江苏省南京市2020-2021学年度高二年级上册开学考试数学试题含详解

试卷主标题

姓名：班级：考号：

一、选择题(共24题)

1、圆(x+D'+/=4的圆心坐标和半径分别是()

A.(1,0),2B.(-1,0),2C.(1,0),4D.(-1,0),4

2、sin1O'cos37+cosWsin37=()

淄_也迫]

A.TB.Tc.TD.2

3、若直线3x+ay-l=°与直线x-y+l=0平行，则a=()

3

A.-3或-1B.-IC.-3D.2

4、设也因是不同的直线，口户是不同的平面，则下列选项中正确的是()

A.若m±a,以-L户，则加，户B.若ml/n,«ca,则mHa

C.若m±<2；,户，m,则a_L户D.若mHa,尸，mUn,则a"B

5、在“BC中，a,b,c分别为内角A,B,。的对边，若a=18,&=20,乙4=30。,

则解此三角形的结果有()

A.无解B.一解C.两解D.一解或两解

下20-g_2#+12灰-1

A.~~6~B.-6-C.6D.6

7、已知A/BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且a=3,b+c=5,

tanA+tanB+y/3=y/3tanAtanB,则“BC的面积为（）

12g3书

A.~1~B.3栏c.~D.也

8、已知椭圆16+T=的左，右焦点分别是耳片，若椭圆上存在一点M,使

（。友+叫鸟航=。（。为坐标原点）,且瓯|=£网,则实数£的值为（）

A.2B.2点C.6D.1

9、已知1为虚数单位，则严勤等于（）

A.iB.1C.-iD.-1

X1vJ

上+匕=1

10、椭圆45的焦点坐标是（）

A.（±L°）B.（垃①C.（0，±l）D.（。，±3）

1k若函数y庚在区间（＞a,a+l）上存在极值点，则实数a的取值范围是（）

A.（3,-K»）B..（-l+°o）D.（T+oo）

12、为参加校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数

分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人.若每人只参加1个项目，并且舞蹈和演唱项

目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（）

A.12B.24C.36D.48

13、函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数

n3JT,3n5n

A.3万）B.5,2叽.T'VD.（2兀,3z）

14、某人射击一次命中目标的概率为2,且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次

命中且恰有3次连续命中的概率为

A.杪C.吟D.吟

15、已知函数〃x)=x-smx,则不等式〃x+l)+〃2-2x)>0的解集是

A.ST).(-J

/1、

C.-3，+<>DD.(3,恢)

16、法国的数学家费马(PierredeFermat)曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简

单的猜想：当整数%>2时，找不到满足x*+/=z*的正整数解.该定理史称费马最后定理，

也被称为费马大定理.现任取x，"z,Me{L2,3,4,5),则等式/+y*=z*成立的概率为()

112147

A.12B.625C.625D.625

17、已知直线11：3x-y-1=0,12：x+2y-5=0,13：x-ay

-3=0不能围成三角形，则实数a的取值可能为()

1

A.1B.3C.-2D.-1

18、下列说法中正确的是()

A.在中，若/+/</,则“8。一定是钝角三角形

2Ba+c

COS

B.在中，若22c,则“5C是直角三角形

C.在d4BC中，若i12tan-4=a2tan5,则4ABe一定是等腰三角形

-----+------=4

D,sin50°cos50°

19、已知圆。的半径为定长＞A是圆。所在平面内一个定点，尸是圆上任意一点，线

段好的垂直平分线，和直线。尸相交于点。.当点F在圆上运动时，下列判断正确的是（）

A.当点A在圆。内（不与圆心重合）时，点。的轨迹是椭圆；

B.点。的轨迹可能是一个定点；

C.点。的轨迹可能是抛物线.

D.当点A在圆。外时，点。的轨迹是双曲线的一支

20、大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以

压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的

驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴。8在平面a内绕

点。左右摆动，平面日与水平地面垂直，。3摆动的过程中，点A在平面户内绕点B作

圆周运动，并且始终保持BeB.设。8=448,在“大摆锤”启动后，下列结

论正确的是（）

A.点A在某个定球面上运动;

B.户与水平地面所成锐角记为8,直线仍与水平地面所成角记为＜5,则为定值;

C.可能在某个时刻，AB//a.

而

D.直线0A与平面a所成角的正弦值的最大值为17.

