2024北京平谷中学九年级（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京平谷中学初三（上）期中数学一、单选题1.若，则下列比例式一定成立的是（）A. B. C. D.2.如图，在中，，，，，则的长为（）A.7 B.6 C.5 D.43.下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A. B. C. D.4.如图，在中，，，则（）A. B. C. D.5.抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（）A.，开口向上 B.，开口向下C.，开口向上 D.，开口向下6.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（）A. B. C. D.7.将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（）A. B. C. D.8.已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：有以下几个结论：…0123……303…①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和；④当时，的取值范围是或．其中正确的是（）A.①④ B.②④ C.①③ D.③④二、填空题9.若，则的值为______．10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanA＝，则AC＝_____．11.下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是_____m．12.如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．13.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为_______．14.如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为______15.如图在Rt中，是斜边上的高，若，，则的长为__________．16.如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．三、解答题17.计算：18.如图，在和中，，平分．（1）证明：；（2）若，，求和的长．19.已知二次函数．（1）画出它的图象；（2）该二次函数图象的对称轴为________，顶点坐标为________；（3）当________时，的值随值的增大而减小；（4）当时，的取值范围是________；（5）当时，的取值范围是________．20.为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离三点共线，则旗杆的高度为多少？21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．22.年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．求飞船从B处到C处的距离．23.已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．24.某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米．（1）求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式；（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？25.如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，求的长．26.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点．（1）求k的值；（2）过点作x轴的垂线，分别交反比例函数，的图象于点M，N．①当时，求MN的长；②若，直接写出m的取值范围．27.小明在学习过程中遇到了一个函数，小明根据学习反比例函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．（1）画函数图象：函数的自变量的取值范围是______；①列表：如下表．…－6－21034610……0－3－1－79532…②描点：点已描出，如图所示．③连线：请你根据描出的点，画出该函数的图象．（2）探究性质：根据反比例函数的图象和性质，结合画出的函数图象，回答下列问题：①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是______；②该函数图象可以看成是由的图象平移得到的，其平移方式为______；③结合函数图象，请直接写出时的取值范围______．28.已知抛物线．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围．29.如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G．（1）求的度数；（2）在线段EG上取点H，使得，连接，．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．

参考答案一、单选题1.【答案】B【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】解∶A．由得，故本选项不符合题意；B．由得，故本选项符合题意；C．由得，故本选项不符合题意；D．由得，故本选项不符合题意；故选∶B．2.【答案】D【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，即，解得：，故选：D．3.【答案】D【详解】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，．A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．故选D．4.【答案】D【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义、勾股定理解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．依题意，设，则，利用勾股定理求得，根据正切的定义求得即可．【详解】解：在中，，，设，则，由勾股定理可得，，故选：D．5.【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质求解即可．【详解】解：∵，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，故选：A．6.【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解．【详解】解：二次函数的对称轴为，，∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；∵，∴y2∵，则，，∴x=1时的函数值与的函数值相等，且，∴，∴，故选：B

．7.【答案】C【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可．【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即，故选：C．8.【答案】A【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得．【详解】解：设抛物线的解析式为，将、、代入得：，解得：，抛物线的解析式为，由知抛物线的开口向上，故①正确；抛物线的对称轴为直线，故②错误；当时，，解得或，方程的根为0和2，故③错误；当时，，由函数图像解得或，故④正确；故选：A．二、填空题9.【答案】【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．10.【答案】6．【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA＝，代入求出即可．【详解】如图：∵BC＝4，tanA＝＝，∴AC＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11.【答案】4【分析】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△BCE中，易求得∠CBE＝30°，已知斜边BC为8m，根据直角三角形的性质即可求出CE的长，即h的值.【详解】过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△CBE中，∠CBE＝180°－∠CBA＝30°，已知BC＝8cm，则CE＝BC＝4cm，即h＝4cm，故答案为4.【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解,是解决此题的关键.12.【答案】1：2【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成．【详解】∵相似三角形面积的比等于相似比的平方∴两个相似三角形的相似比为1：2∵两个相似三角形周长的比等于相似比∴两个三角形周长的比等于1：2故答案为：1：2【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键．13.【答案】【分析】找到所在的直角三角形，用的邻边比上斜边即可求出．【详解】解：如图，过B点作BD⊥AC，则：BD=4，AD=3，∴，∴=，故答案为：．【点睛】本题考查网格中的三角形函数，找到角所在的直角三角形是解题的关键．14.【答案】4【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系．【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于，

