《现代通信原理、技术与仿真》课件第10章

第10章正交编码与伪随机序列10.1序列的相关函数10.2超正交单纯码及哈达吗(Hadarmard)矩阵10.3

m序列信号10.4巴克(Barker)序列本章仿真实验举例习题

10.1序列的相关函数

序列信号是由符号按一定的顺序排列构成的。构成序列的符号称为序列元素(或称为码元)，它可以属于{0，1}，也可以属于{+1，-1}。例如，序列{xi}={0101001100}和{xj}={+1+1+1-1+1-1-1}分别是元素属于{0，1}和{+1，-1}的非周期序列信号单元。信号单元中所包含的码元个数称为序列的长度，用L表示。例如，序列{xi}的长度L=10，而{xj}的长度L=7。若由一段序列按次序重复循环出现构成一个无限长的序列，则称这个序列为周期序列，其周期为重复循环的序列的长度。设序列{xi}是元素属于{+1，－1}、长度为L的非周期序列，则其自相关函数定义为

(10.1)

式中：l为相对移位的码元个数，且l<L；xik为序列{xi}中的第k个码元。

如果序列{xi}、{xj}都是元素属于{+1，－1}、长度为L的非周期序列，则其互自相关函数定义为

(10.2)从以上非周期序列信号的相关运算过程中，可以总结出三点：第一，两个序列对应位上元素相乘；第二，对各对应位的积求和；第三，对非周期序列的运算仅涉及L－l项，如果l=0，则涉及L项。

如果序列{xi}是周期序列，其周期为L，则其自相关函数定义为

(10.3)自相关函数的归一化值定义为自相关系数，为

(10.4)

ρii(l)是无量纲的，它只反映相关函数的相对值，在l=0时取最大值，即

ρii(0)=1如果序列{xi}、{xj}都是周期为L的周期序列，则它们的相关运算与波形信号单元相似。在多种发送状态下，系统一般工作在同步状态，即l=0，这时序列{xi}、{xj}的互相关值βij(0)为

(10.5)

归一化的互相关系数为

(10.6)以上讨论了元素取值属于(+1，－1)二元域上的序列相关函数的计算问题。如果序列中的元素属于(0，1)二元域，那么又该如何计算序列的相关函数呢?这里介绍两种方法。第一种方法是把(0，1)元素变换为(+1，－1)元素，然后按元素属于(+1，－1)的序列信号的相关函数的计算方法进行计算。第二种方法是直接在(0，1)域上计算相关函数。对应于式(10.1)及式(10.2)在(+1，－1)域上相关函数的计算，在(0，1)域可以把式(10.1)和式(10.2)中的乘号变为模2(mod2)加号，将求和号变为对应元素的同号个数减去异号个数。设在两序列中求相关时，对应元素相同的个数为A，不同的个数为D，则序列的自相关函数和互相关函数分别为

(10.7)

序列相关函数的归一化值为相关系数，相关系数可由下式求得:

(10.8)

【例10.1】设两个非周期序列分别为{xi}={111100010011010}，{xj}={111000100110101}，试计算同步状态时它们的互相关值。

解：由式(10.7)可得，{xi}与{xj}的互相关函数为

βij(l)=A－D

同步状态时，l=0，这时{xi}与{xj}的对应关系如下：

将它们对应的元素作模2加，则对应元素相同的个数A为模2加结果中0的个数，对应元素不同的个数D为模2加结果中1的个数。由模2加结果可以看出，0的个数为7，1的个数为8，即

A=7，D=8，βij(0)=A－D=7－8=－1,互相关系数为

如果一个系统有M个发送状态，则它需要用M个信号单元来代表。当进行相关运算时，共有M2个相关值。这M2个相关值构成的矩阵叫相关矩阵。相关矩阵在正交编码的信号设计中十分有用。

10.2超正交单纯码及

哈达吗(Hadarmard)矩阵

10.2.1超正交单纯码

设有一个码组，由M个码字组成。在同步相关检测中，它们所有的相关系数ρij(0)(包括自相关系数和互相关系数)可以构成一个矩阵，即矩阵中的每个元素都是相关系数。这个矩阵称为相关矩阵ρ，它是一个M行M列的方阵。

(10.9)在相关矩阵中，对角线上共有M个自相关系数ρ11~ρMM。因而在M2个相关系数中有M2－M=M(M－1)个互相关系数。如果这些互相关系数的最大值maxρij能够达到最小，则称这种

码组为最佳码组。

例如，设M=4、码长L=3的一组码为：

x1=(000)，x2=(101)，x3=(011)，x4=(110)

其相关系数为

由上式可求出M2=42=16个相关系数构成的相关矩阵为

由相关矩阵可以看出，ρij(0)的最大值为maxρij(0)=

ρij(0)=。ρij(0)表示平均值。

可以验证，在M=4、码长L=3的所有码组中，上例是一个最佳码组。这种互相关系数为同一负值的码组称为超正交单纯码。能否通过改变码字数M及码长L来找到互相关系数比－1/3更小的码组呢？互相关系数的最小值与码字数M有何关系呢？下面的定理将回答这些问题。

定理10.2.1若一个码组由M个码字构成，令xi为码字，i=1，2，…，M，则码字之间互相关量的最大值的最低界限

满足:

