新高考数学一轮复习第7章 第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 练（教师版）

第07讲向量法求距离、探索性及折叠问题(精练）A夯实基础一、单选题1．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C建立空间直角坐标系，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故选：A.3．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，使得点SKIPIF1<0重合于点SKIPIF1<0，则该几何体的外接球表面积是（）A．18π B．16π C．20π D．22π【答案】C解：折叠后SKIPIF1<0重合于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合于SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠后重合后得平面SKIPIF1<0，得到如图，又因为SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，,即SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，由该三棱锥对棱相等，所以三棱锥是长方体内的一部分，设长方体长宽高分别为SKIPIF1<0外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球表面积为SKIPIF1<0，故选:C4．长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公垂线的一个方向向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0．故选：D．5．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），SKIPIF1<0，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），所以SKIPIF1<0，设平面ABC的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C6．由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】C①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直；②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意；③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直；④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意.故选：C7．如图，菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将其沿着对角线SKIPIF1<0折叠至直二面角SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，得到四面体SKIPIF1<0，则此四面体的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外心，过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，由正弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：D.8．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，点E、O分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，P在正方体内部且满足SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．点A到直线BE的距离是SKIPIF1<0 B．点O到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0 D．点P到直线AB的距离为SKIPIF1<0【答案】D如图，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故A到直线BE的距离SKIPIF1<0，故A对；易知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0，则点O到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B对；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0间的距离等于点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，即为SKIPIF1<0，故C对；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点P到AB的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D错．故选：D二、多选题9．已知直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一点，若点P(SKIPIF1<01，0，SKIPIF1<02)为直线外一点，则P到直线SKIPIF1<0上任意一点Q的距离可能为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】AB由题设条件可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，P到直线SKIPIF1<0上任意一点Q的距离要大于等于SKIPIF1<0，故选：AB.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则（

）A．点A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0C．点A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0【答案】BC因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，所以点A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故A错误，C正确；SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，故B正确，D错误．故选：BC.三、填空题11．已知直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为___________.【答案】1SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．故答案为：1．12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为_______.【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面BDC1，SKIPIF1<0平面BDC1，所以SKIPIF1<0平面BDC1，同理SKIPIF1<0平面BDC1，又SKIPIF1<0，所以平面AB1D1//平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面AB1D1的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则点B到平面AB1D1的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题13．如图：在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)求异面直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值.(2)求三棱锥SKIPIF1<0的体积【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8(1)解：以A为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；(2)解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．如图，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，得到四棱锥SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在翻折的过程中，当SKIPIF1<0时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0.(1)在四棱锥SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0MNC平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)因为在等腰直角三角形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以以点SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0所在方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图所示，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.B能力提升1．如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，以SKIPIF1<0为折痕，将SKIPIF1<0向一方折叠到SKIPIF1<0的位置，使D点在平面SKIPIF1<0内的射影在SKIPIF1<0上，再将SKIPIF1<0向另一方折叠到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，形成几何体SKIPIF1<0.（1）若点F为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．解：（1）如图，设D点在平面SKIPIF1<0内的射影为O，连接SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在等腰SKIPIF1<0中，O为SKIPIF1<0的中点.∵F为SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中点H，连接SKIPIF1<0，则易知SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）连接SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0两两垂直，以O为坐标原点SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．2．如图1，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，其中SKIPIF1<0为斜边.若把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0边折叠到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图2.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0.（1）证明：∵SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0为斜边，∴SKIPIF1<0.∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.C综合素养1．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）如图，已知多面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中底面是由半圆SKIPIF1<0及正三角形SKIPIF1<0组成.(1)若SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)半圆SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0是直二面角?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，SKIPIF1<0(1)证明：∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是正三角形.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)以SKIPIF1<0的中点为原点，以SKIPIF1<0的中垂线所在直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立如图的空间直角坐标系易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵二面角SKIPIF1<0是直二面角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.结合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍掉）.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得结论成立.2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高二期中）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（不含端点）上运动，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角取最大值时，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(1)如图，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为