”是“幂函数jx)=(n²-3n+3)x²⁻3在(0,十一)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件调递增，则m的值为()n均为正整数且m,n互质)的图象，则()题型二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足j(2)=-1,-1)=-1,且fx)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.的平方和为10,则fx)的解析式为题型三二次函数的图象与性质D.abe<0A.a<m<n<βB.m<a<n<β题型一函数的奇偶性与单调性A.(-2,2)题型二函数的奇偶性与周期性C.fx)是一个周期为3的周期函数D.f(2025)=-2跟踪训练2已知定义在R上的函数fix)满足条件：①fx)的周期为2,②x-2)为奇函数，③当x∈[0,1]时，恒成立.则,j(4),的大小关系为()题型三函数的奇偶性