(10.10)

证明：设xi的码元取值为+1或－1，码长为L。下面首先考查相关矩阵ρ中互相关系数的平均值ρij(0)。

互相关系数都是两个码字对应码元的乘积之和除以码长L，所以上式可化为

为了使ρij

最小化，要求上式括号中的第一项最小。当M为偶数时，第一项最小值为0，即，这时有：

当M为奇数时，的最小值为1，即,

这时有:

由于互相关系数中的最大值的下界等于平均值，所以:

由此可得

定理证毕。定理10.2.1说明，当最大互相关系数达到最小的极限值(下界，取等号)时，最大互相关系数等于互相关系数的平均值。这种情况下所有的互相关系数都相等(即最大值、平均值、最小值是同一个值)，即

(10.11)满足式(10.11)所示的互相关系数都等于某一个最小负值的最佳码称为超正交单纯码。这种最优化的码组是在多元信号单元设计中所希望的。下面进一步讨论超正交单纯码的存在和构造方法。

从码字的个数M来说，对于无穷多个M值都存在相应的单纯码(但不是所有的M值都存在单纯码)。目前，当M≤100时，除了M=57，58，77，78，94以外，均已构造出了相应的单纯码。单纯码的存在问题可用哈达吗矩阵来讨论。现在讨论单纯码的码长L与码字个数M的关系。

定理10.2.2如果在码组中，码字的个数大于2，则当M=4t或M=4t－1时，单纯码的长度L为4t－1的倍数；当M=4t+1或M=4t+2时，单纯码的长度L为4t+1的偶数倍。其中,t为正

整数。

证明：如果单纯码中M为4t(偶数)或4t－1(奇数)，则据单纯码互相关系数的公式，必有:

若不同码字中对应码元相同的个数为A，不同元素的个数为D，则

上面两式联立得：

式中，k=D－A，为某一整数。所以：

L=k(4t－1)

(10.12)

即码长L为4t-1的倍数。

同理，当M=4t+1或M=4t+2时，码长L=q(4t+1)，即码长L是4t+1的倍数。在这种情况下，

q为偶数。关于单纯码的构成,可以通过m序列来分析。m序列的周期L=2n－1，它的L次不同移位可以构成2n－1个不同的码字，即M=2n－1(奇数)。这些码字之间的互相关系数ρij=－1/M，正好符合单纯码的定义。例如，周期L=7的m序列可构成M=7、L=7的单纯码。单纯码的一般构成可用正交编码中的数学工具——哈达吗矩阵来实现。

超正交码或超正交单纯码与正交编码相比更有利于码间的辨认。然而当单纯码中M增大时(显然，码长L要增加)，这两类码间的可辨性十分接近。10.2.2哈达吗矩阵H

哈达吗矩阵是元素取+1或－1的m阶方阵。它的各行之间的互相关量为0，各列之间的互相关量也为0，即各行之间、各列之间是互相正交的。

按照哈达吗矩阵的定义，在哈达吗矩阵中，如果将任意两行互换，或将任意两列互换，或将一行中的每个元素都改变符号，或将一列中的每个元素都改变符号，则都不会改变哈达吗矩阵的性质，即改变后的矩阵仍为哈达吗矩阵。变化后的哈达吗矩阵仍然保持了各行之间、各列之间的正交性。通常称这种变化后的矩阵为等效矩阵，即

(10.13)由上述性质可知，一个哈达吗矩阵通过等效变换总可以变化为第一行和第一列为全“1”元素的哈达吗矩阵。这种矩阵称为标准哈达吗矩阵(又称正规矩阵)，如式(10.14(a)、(b))所示。其中，式(10.14(a))为2阶标准哈达吗矩阵，式(10.14(b))为4阶标准哈达吗矩阵。

(10.14(a))

(10.14(b))显然，一个m阶的哈达吗矩阵，其各行或各列矢量可以构成一个具有m个码字、码长L=m的正交码组。

另外，m阶哈达吗矩阵具有下述特征：

HHT=mI

(10.15)

式中：T表示转置；I为m阶单位方阵。

哈达吗矩阵是讨论正交编码的有力工具。那么，是否任意阶的哈达吗矩阵都存在呢？这个问题在数学上仍未得到彻底证明。但当m为某些整数值时，哈达吗矩阵是可以构造出来的。

定理10.2.3若m≥1是哈达吗矩阵的维数，则满足m=1,2,4t(t为整数)。

证明：m=1时，矩阵I显然是哈达吗矩阵；m=2时,2维哈

达吗矩阵是。

现在来证明，若m≥2时存在m阶哈达吗矩阵，则m必为4的倍数。设m至少有三个矢量X1、X2、X3且x1i、x2i、x3i分别为各矢量的第i个元素。两个矢量之和的内积：

由于哈达吗矩阵中各行正交，所以上式中第1、2、4项为0，故有：

(10.16)

由于x1i、x2i、x3i是各行中的元素，取值为+1或－1，因此上式中(x1i+x2i)(x2i+x3i)的取值要么为0，要么为4，所以m必为4的倍数，即m=4t。

