上海市宝山区上海交大附中2021-2022学年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）．A． B．C． D．2．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．的展开式中的项的系数为（）A．120 B．80 C．60 D．404．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（）A． B． C． D．5．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（）A．－2 B．－4 C．3 D．－36．设全集U=R，集合，则（）A． B． C． D．7．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（）A． B． C． D．8．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．9．已知函数是奇函数，则的值为（）A．－10 B．－9 C．－7 D．110．若，则的虚部是（）A． B． C． D．11．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度12．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，的系数为____________.14．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________.15．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）①，，；②，，；③，，；④，，.16．已知一组数据，1，0，，的方差为10，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.18．（12分）数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．附表及公式：．20．（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.21．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.（1）设函数（）.①当时，求函数的极值；②若函数存在“F点”，求k的值；（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若射线与曲线C交于点A（不同于极点O），与直线l交于点B，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，则故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,2．B【解析】

或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.3．A【解析】

化简得到，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式中的项为.故选：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.4．B【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数不成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；成立，跳出循环，输出i的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.5．D【解析】

设，，设：，联立方程得到，计算得到答案.【详解】设，，故.易知直线斜率不为，设：，联立方程，得到，故，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键.6．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】，，则，故选：A．【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．7．B【解析】

可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解【详解】设，则.由题意有，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题8．C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.9．B【解析】

根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.10．D【解析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.【详解】由题可知，所以的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.11．C【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.【详解】为得到，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得；再将向左平移个单位长度，故可得.故选：C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.12．A【解析】

列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．16【解析】

要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可【详解】的系数为.故答案为：16【点睛】此题考查二项式的系数，属于基础题.14．【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.【详解】建立平面直角坐标系，如图（1）所示：设，，，即，又，令，其中，画出图形，如图（2）所示：当直线经过点时，取得最大值.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.15．①②④【解析】

由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断【详解】①时，令，则，单调递增，，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.②时，易知，满足题意.③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.因此，满足题意.故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题16．7或【解析】

依据方差公式列出方程，解出即可．【详解】，1，0，，的平均数为，所以解得或．【点睛】本题主要考查方差公式的应用．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）零点分段法，分，，讨论即可；（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.【详解】解：（1）若时，，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，综上述：不等式的解集为；（2）当时，由得，即，故得，又由题意知：，即，故的范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.18．（1）见解析，（2）【解析】

（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.19．有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.【解析】

由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【详解】解析：由题得所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．20．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.21．（1）①极小值为1，无极大值.②实数k的值为1.（2）【解析】

（1）①将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；②设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.【详解】解：（1）①当时，（），则有（），令得，列表如下：x10极小值故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.②设是函数的一个“F点”（）.（），是函数的零点.，由，得，，由，得，即.设，则，所以函数在上单调增，注意到，所以方程存在唯一实根1，所以，得，根据①知，时，是函数的极小值点，所以