新高考一轮复习核心考点讲与练考点12 等式与不等式原卷版

考点12等式与不等式（核心考点讲与练）一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其应用1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大).三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}4.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.不等式的性质1.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不等式的解法2.（2021陕西省西安中学检测）不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0基本不等式以及应用3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最小值为（）A．12B．SKIPIF1<0C．15D．SKIPIF1<04.（2021吉林省实验中学检测）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取最小值，则SKIPIF1<0等于（）A.3 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.41.（2020•新全国1山东）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2019（新课标Ⅱ））若a>b，则A.ln(a−b)>0 B.3a<3bC.a3−b3>0 D.│a│>│b│3.（2020•江苏卷）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是_______．一、单选题1.（2022·广东·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.13 B.19 C.21 D.272.（2022·福建宁德·模拟预测）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.8 C.SKIPIF1<0 D.103.（2022·重庆·一模）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二、多选题4.（2022·全国·模拟预测）已知实数x，y满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A.xy的最大值为SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的最小值为1 D.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<05.（2022·广东汕头·一模）已知正实数a，b满足SKIPIF1<0，则以下不等式正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<06.（2022·江苏泰州·一模）下列函数中最小值为6的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0三、填空题7.（2