上述定理说明，如果存在哈达吗矩阵，则它的维数必为4的倍数(除m=1,2之外)。那么，是否所有m=4t维数的哈达吗矩阵都存在呢？这个问题仍未解决。但在m≤200时，除了m=116、156、188外的m=4t的哈达吗矩阵早已找到。

定理10.2.4已知H1为m1维哈达吗矩阵，H2为m2维哈达吗矩阵，若H3矩阵为

H3=H1

H2

则H3仍为哈达吗矩阵，且H3的维数为m3=m1×m2。

例如，若有(n=2),且H2=H1,则

m3=m1×m2=4

应用定理10.2.4可以构造出2n(n为正整数)的高维哈达吗矩阵。2n的高维哈达吗矩阵可以用低维的哈达吗矩阵的卡氏(Kroneker)乘积求得。这里所谓的卡氏乘积，是指H1中的“1”元素用H2代替，而H1中的“－1”元素用－H2代替。此定理可以用直观办法验证。

这样就可以以为起点，构成2n维的高维哈

达吗矩阵。

在哈达吗矩阵的基础上，要构造出前面所讲的超正交码是很容易的。

如果m=4t的哈达吗矩阵存在，则可以构成m=4t、4t－1、2t及2t－1的单纯码。下面对此结论进行简单证明。在m=4t的哈达吗矩阵的标准矩阵中，去掉全“1”的第一列之后，将每一行当作一个码字，就构成了码字个数m=4t、码长L=4t－1的码组。这时码字之间的互相关系数都为ρij=。显然，这是一个m=4t(偶数)的单纯码。如果在这个集合中再删去第一行，则构成m=4t－1(奇数)的单纯码。在m=4t的标准矩阵中，由各列的正交性可知，除第一列外，其他各列中“1”元素和“－1”元素的个数各占一半，即2t个。如果去掉某k(k≠1)列中的“1”(或“－1”)元素所在的那些行矢

量，那么只剩下2t行，并且第k个元素都相同，这些行是正交的。如果再除去这些行中的第一个和第k个元素，则构成了m=2t(偶数)、码长L=4t-2的码组。各码之间的互相关系数

ρij=－2/(4t－2)=－1/(2t－1)，可见这也是单纯码。如果将此m=2t的单纯码再删去一行，则构成了m=2t－1(奇数)的单纯码。

10.3

m序列信号

10.3.1

m序列的产生

一个线性反馈移位寄存器系统的线路结构如图10.1所示。它是由n级D触发器(作为移位寄存单元)、若干个模2和加法器以及反馈连线构成的。系统在时钟脉冲CP的推动下，虽然无外界激励信号，但能自动运行起来，且产生一个循环的二进制周期序列，即线性反馈移位寄存器序列。图10.1线性反馈移位寄存器的线路结构图10.1中，ci为反馈系数，它代表某一级Di是否参加反馈的模2加运算。如果Di参加反馈，则ci=1，否则ci=0。一般来说，c1和cn均为1。

下面分析图10.2中由三级(n=3)D触发器构成的线性反馈移位寄存器系统的运动情况，考查输出二进制序列的规律。每个D触发器的状态只能取“0”或“1”。考查系统的输出序列，也就是研究系统中各D触发器的状态组合的演变情况。图10.2三级移位寄存器系统图10.2中，反馈系数c1=0，c2=1，c3=1，即ci的组合为{c1c2c3}={011}。ci及各D触发器的初态决定了D1触发器的输入ak。设三级寄存器的初始状态为D1=0，D2=0，D3=1。在这种情况下，第一个CP脉冲到来后，状态演变为D1=1，D2=0，D3=0;第二个CP脉冲后，状态变为D1=0，D2=1，D3=0。触发器的状态依脉冲节拍的变化情况如表10.1所示，其状态演变过程如图10.3所示。图10.3状态演变过程从表10.1中可看出，第七个状态又回到了移位寄存器的初态。由于反馈系数ci不变，因此第八个状态与第一个状态相同。这样依次下去，就产生了第二个循环，第三个循环……，循环周期L=7。从表10.1中还可看出，任何一个D触发器的输出都是一个周期循环的二进制序列，只不过它们的初始相位不同而已。这种无外界激励而产生的无止境的运动称为线性反馈移位寄存器的自持运动(类似自激振荡器)。以上讨论的移位寄存器序列可用一个递推公式来描述。

设已知序列的前n个元素a1a2a3…an，或n级D触发器的初态和

反馈系数ci，就可以用公式来计算下一个状态序列的输出ak(即k=n+1)。设第一级触发器D1的反馈输入为ak，则D1输出为

ak-1，D2输出为ak-2，Dn输出为ak-n,于是ak的递推公式为

(模2和)(10.17)由式(10.17)可以看出，如果已知序列的前n个元素(或n级D触发器的初态)，就可以由递推公式唯一地确定序列的第n+1个元素。例如，在图10.2所示的系统中，若已知序列前三个元素a1a2a3为100，则第4个元素可由式(10.17)计算得到，图中c1=0，c2=c3=1，故

即序列中的第4个元素为1。表10.1中，D3触发器在第三节拍时的输出状态就是序列的第4个元素。同理，可计算出a5=0，a6=1，a7=1，因而，得到序列的一个循环周期为1001011(即a1a2a3a4a5a6a7)。

