第01讲 二次根式的概念（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第01讲二次根式的概念课程标准学习目标①二次根式的定义②二次根式有无意义的条件掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式。掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值。知识点01二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。其中叫做二次根号，叫做被开方数。判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。两者必须同时满足。【即学即练1】1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A．，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B．，三次根式，故此选项不合题意；C．，是二次根式，故此选项符合题意；D．，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：C．知识点02二次根式有无意义的条件二次根式有意义的条件：二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数大于等于0。即中，。注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。【即学即练1】2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥6 B．x≥﹣6 C．x≤﹣6 D．x≤6【分析】根据二次根式有意义的条件可得6+x≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：6+x≥0，解得：x≥﹣6，故选：B．题型01判断二次根式【典例1】下列式子是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义：形如（a≥0）的式子，逐一判断即可解答．【解答】解：A、无意义，故A不符合题意；B、不是二次根式，故B不符合题意；C、是二次根式，故C符合题意；D、无意义，故D不符合题意；故选：C．【变式1】若a为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．当a＜﹣1时，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．当﹣1＜a＜1时，不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式2】已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是个数有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．【解答】解：二次根式有①③④，共3个，故选：C．【变式3】若是二次根式，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．【解答】解：∵是二次根式，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．【变式4】若是二次根式，则x的取值范围是（）A．x为非负数 B．x≠1 C．x≥1 D．x＞1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．题型02根据二次根式有意义的条件求取值范围【典例1】若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得：﹣x+1≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x﹣1≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．【变式2】若二次根式有意义，则x的取值范围是x＜2．【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【变式3】若代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．【解答】解：∵x+1≥0，∴x≥﹣1，∵，∴x≠3，∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．故答案为：x≥﹣1且x≠3．【变式4】若，则（）A．a≥6 B．a≥0 C．0≤a≤6 D．a为一切正实数【分析】由二次根式可知要使有意义，则根号里面的数不能小于0，再进行列式计算即可．【解答】解：由题可知，，解得a≥6，故选：A．【变式5】若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可．【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．题型03利用二次根式有意义的条件求值【典例1】若，则a+b的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【分析】根据二次根式有意义的条件得出2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，求出b＝2，再代入求出a＝﹣1，最后求出a+b即可．【解答】解：要使有意义，必须2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，解得：b＝2，所以a＝0+0﹣1＝﹣1，即a+b＝﹣1+2＝1．故选：A．【变式1】若x，y都是实数，且y＝，则xy的值是（）A．﹣ B． C．2 D．﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，再代入xy计算即可．【解答】解：由题意，得，解得x＝，∴y＝﹣1，∴xy＝．故选：C．【变式2】如果实数a满足|2021﹣a|+＝a．那么a﹣20212的值是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【分析】根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∴|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故选：A．【变式3】已知：，则（﹣x）y＝﹣．【分析】根据二次根式为非负数，列不等式组可得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得，解得x＝，∴y＝3，∴（﹣x）y＝（﹣）3＝﹣．【变式4】已知x、y为实数，且，求y﹣x2+17的值．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，从而得出x、y的值，代入进行计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝4，∴当x＝4时，y＝2023，∴y﹣x2+17＝2023﹣42+17＝2024．1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、是三次根式，故此选项不符合题意；C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．2．若式子是二次根式，则a的值不可以是（）A．0 B．﹣2 C．2 D．4【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．【解答】解：∵式子是二次根式，∴a≥0，即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，故选：B．3．当a＝﹣2时，二次根式的值为（）A．2 B． C． D．±2【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可解决问题．【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝＝2．故选：A．4．当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：当x＝2时，，，，故选项A、B、C不符合题意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即没有意义，选项D符合题意．故选：D．5．若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．6【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：有意义，则a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．6．若有意义，则x可以取（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．【解答】解：由题意得：2x+1≥0，解得，即x可以取的值是0．故选：A．7．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故选：D．8．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1 B．9 C．4 D．5【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．【解答】解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．9．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．10．已知，则2xyz的相反数是（）A． B． C． D．【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出x、y、z的值，再把x、y、z的值代入2xyz计算，得出2xyz的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【解答】解：在中，∵，，|x﹣2y|≥0，|z+4y|≥0，∴可得：，解得：，∴，∴2xyz的相反数是．故选：B．11．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是②④．（只填序号）【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；③的根指数是3，故不是二次根式，④a2+1＞0，故是二次根式；所以一定是二次根式的是②④．故答案为：②④．12．如果是二次根式，那么x应满足的条件是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．13．如果，那么xy的值是100．【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入xy计算．【解答】解：∵，，∴x＝10，∴，∴xy＝102＝100．故答案为：100．14．如果，那么x+y的平方根为±．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴y＝3，∴x+y＝2+3＝5，∴x+y的平方根为±．故答案为：±．15．要使式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵要使式子有意义，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．16．当x分别取下列值时，求二次根式的值．（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2．【分析】直接将（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式＝＝3；（2）把x＝，代入二次根式＝＝；（3）把x＝﹣2，代入二次根式＝＝5．17．已知实数x，y满足等式，求3x+4y的立方根．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出对应的立方根．【解答】解：∵要有意义，∴，∴x＝5，∴，∴3x+4y＝3×5+4×3＝27，∵27的立方根是3，∴3x+4y的立方根是3．18．若x，y是实数，且．（1）求x，y的值；（2）求的值．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件进行解题即可；（2）将求出的x与y代入进行求解即可．【解答】解：（1）由题可知，，解得x＝，将x＝代入，解得y＝．故x＝，y＝．（2）将x与y代入得＝＝．19．（1）已知一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，求这个数．（2）已知x，y为实数，且，求的平方根．【分析】（1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出a+3+2a﹣15＝0，求出a的值，得出这个数的一个平方根，即可得出这个正数；（2）先根据二次根式有意义的条件得出x＝9，从而求出y＝4，代入求出，即可得出答案．【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，∴这个数一个平方根为4+3＝7，∴这个数为72＝49；（2）∵x，y为实数，，∴，∴，∴x＝9，∴y＝4，∴＝＝6，∴的平方根为．20．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平