21、在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的

4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是（）

3

产（X=2）=2

A.7B.随机变量X服从二项分布

O

E（X）=-

C.随机变量X服从超几何分布D.5

工+二=1

22、已知三个数1。9成等比数列，则圆锥曲线a2的离心率为

SVio

A.陋B.Tc.~D.上

23、某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、

生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习.现有甲、乙、丙三人，若同学甲

必选物理，则下列结论正确的是（）

A.甲的不同的选法种数为10

B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

1

C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是5

2

D.乙、丙两名同学都选物理的概率是4

24、已知函数/（Z）=ln|x|-X+x,给出下列四个结论，其中正确的是（）

A.曲线在x=l处的切线方程为""1=0

B.恰有2个零点

C.既有最大值，又有最小值

D.若入迷2>0且〃再)+/*2)=0,贝I」五电=1

二、填空题(共8题)

工+2-1

1、若方程搐1-m表示焦点在尸轴上的椭圆，则实数加的取值范围为.

2、在四面体S-ABC^,M_L平面ABC,血C=120。，SA=2,BC=币，则该四面体

的外接球的表面积为.

3、已知圆M-x'+/-2x-2ly-2=0,直线/：2x+y+2=0,p为，上的动点.过点P作

圆M的切线PA,PB,切点为A,8,当忸阳11阴最小时，直线班的方程为.

4、已知A/BC中，角A、B、C所对的边分别是。、8、c,边上的高为CD,且

a色

2CD=AB,则方+占的取值范围是.

5、设曲线>在点OR处的切线与直线*+2了-6=0垂直，则&=.

6、若zeC且匕+3+4心2,则忸的取值范围为.

7、若对任意实数x,1y都有

i22

Q-2»=%(x+2y)5+a1(.x+2y)y+ai(.x+2yfy+a3(x+2y)/+a4(x+2^)/+<%/,则

%+4+%+%+%+%的值为.

xxe-0汗一(xHx)

8、已知函数〃幻=5+1)/+。的，若对于任意的可(kX?,均有

|/(再)-/5)|《卜"'-0"成立，则实数a的取值范围为.

三、解答题(共12题)

1、如图，三棱柱3C-4用G中，阳,底面ABC,且为正三角形，。为47中点.

(1)求证：直线加1〃平面BCQ；

(2)求证：平面8GZ)_L平面

2、设耳，玛分别是椭圆的左、右焦点，M是C上一点且M居与x

轴垂直，直线峥与C的另一个交点为N.

3

(1)若直线儿W的斜率为4,求C的离心率；

(2)已知(1)中椭圆上一点到左焦点的最大距离是6,求该椭圆方程.

3、在①加是8c边上的高，且ADBC=6-j3,②M平分ABAC,且7,③

AD一昱

皿是BC边上的中线，且2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出

边8。的长.

问题：在锐角"BC中，已知AB=A,AC=3,是边5c上一点，_____,求边8c的

长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

4、已知圆"的方程为(x-T+/=2.

⑴求过点掰2刃的圆"的切线方程;

(2)若直线过点(2,3),且直线］与圆"相交于两点p、Q,使得/对①=90,求直线7

的方程.

_C—+—=1-

5、已知椭圆43的右焦点为F,斜率为2的直线1与C的交点为A,5,与x

轴的交点为P.

(1)若网+网=3,求■的直线方程;

(2)若AP=3PB,求直线4的方程.

6、已知椭圆0/+%="八"’°)的离心率为I,左、右焦点分别为及,玛，且玛到直

1一+曙1叵

线a占的距离为7.

(1)求椭圆。标准的方程；

(2)过耳的直线加交椭圆C于尸，0两点，。为坐标原点，以为邻边作

平行四边形OPDQ,是否存在直线m,使得点D在椭圆。上？若存在，求出直线m的方

程；若不存在，说明理由.

7、为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个

问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每

2123

人回答问题正确的概率均为3,乙队每人回答问题正确的概率分别为2,3,且两队

各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求乙队总得分为1分的概率.

8、若(齿)的二项式展开式中前三项的系数和为163,求:

(1)该二项式展开式中所有的有理项；

2)该二项式展开式中系数最大的项.

9、如图，在正四棱柱3⑵-44CQ中，阳=2,4=1,点N是8c的中点，点M在

cq上，设二面角A-DN-般的大小为火

(1)当8=90。时，求期的长；

cos5=—

(2)当6时，求CM的长.