由以上分析可知，反馈移位寄存器的自持运动所产生的序列主要取决于反馈系数ci的组合情况。在级数相同的线性反馈移位寄存器系统中，不同的ci组合可以使系统产生不同周期的序列。以n=3为例，若ci的组合为{111}，则系统结构如图10.4(a)所示。此系统的自持运动在不同的初始状态下产生不同周期的循环，如图10.4(b)所示。图10.4

ci为{111}时三级移位寄存器的不同循环情况由图10.4(b)可看出，只要系统初始状态为图中的某一状态，系统就形成该循环状态下的周期序列。图中，三级D触发器的初态全为“0”的000状态和全为“1”的111状态，形成了系统的静止状态。因在这两种情况下，由ci所决定的下一个状态仍为000或111，状态没有改变，故为静止状态。

图10.4(b)中，当初态为101或010时，系统形成周期L=2的101010…序列；当初态为100、110、011或001时，系统形成周期L=4的110011001100…序列。10.3.2特征多项式与序列多项式

为了进一步讨论线性反馈移位寄存器序列与反馈系数ci的关系，可以把ci所处的位置用一个多项式的系数来代表，定义该多项式为

(10.18)

式中，z-i表示ci所处的位置，ci只能取0或1。式(10.18)称为线性反馈移位寄存器系统的特征多项式。在一般系统中，c0和cn总等于1。例如，在图10.2所示的系统中，特征多项式为

f(z-1)=1+z-2+z-3

根据同样的思想，把递推公式所产生的序列按元素的位置用多项式表示出来，该多项式定义为

(10.19)

式中，z-1表示延迟1位码元，ak只能取“0”或“1”。G(z-1)称为线性反馈移位寄存器系统的序列多项式。通过递推公式可以导出，f(z-1)和G(z-1)之间的关系为

(10.20)

式中，h(z-1)称为系统的初态多项式，它取决于电路的初始

状态。由于一般系统中，cn=1，所以f(z-1)中的最高次幂为z-n，而h(z-1)在a-1=1时最高次幂为z-(n-1)，所以h(z-1)中的最高次幂总低于f(z-1)中的最高次幂。由式(10.20)可得，在已知系统初始状

态的情况下，可以用多项式除法(在二元有限域上)来求得输出序列，其结果与由递推公式求得的序列相同。由于初态多项式h(z-1)=1时产生的序列类似于模拟系统的冲激响应，因此称之为冲激响应序列h0(z-1)，即

(10.21)10.3.3

m序列的产生条件

前面分析指出，线性反馈移位寄存器反馈系数ci的不同组合产生不同周期的序列，只有适当的ci组合才能产生周期最长的序列——m序列。那么怎样的ci组合，或系统的特征多项式应满足什么条件，移位寄存器系统才能产生m序列呢？

定理10.3.1若序列{ak}是n级线性反馈移位寄存器产生

的周期最长(L=2n－1)的序列——m序列，则系统的特征多项式f(z-1)应为n次本原多项式。n次本原多项式应满足以下条件：

(1)f(z-1)为既约多项式；

(2)f(z-1)应能整除z-L+1，L=2n－1；

(3)f(z-1)不能整除z-P+1，P为正整数，且P<L。

此定理描述了产生m序列的充要条件。首先，f(z-1)应是既约多项式。如果不是既约的，则产生的序列的周期L<2n－1

(证明从略)。10.3.4

m序列信号的性质

m序列是一种十分重要的优选信号。它具有以下性质：

(1)移位-相加-移位特性(平移等价性)；

(2)伪随机序列性质；

(3)双值自相关特性；

(4)具有包络线为(sinx/x)2型的线状功率谱。

下面来分析m序列的这些性质。

1.移位-相加-移位性质

前述例子中，由D3触发器输出的L=7的序列为0010111，将其移位7次可以得到不同循环序列，如下所示，这里序列前的数字表示移位的次数。

所谓移位-相加-移位性质，是指将移位以后的两个m序列进行模2加法运算，相加的结果仍是一个m序列。此序列是原

m序列移位以后产生的序列，即

(10.22)

这里，mk、mp及mq分别表示原m序列移位k次、p次及q次后的m序列。例如，在上述例子中，有m1

m4=m2,m2

m5=m3，即原序列移位1次和移位4次后的序列相加就是移位2次后的序列,移位2次与移位5次后的序列相加就是原序列移位3次后的序列,即

2．伪随机序列性质

m序列虽然是由移位寄存器电路产生的周期序列，但它却具有与二进制随机序列类似的重要性质，所以称m序列为伪随机序列。m序列是伪随机序列中重要的一种。为了比较m序列与真正的二进制随机序列的关系，下面先来讨论真正的二进制随机序列的性质。

现在来研究一个随机取值的二进制序列。例如，进行抛掷均匀硬币的试验，记录正面和反面出现的过程。出现正面记为+1，出现反面记为－1。这样记录结果构成一个二进制随机序列，称为贝努利(Bernoulli)序列。当该二进制随机序列较长时，它具有以下性质：

