2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 第2课时 函数最值的求法教案 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教案新人教B版选择性必修第三册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容来自于2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2第2课时函数最值的求法教案，新人教B版选择性必修第三册。本节课主要学习了利用导数研究函数的最值问题。具体内容包括：

1.了解函数最值的概念，理解最大值和最小值的意义；

2.掌握利用导数求函数最值的方法和步骤；

3.能够运用导数解决实际问题中的最值问题。

在本节课中，我们将通过理论讲解、例题分析、课堂练习等形式，让学生深入理解函数最值的概念，熟练掌握利用导数求函数最值的方法，并能够将所学知识应用于解决实际问题。二、核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算能力。具体包括：

1.数学抽象：使学生能够从具体问题中抽象出函数最值的概念，理解最大值和最小值的意义。

2.逻辑推理：培养学生运用导数性质进行逻辑推理的能力，使学生能够通过导数判断函数的单调性，进而确定最值的存在。

3.数学建模：培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，使学生能够运用导数求解实际问题中的最值问题。

4.数学运算：培养学生熟练运用导数运算求解函数最值的能力，使学生掌握利用导数求函数最值的方法和步骤。三、重点难点及解决办法重点：

1.函数最值的概念及意义；

2.利用导数求函数最值的方法和步骤。

难点：

1.如何从实际问题中抽象出函数最值模型；

2.如何运用导数判断函数的单调性并确定最值的存在；

3.在求解函数最值过程中，如何处理复杂函数的导数运算。

解决办法：

1.通过具体例题引导学生从实际问题中提取关键信息，构建函数最值模型，培养学生数学建模的能力；

2.通过讲解、示范和练习，让学生掌握导数判断函数单调性的方法，引导学生运用导数性质进行逻辑推理；

3.针对复杂函数的导数运算，通过分步讲解、化简变形等方法，帮助学生克服运算困难，提高运算能力。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材，新人教B版选择性必修第三册，以便跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以直观展示函数最值的概念和导数求最值的过程，帮助学生更好地理解和掌握知识点。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，可以准备一些简单的函数模型如斜面模型，让学生通过实验观察和验证函数最值的存在。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将学生分为若干小组，以便进行合作学习和讨论，同时设置实验操作区域，方便学生进行实验和实践。

5.练习题库：准备一定数量的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以供学生在课堂练习和课后复习使用。这些练习题应涵盖本节课所学的知识点，并具有一定的挑战性，以激发学生的学习兴趣和思考能力。

6.教学课件：制作精美的教学课件，包括课堂讲解、例题演示、练习题等，以直观展示教学内容，帮助学生更好地理解和掌握知识点。

7.教学反思表：准备一份教学反思表，以便学生在课后对本次课堂的学习进行自我评价和反思，帮助学生发现自己的不足之处，及时进行调整和提高。

8.教学反馈表：准备一份教学反馈表，以便学生在课后对本次课堂的教学效果进行评价和反馈，帮助教师了解学生的学习情况和需求，及时调整教学方法和策略。五、教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《函数最值的求法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到某个问题的最优解的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索函数最值的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解函数最值的基本概念。函数最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。它能够帮助我们找到函数的极端情况，解决优化问题。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数最值在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调利用导数求函数最值的方法和步骤。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与函数最值相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示利用导数求函数最值的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“函数最值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了函数最值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对函数最值的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。六、学生学习效果1.理解并掌握函数最值的概念，知道最大值和最小值的意义，能够从实际问题中抽象出函数最值模型。

2.掌握利用导数求函数最值的方法和步骤，能够运用导数判断函数的单调性并确定最值的存在。

3.能够运用所学的知识解决实际问题中的最值问题，提高解决实际问题的能力。

4.培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算能力，提高学生的数学素养。

5.增强学生对数学学科的兴趣和好奇心，培养学生的合作交流能力和团队协作精神。

6.通过小组讨论和实践活动，培养学生的表达能力和创新思维能力，提高学生的自主学习能力和问题解决能力。

7.学会与他人分享学习成果，培养学生的批判性思维和评价能力，提高学生的综合运用知识的能力。

8.培养学生的自我反思能力，能够对学习过程进行总结和评价，发现问题并及时进行调整和提高。七、板书设计①函数最值的概念：

-最大值：函数在定义域内取得的最大值

-最小值：函数在定义域内取得的最小值

②利用导数求函数最值的方法：

-求导数：对函数进行求导

-找临界点：找出导数为0或不存在的点

-判断单调性：分析函数在临界点附近的单调性

-确定最值：比较临界点处的函数值，找出最大值和最小值

③实际问题中的应用：

-模型构建：从实际问题中抽象出函数最值模型

-求解最值：利用导数求解实际问题中的最值问题

-问题解决：将求解出的最值应用于实际问题的解决中

板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。可以通过使用彩色粉笔、图示、图表等元素，使板书更加生动有趣。例如，可以用图形表示函数的单调性，用不同颜色标注最大值和最小值，或者用实际问题举例来说明函数最值的应用。通过这种方式，学生可以更加直观地理解和记忆函数最值的概念和求解方法，提高学习效果。八、课后作业1.题目：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的最值。

解答：首先求导数f'(x)=2x-4，然后找临界点，令f'(x)=0，得到x=2。判断单调性，当x<2时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，函数在x=2处取得最小值，即f(2)=2^2-4*2+3=-1。

2.题目：某商品的定价为m元，销量为n件，每件利润为p元。若销量n与定价m的关系为n=k/m（k为常数），求商品的最大利润。

解答：利润y=pn=pk/m。求导数dy/dm=-pk/m^2，令dy/dm=0，得到m=√(pk)。函数在m=√(pk)处取得最大值，即最大利润为y=pk/√(pk)=√(pk)。

3.题目：已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），求函数的最值。

解答：函数的最值取决于a的符号。当a>0时，函数开口向上，最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数开口向下，最大值为f(-b/2a)。

4.题目：某工厂生产两种产品，生产第一种产品获得的利润为x元，生产第二种产品获得的利润为y元。若工厂每天只能生产一种产品，求工厂每天获得的最大利润。

解答：令x=a+b，y=c+d，其中a、b、c、d为常数。则工厂每天获得的总利润为z=x+y=(a+b)+(c+d)。求导数dz/dx=1，dz/dy=1，令dz/dx=dz/dy=0，得到x=c，y=d。函数在x=c，y=d处取得最大值，即最大利润为z=a+b+c+d。

5.题目：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求函数的最值。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9，然后找临界点，令f'(x)=0，得到x=1。判断单调性，当x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；当x>1时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，函数在x=1处取得最大值，即f(1)=1^3-6*1^2+9*1-1=3。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本练习题6.2.2的第1-5题，巩固利用导数求函数最值的方法。

2.结合生活实例，自主设计一个求函数最值的实际问题，并求解。

3.完成课后习题6.2.2的第1-5题，进一步提高利用导数求函数最值的能力。

作业反馈：

1.对学生作业中的错误进行批改，指出存在的问题，如求导数的错误、找临界点的错误、判断单调性的错误等。

2.对