10、高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间

为.[80,90),[90,100)?[100,110),[110,120)>[120,130),[130,140)>[140,150]其中明

b,c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100

分)，若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优

分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数6920105

(1)根据频率分布直方图，求出实数占，C的值以及数学成绩为“优”的人数;

(2)已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记

X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和数学期望.

11、已知函数/W=2/-ax2+l(aeR).

(1)若”3,求函数/⑶的单调区间；

(2)当”>0时，若函数了⑶在51口上的最大值和最小值的和为1,求实数。的值.

f(x\=ax---\nx

12、已知函数1x(aeR).

(1)若“X)是定义域上的增函数，求a的取值范围；

2

(2)若a>5,若函数〃x)有两个极值点公，勺(4<小),求的取值范

围.

============参考答案============

一、选择题

1、B

【分析】

根据圆的标准方程直接写出圆心和半径.

【详解】

因为圆的方程为(x+D'+^=4,

所以圆心为(T，°),半径为r=2,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了圆的标准方程，圆心，半径，属于容易题.

2、A

【分析】

利用两角和的正弦公式得解.

【详解】

sin10*cos35'+cos10,sin35*=sin(W+35")=sin45'=—

故选：A

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式sm3+A)=sin比cos户+cosasin氏属于基础题.

3、C

【分析】

3=a_-1

根据两直线平行，得到T=ZT*T,即可求解.

【详解】

3a—1

由题意，直线3十+取-1=0与直线x-»+l=0平行，则f=丁，解答a=-3.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用，其中解答中熟记两直线平行的条件是解答的

关键，着重考查运算能力.

4、C

【分析】

对于A,用“力或对于B,也/3或谶ua；对于C,由面面垂直的判定定理得

aJ•户；对于D,a与产相交或平行.

【详解】

解：由施，附是不同的直线，户是不同的平面，知：

对于A,若掰_La,aJ_户，则也//尸或阳u户，故A错误；

对于B,若mlln,«ca,则切〃）或maa,故B错误；

对于C,若mLa,",户，mLn,则由面面垂直的判定定理得•凡故C正确；

对于D,若附"a,"〃凡mlln,则a与户相交或平行，故办错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，属于中档题.

5、C

【分析】

根据正弦定理即可判定三角形解的个数.

【详解】

解：根据题意，在08。中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，

abbxsinA

,----=----—,sinBn=-------

则sin』sin5,变形可得a,

sin5=-

又由a=18,b=20,4=30。，则有9；

又a<b,即A<B,

由于A为锐角，则5有两解，即解此三角形有两解；选项ABD错误，选项C正确.

故选：C.

6、D

【分析】

结合同角三角函数基本关系计算力的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.

【详解】

由

7T7T

=COS一a+—e

又3,所以6

.(.(k]7T(万、.穴

sma=sina-\------=sina+—cos---cosa+—sin—

[66)I6)616)6

_2应书_11_276-1

=^rx~~3x2=-6—

故选：D

【点睛】

本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公

式.

7、A

【分析】

结合正切两角和的正切公式求出A+B,进而求得角C,然后结合余弦定理解三角形即可求

出边长6，*从而利用三角形的面积公式即可求出结果.

【详解】

解：—4BC中，tan4+tanB+/=gtanAtan8,

所以tanj+tan5=-V3(l-tanj4tan5),

tan.+8)=m'+t3n8=-0(1如小如功=

所以1-tan/tanB1-tan-4tanB

2打

又.8e（。,礼所以"3=7,

所以--如与后；

c2=a2+/-2abcosC=9+/-2x3xZ>xcos—

由余弦定理得3,

即，=/-劭+9,①

又"c=5,②

&=竺」9

由①②解得一亍，c=y

所以08C的面积为△皿22727

故选：A.

8、D

【分析】

由（。河+。玛）/河=0,依据向量的几何意义可得°M=0%,即OM为月月的一半，所以△

鹏月为直角三角形，结合勾股定理可求得加玛、5，即可确定匕的值

【详解】

由题意，可得如下示意图

...（。股+°玛）.玛M=0,依据向量的几何意义知：△肠。玛为等腰三角形

。肠=。招=。=2点，即0M为片玛的一半

可知△卿写为直角三角形，且Z型明=90°

...有+峥”片彳，螭=2a-峥，可得啤:4,MF\=4

又瓯知:/=i

故选：D

【点睛】

本题考查了根据向量的数量积为0的几何含义判断三角形的形状，进而由三角形的性质求得

相关线段的长度，即可确定参数值

9、A

【分析】

利用虚数单位的扇的周期性即可得解.