(1)均衡性。序列中出现+1和－1的概率各占1/2。

(2)游程特性。所谓游程，是指序列中连续出现相同符号的一段。这一段中包括的元素个数称为游程长度l。当序列较长时，长度l=1的游程个数趋于游程总数的1/2，长度l=2的游程个数趋于游程总数的1/22,以此类推，长度为l的游程个数趋于游程总数的1/2l。

(3)二进制随机序列的自相关函数为δ(·)函数。二进制随机序列的自相关函数定义为

(10.23)

式中，当l=0时，ρ(0)=1。只要l≠0，由于xk与xk+l的取值互相独立，因此它们的乘积为0，有:

(10.24)由于二进制随机序列具有以上三个性质，尤其是其自相关函数的尖锐而无旁瓣特性，使得随机序列成为优选信号单元，但随机序列同样存在着无法复制的问题。

m序列可以通过电路来产生，它是一种能够复制且具有二进制随机序列类似性质的序列。

m序列的伪随机性包括：

(1)均衡性。m序列中“0”和“1”元素的个数在一个循环周期内趋于相等，只是“1”的个数比“0”的个数多1。这个性质与随机序列中“1”和“0”出现的概率各为1/2相似。

例如，当n=3，ci为{011}时，m序列的一个循环周期为1001011，其中“1”的个数为4，“0”的个数为3；当n=4，ci为{0011}时，m序列的一个循环周期为100110101111000，其

中“1”的个数为8，“0”的个数为7。

(2)游程特性。m序列具有与随机序列类似的游程特性。m序列中，游程的总数为2n-1个，长度为l的游程个数约占序列中游程总数的1/2l，即长度为1的游程占1/2，长度为2的游程占1/4，长度为3的游程占1/8，以此类推。此外，还有一个长度为n的连“1”游程和一个长度为n－1的连“0”游程。下面首先确定在周期为L的m序列中最长的游程l的界限。由n级移位寄存器产生的m序列中，各种游程的长度为1≤l≤n，即游程的最大长度为n。如果连续出现n+1个相同的符号(设出现n+1个“1”)，即a1=1，a2=1，…，an+1=1，则由于

，说明序列前n个“1”决定了第n+1个元素仍为1，这样依次递推下去就有an+2=1，an+3=1，等等，即系统一直保持全“1”状态，系统静止，所以必有l≤n。可以证明，长度为l的游程个数占游程总数的比例(除了l=n外)为

(10.25)

由式(10.25)可以看出，在m序列中，游程长度每增加1位，则该游程出现的概率就下降一半，这正是随机二进制序列的重要性质。例如，n=4的m序列111100011010010…中，游程总数

为2n-1=23=8个。l=1的游程数为4个，占游程总数的4/8=1/2；l=2的游程数为2个，占游程总数的1/4；l=3的游程数为1个，

占游程总数的1/23=1/8；l=4(1111)的游程数为1个，不符合这

个规律。

3.双值自相关特性

m序列是一个周期性的序列，其自相关函数为βii(l)=

xik·xik+l,xi∈(－1，+1)，自相关系数为。其中，L为m序列周期长度，l为移位数。

若xi∈(0，1)，则根据序列自相关函数公式，可得:

(10.26)在m序列中，应用式(10.26)计算自相关函数较为方便，因为A－D代表原序列与移位序列模2和后得到的新序列中“0”的个数与“1”的个数的差值。由m序列的移位-相加-移位性质可知，原序列和移位序列模2和后得到的新序列仍为m序列，由

m序列的伪随机性又知，在m序列中“0”的个数比“1”的个数少1个，所以A－D=－1,即有:

(10.27)自相关系数为

(10.28)

式(10.27)和式(10.28)表明，m序列具有非常良好的自相关性质。在l=0时，自相关函数取最大值2n－1，在l≠0的各点上的自相关值为同一负数，所以称m序列为双值自相关序列。这一性质与二进制随机序列的自相关函数在原点有最大值而在其他各点的值为0的性质类似。m序列具有尖锐而无旁瓣的自相关函数，是一种典型的优选信号。以上讨论的m序列的特性(即“0”、“1”元素的均衡性，游程特性以及双值自相关性)与二进制随机序列的性质非常相似，特别是自相关函数的双值性和波形尖锐的特点使得m序列成为信号设计中典型的优选信号单元。此外，同长不同宗的m序列(即不同的本原多项式生成的m序列)之间的互相关特性也较好，互相关量的统计平均值为

(10.29)

4.包络线为(sinx/x)2型的线状功率谱

信号的自相关函数与信号的功率谱密度是一对傅立叶变换，所以m序列的功率谱P(ω)可以用m序列的自相关函数R(τ)求得，即

(10.30)由序列分析可以求得，m序列的功率谱P(ω)为

(10.31)当L=7时，m序列的功率谱曲线如图10.5所示。由式(10.31)可以看出：

(1)在ω=0，处，P(ω)具有线状谱。

(2)在谱线中，每隔L次谐波出现谱能量减小，能量大小不是按的包络线规律下降，而是仅为原包络线强度的1/2n，形成“缺口”。图10.5周期L=7的m序列波形信号的功率谱

