高观点下的初等数学选讲省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

福建师范大学数学与计算机科学学院陈清华Email：cqhmath@

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1/16一、矩阵代数（从代数角度看变换）1、定义2、低阶矩阵3、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）22/16一、矩阵代数（从代数角度看变换）4、矩阵运算

（1）加法（减法）（2）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？类似整数除法）注：矩阵乘法几何意义：变换合成！（3）数乘“。”（这不一样于数与行列式乘法）（4）转置（共轭转置）33/16一、矩阵代数（从代数角度看变换）5、数域Fn*n阶矩阵（即n阶方阵，关于以上定义加法、乘法、数乘组成数域F上一个n2维非交换，有零因子代数，即运算律！）6、可逆矩阵与矩阵求逆（1）定义：（2）可逆阵判定:（3）基本性质44/16一、矩阵代数（从代数角度看变换）（4）可逆阵求逆法（i）初等变换法（ii）公式法（iii）依据变换几何意义求逆矩阵（iv）尤其地n=2时7、矩阵特征值、特征向量与特征多项式55/16二、线性变换（从几何角度看变换）1、向量空间（线性空间）定义回顾2、低维向量空间3、基与维数4、线性变换定义5、线性变换与矩阵一一对应关系

66/16二、线性变换（从几何角度看变换）6、可逆线性变换性质（1）将直线变成直线（2）将线段变成线段（3）将平行四边形变成平行四边形77/16三、初等数学中常见线性变换及对应矩阵1、旋转变换设平面上建立了直角坐标系，全部点绕原点沿着逆时间方向旋转同一个角度α，则这个变换是线性变换，求这个线性变换及对应矩阵2、关于原点中心对称变换是特殊旋转变换3、恒等变换是特殊旋转变换88/16三、初等数学中常见线性变换及对应矩阵4、反射变换证实关于直线Ax+By=0反射变换是线性变换，试求出该变换对应矩阵，它是可逆矩阵吗？

99/16三、初等数学中常见线性变换及对应矩阵例：平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原点O，倾斜角分别是α，β，设A,B分别是表示直线l1,l2反射变换，求（1）A,B复合变换BA矩阵（2）BA复合AB矩阵（3）依据矩阵说明BA,AB是什么变换？这两个变换是否相同。

1010/165、位似变换6、伸压变换7、投影变换

注：平面上变换T有逆变换，必须满足两个条件：（1）平面上不一样点被T变到不一样点（2）T将平面变到整个平面。（由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直线）三、初等数学中常见线性变换及对应矩阵1111/168、依据变换几何意义求矩阵逆思索：保持长度不变（内积不变，距离不变）线性变换是什么变换？三、初等数学中常见线性变换及对应矩阵1212/161、定理2、推论3、定理例1：求下面图形面积（1）平行四边形OABC，其中A(1,1),B(-2,1)（2）三角形OAB，其中A(1,1),B(-2,1)（3）平面四边形ABCD，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2)

四、矩阵（变换）思想在相关面积求解中应用1313/16（4）已知矩形OBCD顶点A(t,0),B(0,k)，矩阵T＝

代表变换个将矩形OABC变到图形OA’B’C’，求变换后图形OA’B’C’与变换前图形OABC面积比。四、矩阵（变换）思想在相关面积求解中应用1414/164、定理：线性变量将平面上全部图形面积放大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式绝对值。例2、求椭圆x2/a2+y2/b2=1（其中a>b>0）内接菱形面积最大值，以及何时取得最大值。例3、利用伸缩变换将某个圆变成椭