反常积分的收敛判别法省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第二节反常积分收敛判别法二、无穷区间形式三、无界函数形式四、小结重点：反常积分收敛判别

难点:反常积分收敛应用一、Cauchy收敛原理1/38一、反常积分Cauchy收敛原理2/38二、无穷区间形式1、非负函数反常积分收敛判别法3/384/385/386/387/388/382、绝对收敛与条件收敛9/382、绝对收敛与条件收敛证2即收敛.10/38例1证11/383、普通函数反常积分收敛判别法12/3813/3814/3815/3816/38阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。狄利克萊Dirichlet,JohannPeterGustavLejeune(1805-1859)

国际性数学奖除了菲尔兹奖和沃尔夫奖（WolfMedal）之外，年又增加了一个新组员——一项奖金额约80万美金数学终生成就奖——阿贝尔奖。17/38非凡数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在奥斯陆）教区穷牧师六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚一所中学里读书，15岁时优异数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发觉了阿贝尔数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程论文。18/38丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔数学才华而惊叹，当初数学界正兴起对椭圆积分研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手处理被认为非常难解方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学研究上。比如，椭圆积分就是很好题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数研究。19/38

阿贝尔18岁时，父亲逝世了，这使生活变得愈加贫困。1821年在洪堡老师帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老“等时线”问题。这是对这类方程第一个解法，开了研究积分方程先河。1824年，他处理了用根式求解五次方程不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根高斯，不过高斯连信都未开封。

1825年，他去柏林，认识了业余数学兴趣者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳提议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包含方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面论文。

20/381826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其它人，但这些见面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他理论。即使没有像克莱尔那样热心人，但他依然坚持数学研究工作。撰写了“关于一类极广泛超越函数普通性质”论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡信中，非常自信地说：“...已确定在下个月科学院例会上宣读我论文,由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值工作，我很想能尽快听到科学院权威人士意见，现在正抬头以待...。”21/38

可是，负责给阿贝尔审稿柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发觉）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。他原希望回国后能被聘为大学教授，不过他这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师。因为过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当初是不治之症,但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究,该病一直折磨阿贝尔直到1829年逝世。22/38阿贝尔和雅可比（CarlGustavJacobi1804-1851）是公认椭圆函数论创始人。这是作为椭圆积分反函数而为他所发觉。这一理论很快就成为十九世纪分析中主要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发觉了椭圆函数加法定理、双周期性。另外，在交换群、二项级数严格理论、级数求和等方面都有巨大贡献。这些工作使他成为分析学严格化推进者。在这个时候，阿贝尔名声伴随克莱尔杂志广泛发行而传遍了欧洲全部数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数论文，而且知道了巴黎科学院所作蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗议：23/38“...这在我们生活这个世纪中，恐怕是数学中最主要发觉，即使向‘老爷们’研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生注意，这是为何呢？...”。而因为阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔病情不停发展，甚至连医生也束手无策了。

1829年4月5日夜间，阿贝尔病情急剧恶化，于4月6日早晨11点逝世。作为命运捉弄人是，在他逝世后第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽可能用最好药品治疗，不要考虑费用支出。他亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。24/38

克莱尔在他《学报》中所写纪念文章里这么赞扬阿贝尔：“阿贝尔在他全部著作中都打下了天才烙印和表现出了不起思维能力。我们能够说他能够穿透一切障碍深入问题根底，含有似乎无坚不摧气势...。他又以品格纯朴高尚以及罕见谦逊精神出众，使他人品也像他天才那样受到人们不一样寻常爱戴。”不过数学家们另有他法纪念他们中伟人，因为我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。极少有几个数学家能使他名字同数学中这么多概念和定理联络在一起。谁也不难想象，要是他活到正常寿命话该