(3)m序列功率谱的包络线按变化，在ω=2π/tp的整数倍处出现包络线的零点。当码元采用全占空脉冲，即tp=ts时，“缺口”与零点重合。10.3.5

m序列的应用

1.误码率测量

在数字通信系统中，误码率是一项主要的质量指标。一般来说，在实际信道中传输的二进制数字信号“0”和“1”是等概且随机出现的。因此，在进行误码率测试时，信号源中的“0”和“1”码应该具备以上特征。由于m序列中“0”和“1”码具有均衡性和伪随机性，且在接收端复制m序列十分容易，因而m序列常用来作为误码率测试的数字信号源。图10.6中示出了数字信号单程传输时的误码率测量原理框图。图10.6中,发送端将伪码发生器产生的m序列作为数字信号，经发送设备，通过信道传送到接收端。接收到的数字码与本地产生且和发送端同步的m序列进行比较，记录错误码元个数，并计算出传错的码元数与总码数之比，即得到信道的误码率。图10.6误码率测量原理框图

2.距离及延迟时间测量

雷达测量目标与观察点间距离的测量及信号经过某一系统后时间上延迟(或相移)的测量，都可以通过m序列进行相关检测来实现。目标与观察点之间的距离可以通过信号从目标返回到观察点的时间延迟τ来计算。测距原理如图10.7所示。m序列通过移位后在相关器中与从测量目标返回的m序列进行相关运算。当参考m序列信号的移位延迟等于发送m序列信号在传输路径上的延迟时，相关器输出峰值。由m序列移位的码元数(即时间τ)与电波的空间传播速度就可以计算出目标与观察点之间的距离。测量的精度由序列的码元宽度决定，码元越窄，测量精度越高。如果增加m序列的长度，则可以提高检测信噪比，增加测量的距离。图10.7测距原理利用同样的原理，m序列可作为系统识别中的测试信号。图10.8所示的是m序列在地层结构勘探中的应用原理图。图

中,m序列作为振动信号源，使地层随信号纵向振动(垂直上、下)，振动波每碰到不同结构的介质面就产生回波。通过拾振器(即振动传感检波器)把振动信号(m序列)变为电信号，经放大之后与振动源的m序列信号进行相关处理,然后通过各相关峰值出现的时间及子波(相关波形)形状，判断各种地层的厚度及各层土质的差别，从而为寻找矿类、地下水及石油等资源提供依据。图10.8

m序列在地层结构勘探中的应用原理图

3.数字通信中的加密

现代通信系统对保密性的要求越来越高。数字通信系统中信号的加密可以通过m序列来实现。图10.9所示的是数字信号加密、解密的基本原理图。图中,信源输出的二进制码元与m序列发生器产生的m序列进行模2相加，产生难以理解的数字序列，这就是加密后的信号。加密后的信号在传输过程中若被窃听者截获，窃听者也不能理解其内容。在接收端，将加密后的信号与同步的m序列再进行模2相加运算，就可以恢复原来的数字信号。图10.9利用m序列加密、解密的原理图如果想要破译加密后的信号，就必须了解加密所用的m序列的类型、长度及相位等信息。由于m序列越长(即n越大),不同宗的m序列越多，且不同相位的m序列也越多，破译者找到与发信用的同宗同相的m序列所需的时间越长，所以加密用的m序列越长，破译难度就越大。因而，非线性移位寄存器产生的m序列更适用于通信加密。例如，用n=10的m序列进行加密，假定破译者用大型计算机搜索，每试探一种n=10的m序列设为1纳秒(1ns)，则平均约需2×10134年才能破译密码。这实际上等于不可破译！

4.m序列在扩频通信系统中的应用

所谓扩频通信，是指传输信号的带宽远大于原信号本身带宽的一种通信方式。扩频通信技术是在香农(Shannon)的信道容量公式C=Blb(1+S/N)的指导下产生的。该公式表明，在相同信道容量的条件下，带宽与信噪比是可以互换的，即通过编码利用较宽的频带可以换取低信噪比下的无误信息传输。在扩展频谱系统中，常使用伪随机码来扩展频谱。伪随机码的特性(如编码类型、长度、速度等)在很大程度上决定了扩频系统的性能，如抗干扰能力、多址能力、码捕获时间。在扩频通信系统中，传输信号带宽与原信号带宽的比值用扩频因数Be表示，即Be=B/R，其中，B是扩频后的信号带宽，R为扩频前信号本身的带宽。通常Be的取值在100~1000

之间。

扩频通信系统的工作过程是：在发送端用一高速伪随机序列(称为扩频码)去调制待发送的信号，由于伪随机序列的码速远大于原信息速率，因而传输信号的带宽被大大展宽，这个过程称为扩频；在接收端用与发送端同步的伪随机序列对接收到的信号进行相关处理，把宽带信号还原为原信号，这个过程称为解扩。图10.10中示出了用m序列作为扩频码的扩频通信过程。图10.10扩频通信系统原理图按扩频信号产生的方法不同，扩频通信系统可分为两种：一种是直接序列扩频(DSSS，DirectSequenceSpreadSpectrum)系统，另一种是频率跳变扩频(FHSS，FrequencyHoppingSpreadSpectrum)系统，也称为跳频扩频系统。直接序列扩频(DSSS)系统的基本原理如图10.11(a)所示。为了说明扩频原理，图中略去了信道编码部分。在直接序列扩频系统中，发送端用信码序列(或经信道编码后的信码序列)先对载波进行二进制调相(PSK)，再用伪随机码序列对PSK信号进行二次调制。由于伪随机码的速率远大于信码序列的速率，因而使PSK信号频谱扩展，如图10.11(c)所示。扩展宽度取决于伪随机码的速率Rc，信号带宽W=2Rc。通常用信息码中的

