新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题21 空间向量与立体几何(原卷版)

专题21空间向量与立体几何【考纲要求】1、理解空间向量的概念、运算、基本定理，理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；2、会用待定系数法求平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，掌握利用向量法法求空间角的方法。一、空间向量及其运算【思维导图】1、空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，SKIPIF1<0叫作起点，SKIPIF1<0叫作终点；一种是用小写字母SKIPIF1<0（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．向量的夹角：过空间任意一点SKIPIF1<0作向量SKIPIF1<0的相等向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫作向量SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，规定SKIPIF1<0．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．平行于记作，此时．SKIPIF1<0=0或SKIPIF1<0=．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关．只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量，我们把SKIPIF1<0叫作向量的单位向量，记作SKIPIF1<0．SKIPIF1<0与同向．（4）当SKIPIF1<0=0或时，向量平行于，记作；当SKIPIF1<0=SKIPIF1<0时，向量SKIPIF1<0垂直，记作SKIPIF1<0．2、空间向量的基本运算空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：SKIPIF1<0加法交换率：SKIPIF1<0加法结合率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02三角形法则：SKIPIF1<0向量的减法三角形法则：SKIPIF1<0SKIPIF1<0向量的乘法SKIPIF1<0是一个向量，满足：SKIPIF1<0>0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向；SKIPIF1<0<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异向；SKIPIF1<0=0时，SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0向量的数量积1．SKIPIF1<0是一个数：SKIPIF1<0；2．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、空间向量基本定理【思维导图】共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数SKIPIF1<0，使．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．空间向量分解定理：如果三个向量SKIPIF1<0不共面，那么对空间任一向量SKIPIF1<0，存在一个唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．三、空间向量的直角坐标运算【思维导图】空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，，则①；②；③SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0．空间向量运算的的坐标运算设，，则①；②；③；④；⑤SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．空间向量平行和垂直的条件若，，则①，，；②．要点诠释：（1）空间任一点SKIPIF1<0的坐标的确定：过SKIPIF1<0作面SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，在面SKIPIF1<0中，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是．（３）与任意空间向量平行或垂直．四、空间向量的应用【思维导图】用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的方向向量）线线垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的方向向量）线面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直线的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）．线面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0//SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是直线的方向向量，SKIPIF1<0是平面的法向量）面面平行（SKIPIF1<0//SKIPIF1<0）（SKIPIF1<0分别是平面，的法向量）面面垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是平面，的法向量）用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上不同的两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角SKIPIF1<0（平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0）用向量方法求距离 图示向量证明方法点到平面的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量）与平面平行的直线到平面的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的公共法向量）两平行平面间的距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个公共法向量）【题型汇编】题型一：空间向量及其运算题型二：空间向量的应用【题型讲解】题型一：空间向量及其运算一、单选题1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0//SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<04．（2022·天津三中三模）在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·江西新余·二模（文））已知长方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中点，点P满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2二、多选题1．（2022·山东枣庄·一模）如图，平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0D．平行六面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0题型二：空间向量的应用一、单选题1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体SKIPIF1<0中O为面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为面SKIPIF1<0的中心.若E为SKIPIF1<0中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥SKIPIF1<0中，底面边长为SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，点P是底面ABCD内一动点，且SKIPIF1<0，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·北京·二模）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·江西上饶·二模（理））如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0内一动点，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·山西临汾·二模（文））如图，在圆锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点C在圆O上，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为60°时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°6．（2022·四川雅安·二模）如图，长方体SKIPIF1<0中，点E，F分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线SKIPIF1<0能与AE平行；②直线SKIPIF1<0与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面SKIPIF1<0相交于点P，Q，则点SKIPIF1<0可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、多选题1．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体SKIPIF1<0中，点P在线段SKIPIF1<0上运动，则（

）A．直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．异面直线AP与SKIPIF1<0所成角的取值范围是SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值为SKIPIF1<02．（2022·广东梅州·二模）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在体对角线SKIPIF1<0上（含端点），则