解得：，

∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限，．

故答案为：4．【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．15.【答案】【分析】根据同角的余角相等得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：，，，，，，,，，即，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和相似三角形的判定及性质的运用，在解答时运用直角三角形的性质求出角相等证明三角形相似是关键．16.【答案】①.乙②.e，f．【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，∴还剩下a，，e，f，g，h，又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，∴乙可以取e，f，g或f，g，h，若乙取e，f，g，只剩下a，，h，∵它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e，∵它们不相邻，∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；枚答案为：乙；（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，①若乙取三个球:若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；②若乙取二个球:若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；若乙取e，f，此时甲取c，d或g，h，则乙胜；若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，故答案为：e，f．【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．三、解答题17.【答案】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式化简、幂运算，熟练掌握、的三角函数值、一个数的负一次方等于这个数的倒数是解答本题的关键．化简整理得实数的运算，根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：故答案为18.【答案】（1）见解析（2），【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长．【小问1详解】∵平分，∴，在和中，，∴；【小问2详解】∵在中，，，，∴，由（1）已证：∵，∴，即，解得．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．19.【答案】（1）图象见解答；（2）直线，；（3）；（4）或；（5）．【分析】（1）根据函数解析式求出抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，然后根据函数的性质用五点法作出函数图象；（2）由（1）直接得出答案；（2）根据函数图象即可得出结论；（3）根据函数图象即可得出结论；（4）根据函数图象即可得出结论；【小问1详解】解：，对称轴为直线，顶点坐标为；令，解得：或3，抛物线与轴的交点坐标为和；令，则，抛物线与轴的交点坐标为，图象如图所示：【小问2详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故答案为：直线，；【小问3详解】解：由图象得，当时，的值随值的增大而减小，故答案为：；【小问4详解】解：由图象知，当时，的取值范围是或，故答案为：或；【小问5详解】解：当时，；当时，，当x=1时，，当时，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查画二次函数的图象、抛物线与轴的交点问题以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．20.【答案】旗杆的高度为．【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用，即可求得，最后根据即可解题．【详解】解：设与交于点G，由题意得：，，，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∴．答：旗杆的高度为．21.【答案】（1）；（2）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据图象，即可进行解答．【小问1详解】解：∵反比例的图象过点，即，∴，∴反比例函数的解析式为，又∵点在函数的图象上，∴，，∴又∵一次函数过、两点，即，解之得．∴一次函数的解析式为；【小问2详解】由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．22.【答案】【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．由题意知，，，，，则，，由勾股定理得，，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，，，，∴，，∴，由勾股定理得，，，∴飞船从B处到C处的距离为．23.【答案】BC＝．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠A＝105°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．∴∠DAC═∠C＝45°．∵sinC，∴AD．∴AD＝CD．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵AD，∴AB＝2．∴由勾股定理得：BD．∴BC＝BD+CD．【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24.【答案】（1）（2）7米【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键．（1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，进而计算可以得解；（2）依据题意，由抛物线为，进而令，则，求出x的值即可判断得解．【小问1详解】由题意得，抛物线的顶点为，∴可设抛物线为．又抛物线过，∴．∴．∴水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式为．【小问2详解】由题意，∵抛物线为，∴令，则．∴或（不合题意，舍去）．∴花盆需至少离喷水装置为7米处，才不会被喷出的水流击中．25.【答案】（1）见解析（2）【分析】对于（1），先说明四边形为平行四边形，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形为平行四边形，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案；对于（2），先求出，再根据锐角三角函数求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案.【小问1详解】连接，点为中点，，∴，即，四边形为平行四边形，∴，.又为边上的中线，∴，，∴，，四边形为平行四边形．又，平行四边形为矩形．【小问2详解】∵，是上的中线，，在中，，∴，，又点为中点，∴，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，灵活选择判定定理是解题的关键．26.【答案】（1）6；（2）①5；②或【分析】（1）把代入中即可得出的值；（2）①令代入和中，求出点M、N的坐标，即可得出MN的长；②令代入和中，求出点M、N的坐标，即可得出MN含的表达式，由即可求出的取值范围．【详解】（1））把代入中得：，∴；（2）①令代入中得：，∴，令代入中得：，∴，∴；②令代入中得：，∴，令代入中得：，∴，∴，当时，，解得：，∴，当时，，解得：，∴，综上述所，的取值范围为或．【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式以及两点长度的表示是解题的关键．27.【答案】（1），函数图像见详解；（2）①（2，1），②右移2个单位，上移1个单位，③或．【分析】（1）根据分母不能为零得到自变量的取值范围，根据图表，描点，连线画出函数图像即可；（2）根据函数的关系式和函数图像的形状和性质，可得出对称中心的坐标和平移方式，根据图像可得出时的取值范围．【详