【详解】

■2021.4x503+1.4\如..

故选A.

【点睛】

本题考查虚数单位1的累的运算，一般地，=上=0,123).

10、C

【分析】

从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据点=/-/求。的值.

【详解】

由椭圆方程得：1=5,"=4,所以?=1,又椭圆的焦点在犷上，

所以焦点坐标是(°，±D.

【点睛】

求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x轴型还是》轴型，防止坐标写错.

11、B

【分析】

先求解导数，求出极值点，结合极值点和区间的关系进行求解.

【详解】

函数”X看的导数为y=2J+xV=xe*(x+2),

令y'=。，则X=O或x=-2,

当xe(-2,0)时，了⑶单调递减，

当xe(-oo「2)和xe(0,4<»)时，/⑶单调递增，

所以0和一2是函数7(X)的极值点,

因为函数=在区间（l-a,a+l）上存在极值点，

所以1或1-4<0<。+1,

解得

故选：B.

12、B

【分析】

由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：

一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2

名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目.

另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、

演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目.

再利用排列组合的有关知识即可得出.

【详解】

由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：

一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从2

名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有

C；或=2x3x1x2x1=12种，即12种；

另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、

演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目，共有CQQ；G&=3X2X2X1X1=12种，即12

种.

综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数=12+12=24.

故选：B.

13、B

【分析】

求尸（X）后令尸（"<°可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项.

【详解】

令f(x)=xcosx-sinx贝［j/'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx令/(x)>0,可得

xe(2碗+兀2ATT+2不)，尢eN或xe(-2k7r-2兀-2尢才-汗)，尢eN

故选B.

【点睛】

一般地，若在区间(。㈤上可导，且/'(x)>0(/1(x)<0)>则〃x)在(内幻上为单调增

(减)函数；反之，若〃x)在区间(。⑶上可导且为单调增(减)函数，则f(x)“(/(x)40).

14、B

【分析】

由于射击一次命中目标的概率为I,所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连

续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.

【详解】

因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有《种情况，

A：0’

所以所求概率为(2).选B.

【点睛】

本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

15、B

【详解】

由题可得〃F)=-x+sinx=-/(x),所以函数/(x)为&上的奇函数，所以/(x+l)+/(2-2x)>0

可化为了"+1)>/(2X-2),又/'(x)=l-cosx>0,所以函数/(X)是&上的增函数，则由

〃x+l)>/(2x-2)可得x+l>2x-2,解得x<3,故不等式〃x+l)+/(2-2x)>0的解集为

S3.故选B.

16、B

【分析】

根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的

个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

由任取近123,4,5},使得/+/=/,共有5x5x5x5=625种不同的情形，

当*=1时，可得x+7=z,

可得1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+1=3,2+2=4,2+3=5,3+1=4,3+2=5,4+1=5,共有10种情

况，满足题意；

当附=2时，可得

可得32+42=52,42+32=52,共有2种情况，满足题意；

当力=3,45时，没有满足x*+y*=z*成立的情况，

尸-工

所以等式/+/=/成立的概率为625.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得

所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

17、BCD

【分析】

根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行

求解即可.

【详解】

_2

因为直线人的斜率为3,直线12的斜率为-5,所以直线儿，2一定相交，交点坐标是方

|3X-7=1

程组1x+2y=5的解，解得交点坐标为：（1,2）.

当4=0时，直线4与横轴垂直，方程为：x=3不经过点（L2）,所以三条直线能构成三角形;

当时，直线4的斜率为：/

Ln。」

当直线1।与直线13的斜率相等时，即。3,此时这两直线平行，因此这三条直

线不能三角形；

，一4—2

当直线与直线/3的斜率相等时，即«="2“二一，此时这两直线平行，因此这三条

直线不能三角形；

当直线过直线交点（L2）时，三条直线不能构成三角形，即有l-2a-3=0na=-l,

故选：BCD

【点睛】

本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考

查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

18、ABD

【分析】

一―cocos2-=-

对于A,根据2ab,从而判断三角形形状；对于B,若22c,化

简得sin8cosc=0,从而C=90'；对于C,将/tanj=（?tan8化简得sm2/=sm28,从而

根据1,B的关系判断三角形形状；对于D,通分化简即可求得结果.