“1”或“0”对应m序列中的一个周期，这样系统的扩频因数Be=L=2n－1。所以,m序列越长,扩频因数越大。由于信码和扩频用的伪随机码都是二进制序列，并且是对同一载波进行调制，因此图10.11(a)中的调制部分可简化为图10.11(b)。图10.11直接序列扩频方框图及频谱在接收端用提取出的时钟信号先产生与发送端同步的伪码(m序列)序列，再用此序列去调制本振，然后将已调本振与接收信号混频，这样就得到了受信码调制的窄带中频信号，频谱如图10.11(d)所示，最后由PSK解调器解调出原信息序列。由图10.11(d)可以看出，由于干扰和噪声与接收端本地伪码序列无关，混频(去扩频)后仍为宽带(如图中的虚线所示)，经中频放大及窄带滤波后，干扰和噪声仅有一小部分落入信号频带内，干扰和噪声电平大大降低，因而使输出信噪比有了很大提高。信噪比提高的倍数称为扩频系统的处理增益Ge，理论上应等于扩频因数Be(实际上可能达不到此值)。处理增益不可能无限制增加，当干扰和噪声被降低到热噪声的电平强度时，信噪比不能再升高，达到此界限的扩频序列的速率称为最佳扩频速率。

跳频扩频(FHSS)系统的原理如图10.12(a)所示。系统中的关键部分是由伪码序列控制的频率合成器。图10.12跳频扩频系统及扩频变化在发送端，系统将由信码调制得到的调频信号(FSK)与由伪码(m序列)控制的频率合成器的输出信号混频。在每个信息码元之内发送一个或几个频率的组合，构成一个矩形包络的梳状扩频频谱，如图10.12(b)所示。扩频因数取决于频率合成器提供的不同频率个数，即伪码序列的不同状态数(每种状态产生一个频率)，频率合成器受m序列控制而产生2n－1个不同的频率。控制频率合成器的m序列速率可以高于，也可以等于或低于信码速率。图10.12(b)所示的是在每个信息码元时间内产生一次跳频时的时频编码图。扩频技术除了可以提高通信系统的输出信噪比外，还可以

应用于以下场合。

(1)抗干扰。

(2)低信噪比通信及信号隐藏。

(3)码分多址(CDMA，CodeDivisionMultipleAccess)。

(4)多径分离，克服衰落。

10.4巴克(Barker)序列

10.4.1巴克序列及其自相关函数

对于巴克序列，首先定义它的自相关函数及其取值，然后按照所要求的条件去寻找符合条件的序列。巴克序列的自相关函数β(l)定义为

(10.32)

式中:L为序列长度;l为位移数;xk为序列的第k个元素。按照以上定义，用试探的方法去寻找在l≠0时自相关值不超出±1的序列。设二元序列的长度为L，计算2L个不同序列的自相关函数，发现某些序列具有良好的自相关特性，完全符合以上条件。到目前为止，已找到码长L=1，2，3，4，5，7，11，13的8种基本巴克序列，如表10.2所示。从巴克码自相关函数的定义来看，巴克码越长越好。序列越长，自相关主峰越高，越尖锐。所以，人们一直在寻找更长的巴克序列。然而，到目前为止，L>13的巴克码仍未找到。

根据巴克码自相关函数的定义，可以得到巴克码自相关函数并画出其波形。图10.13中画出了L=7及L=13时的巴克码(B－7及B－13)自相关函数波形。从图10.13中可以看出，巴克码自相关函数主瓣宽度为一个码的宽度(平均宽度)。因而，巴克码具有良好的脉冲压缩特性。图10.13巴克码自相关函数10.4.2巴克序列的演变

从同步识别的角度来看，希望找到识别性能好而且较长的序列。将巴克码以及与此码反符号的码(实际上仍为巴克码)串排起来，可以构成更长的码。通过尝试，可以找到在l≠0时自相关值β(l)≤+1的良好序列。例如，L=3的巴克码(++－)串排两次，再串一反符号序列(－－+)，则得到L=9的序列。L=9的巴克序列的自相关函数值如表10.3所示。根据式(10.32)巴克序列的自相关函数的定义，考查表10.2中所列的基本巴克序列的逆序列及反号序列可以发现，对任何一种巴克序列，将其首尾顺序逆转，构成逆序列后，仍为巴克序列。同样可以验证，基本巴克序列乘以－1所构成的反符号序列也是巴克序列。

此外，对于基本的巴克序列，还可以将其元素演变为多状态而模仍为1的复数元素，从而构成多种形式的演变巴克序列。例如，将基本巴克序列{xk}按以下方式演变为{yk}：

(10.33)

式中，m为非零整数。当m=1时，yk=1，{yk}就是原来的巴克序列。演变后的{yk}的自相关函数定义如下:

(10.34)

式中，y*k+l为yk+l的复共扼。由式(10.34)可得到:

(10.35)

