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四川省广安市广安中学2025年高三数学试题测试考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A.在内总存在与平面平行的线段B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.可能为直角三角形2.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为()A.2 B.5 C. D.3.已知直线,,则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知是边长为的正三角形,若,则A. B.C. D.5.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-136.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有7.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.9.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴10.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.已知斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为,则斜率k的取值范围是()A. B. C. D.12.在中,为边上的中线,为的中点,且,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.根据如图所示的伪代码,输出的值为______.14.若满足约束条件,则的最小值是_________,最大值是_________.15.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.16.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,为推动新能源汽车产业迅速发展,有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量(单位:万台)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图.(1)求直方图中的值,并估计销量的中位数;(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表),并以此预计年的销售量.18.(12分)已知函数().(1)讨论的单调性;(2)若对,恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.20.(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,,的斜率分别为,,,求的值.21.(12分)已知是公比为的无穷等比数列,其前项和为,满足,________.是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.从①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.22.(10分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为.(1)分别求、、的值;(2)求的表达式.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.2.D【解析】
根据三视图还原出几何体,找到最大面,再求面积.【详解】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,如图所示,将其放在一个长方体中,并记为三棱锥.,,,故最大面的面积为.选D.本题主要考查三视图的识别,复杂的三视图还原为几何体时,一般借助长方体来实现.3.C【解析】
先得出两直线平行的充要条件,根据小范围可推导出大范围,可得到答案.【详解】直线,,的充要条件是,当a=2时,化简后发现两直线是重合的,故舍去,最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.4.A【解析】
由可得,因为是边长为的正三角形,所以,故选A.5.B【解析】
由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.6.C【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.7.B【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.8.B【解析】
先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.9.A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.10.D【解析】
利用向量运算可得,即,由为的中位线,得到,所以,再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点,则由得,即;在中,为的中位线,所以,所以;由双曲线定义知,且,所以,解得,故选:D本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质,难度一般.11.C【解析】
设,,,,设直线的方程为:,与抛物线方程联立,由△得,利用韦达定理结合已知条件得,,代入上式即可求出的取值范围.【详解】设直线的方程为:,,,,,联立方程,消去得:,△,,且,,,线段的中点为,,,,,,,,把代入,得,,,故选:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,考查了韦达定理的应用,属于中档题.12.A【解析】
根据向量的线性运算可得,利用及,计算即可.【详解】因为,所以,所以,故选:A本题主要考查了向量的线性运算,向量数量积的运算,向量数量积的性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.7【解析】
表示初值S=1,i=1,分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.【详解】S=1,i=1第一次循环:S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循环:S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循环:S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循环结束,输出:i=7.故答案为:7本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题,属于基础题.14.06【解析】
作不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求出结果.【详解】作出可行域,如图中的阴影部分:求的最值,即求直线在轴上的截距最小和最大时,当直线过点时,轴上截距最大,即z取最小值,.当直线过点时,轴上截距最小,即z取最大值,.故答案为:0;6.本题主要考查了线性规划中的最值问题,利用数形结合是解决问题的基本方法,属于中档题.15.【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.16.【解析】
根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,如图所示:结合图中数据,计算它的体积为.故答案为:.本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),中位数为;(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为万台,以此预计年的销售量约为万台.【解析】
(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可计算出的值,利用中位数左边的矩形面积之和为可求得销量的中位数的值;(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积,相加可得出销量的平均数,由此可预计年的销售量.【详解】(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为,则,解得,由于,因此,销量的中位数为;(2)由频率分布直方图可知,新能源汽车平均每个季度的销售量为(万台),由此预测年的销售量为万台.本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.18.(1)①当时,在上单调递减,在上单调递增;②当时,在上单调递增;(2).【解析】
(1)求出函数的定义域和导函数,,对讨论,得导函数的正负,得原函数的单调性;(2)法一:由得,分别运用导函数得出函数(),的单调性,和其函数的最值,可得,可得的范围;法二:由得,化为令(),研究函数的单调性,可得的取值范围.【详解】(1)的定义域为,,①当时,由得,得,在上单调递减,在上单调递增;②当时,恒成立,在上单调递增;(2)法一:由得,令(),则,在上单调递减,,,即,令,则,在上单调递增,,在上单调递减,所以,即,(*)当时,,(*)式恒成立,即恒成立,满足题意法二:由得,,令(),则,在上单调递减,,,即,当时,由(Ⅰ)知在上单调递增,恒成立,满足题意当时,令,则,所以在上单调递减,又,当时,,,使得,当时,,即,又,,,不满足题意,综上所述,的取值范围是本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论,不等式恒成立时,求解参数的范围,属于难度题.19.(1)(2)直线过定点【解析】
(1),再由,解方程组即可;(2)设,,由,得,由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系,代入计算即可.【详解】(1)由题意知:,又,且解得,,∴椭圆方程为,(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,设,,由,得.则,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直线过点当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,,,其中,∴,由,得,所以∴当直线的斜率不存在时,直线也过定点综上所述,直线过定点.本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题,在处理直线与椭圆的位置关系的大题时,一般要利用根与系数的关系来求解,本题是一道中档题.20.(1)(2)【解析】
(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,,所以的面积.(2)由题知,,,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.本小题主要考查抛物线的焦点,椭圆的标准方程和几何性质、直线
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