可见，演变巴克序列与基本巴克序列具有相同的自相关

函数。10.4.3巴克序列的检测

接收并判别巴克码的装置是一个巴克码相关器。它把收到的巴克码各元素与参考巴克码对应的元素相乘，然后求其总和。当收到的巴克码与参考的巴克码相位对齐时，相关器输出峰值L，这一时刻由判决器进行判决。

下面简单介绍用移位寄存器产生巴克码及检测巴克码的例子。图10.14(a)为B－7码(L=7)发生器，其中一种是串行式巴克码发生器，另一种为反馈式巴克码发生器。它们都产生1110010的巴克码(这里用0和1代表－1和+1)。图10.14(b)为

B－7码的检测电路，它由移位寄存器、相加器以及判决电路

构成。图10.14(c)画出了检测波形及判决输出。图10.14(b)中“0”状态对应于相加器的－1V，而“1”状态对应于+1V。输出波形中，假定巴克码的前后为空，调节判决电平，可以调节检测时错判的概率。巴克码作为同步码时，调节判决电平可以调节漏同步或假同步的概率。如果巴克序列的前后不是全“0”的序列，而是1、0等概的随机序列，则这时检测器的输入-输出特性与图10.14(c)会有明显的区别。图10.14

B－7码发生器及检测器设未进入检测器的巴克码的位数为m，则检测器输出的最大可能值为

A(m)=β(m)+|m|

(10.36)

式中:β(m)为巴克码的自相关函数;m应小于巴克码的长度L。

对于7位长的B－7巴克码来说，检测器的输出值如表10.4所示，相应的输入-输出特性如图10.15所示，图中P(m)为出现A(m)的概率。图10.15

B－7码检测器输入-输出特性本章仿真实验举例

1.SystemView仿真举例

所谓扩频通信，是指传输信号的带宽远大于原信号本身带宽的一种通信方式。扩频通信技术是在香农(Shannon)提出的信道容量公式C=Blb(1+S/N)的指导下产生的。根据上述扩频原理，结合SystemView中可利用的元件可以得出如图10.16所示的仿真图。图10.16

m(d=15)序列扩频解扩SystemView仿真图图10.16中,用一个100Hz的随机序列来模拟信号源，和一个由1kHz周期方波控制的m序列发生器相乘进行扩频，其中m序列是15位的(在参数设置中寄存器长度设为4，抽头1、4设为1，其他不考虑)，然后乘一个10kHz的载波。其中，调制和扩频环节可以互换，不影响系统输出。在调制和扩频环节中间

加一噪声，接着同步解调、解扩，然后用前面已经介绍过的

线性系统的模拟滤波器——Butterworth低通滤波器(截止频率为100Hz)进行滤波，最后进行抽样判别(判别器设定一个“1”的判决门限)，得出解调波形。这里要注意的是，采样率一定要大于系统最高频率的两倍，采样点也要多，否则输出就是全1或全0。这里设定采样率为25kHz，采样点为2048。运行以后给各个输出端子的波形(这里的输出端子最好按系统的流程排列)加上标注，如图10.17所示。图10.17

m(d=15)序列扩频解扩SystemView仿真波形由图10.17可以看出，输入、输出波形有一定的延迟，这是由于仿真图中的低通滤波器(元件11)造成的，低通滤波器包含的一些延迟元件造成了信号的延迟。m序列扩频以后的信号是在源信号基础上乘以长度为7、频率为10倍于源信号的m序列。调制后的波形由于载波信号频率为m序列的频率的10倍，所以不是十分明显，调大之后会看到幅度不均匀的波形，这是因为采样点不足，并非仿真系统。不断加大噪声或干扰的幅度，当达到系统的干扰门限时，不能准确地恢复原始波形。在这个系统的基础上可以延伸至63位长的m序列(即6个触发器)的扩频解扩系统。当然，m序列发生器和GOLD序列发生器的仿真图就十分简单了，只是这个系统的一部分而已。以上是m序列d=15时的情形，因此当m序列扩频解扩系统d取不同的值时将得到不同的m序列发生器的仿真情形。

图10.18和图10.19是d=8的情形。图10.18

m序列扩频解扩系统(d=8)仿真模型图10.19

m序列扩频解扩系统(d=8)仿真波形

2.MATLAB仿真举例

1)m序列发生器仿真模型

m序列发生器模型如图10.20所示。其仿真波形如图10.21所示。

根据扩频通信系统原理，可以建立图10.22所示的扩频通信原理仿真系统。图中的伪随机序列发生器的参数设置见表10.5。图10.20

m序列发生器模型图10.21

m序列发生器仿真波形图10.22扩频通信原理仿真系统原始信号波形如图10.23所示。图10.24所示为当m序列

和伪随机信号经过异或运算后得到的信号波形。图10.25~图10.30分别为调制信号波形、解频信号、解调后波形、经

BPSK调制后信号的频谱、解调后频谱和解频后频谱。图10.23原始信号波形图10.24随机序列图10.25调制信号波形图10.26解频信号图10.27解调后波形图10.28经BPSK调制后信号的频谱图10.29解调后频谱图10.30解频后频谱

2)m序列扩频解频MATLAB程序仿真

BPSK源程序如下：

echoon

t0=.15；