【详解】

解：在中，角A,B,C的对边分别为a,b

①对于选项A：若1+/<1，即

一89—。

所以2as

则“BC一定是钝角三角形，故选项A正确.

2Ba+cl+cos5sinJ41

cos-------=------+-

②在“BC中，若2百，贝U22sinC2,

g|Jsin^=cos5sinC,又sinA=sin(5+C)=sin5cosC+cosBsinC

从而有sin5cosC=0,则在“BC中，C=90",

所以"BC一定是直角三角形，故选项B正确.

③由于小2tan4=以2tan8,

sin5

sin"_cos8

sin2AsinAsin5cosA

则cos工整理得sin-4cos5,

1.

-sin2B=-sin2A,

所以22,故sin2J4=sin2B,

A+B=-

所以2/=2B或2A=TT-2B,故/=B或2,

所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.故c错误;

2使sm500+1cos50°

[22J

_cos50。sin50。=isin100°

④原式-sin50°cos50°2

2sin8002sin80°.

________=_______=4

11

-sin1000-sin800,小出工

22,故选项D正确.

故选：ABD.

19、ABD

【分析】

根据A点所在的位置分类讨论，结合椭圆、抛物线、双曲线的定义判断即可;

【详解】

解：对/,如图1,连接Q%

由已知得侬=1网.

所以\QO\+\QA\=\QO\+\QP\=\OP\=r

又因为点A在圆内，所以1。川＜1。刊，

根据椭圆的定义，点。的轨迹是以。，A为焦点，r为长轴长的椭圆.

对B,如图2,

p

图？

当点A在圆上时，点Q与圆心重合，轨迹为定点；

对C,由于当点A与圆心。重合时，点°的轨迹为圆，综合A,B,3可知点。的轨

迹不可能为抛物线.

对D,如图3,连接QA,

由已知得侬=网.

所以||。4一|3||=|。尸|一|。0||=8|5

又因为点A在圆外，所以10旬＞1°刊,

根据双曲线的定义，点。的轨迹是以。，A为焦点，r为实轴长的双曲线.

故选：ABD.

20、ABD

【分析】

根据题意建立数学模型进而求解出答案.

【详解】

解：因为点A在平面户内绕点8作圆周运动，并且始终保持OB*,

所以OA=4OBi+AB2

又因为。8,为定值，所以OA也是定值,

所以点A在某个定球面上运动，选项A正确;

作出简图如下，

<5+6=—

所以2,选项B正确；

因为Bea,所以不可能有AB//a,选项C错误;

设AB^a,则OB=Aa,OA=^AB2+OB2=-717a,

当时，直线OA与平面a所成角最大；

a而

此时直线OA与平面&所成角的正弦值为鬲-亍，选项D正确.

故选：ABD.

21、ACD

【分析】

利用超几何分布判断B、C的正误，求出随机变量才的概率和数学期望值判断/、〃的

正误即可得解.

【详解】

由题意知随机变量X服从超几何分布，故8错误，C正确；

随机变量X的所有可能为0,1,2,3,4,

产（x=o）=4

&14,

产（X=l）=等得

C2c23

产（X=2）=空=上

&7,

产（尤=①=萼=3

435,

尸心4）唱=3,

8

,,E（X）=0?—1?—2?-3?—4?—

故故/,D正确.

故选：ACD.

【点睛】

易错点睛：超几何分布和二项分布的区别:

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要;

（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；

(3)当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.

22、BC

【分析】

由等比数列的性质求出-再判断曲线类型，进而求出离心率

【详解】

22

二+匕=1

由三个数1，凡9成等比数列，得­=9,即a=13；当a=3,圆锥曲线为32,曲线为

椭圆，则e==T;当。=-3时，曲线为T-T=,曲线为双曲线，”忑=万,

.V10

则离心率为：彳或

故选BC

【点睛】

本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解。的取值，属于中档题

23、AD

【分析】

本题首先可以根据从剩下5门课中选两门判断出A正确，然后根据甲、乙、丙三人至少一

人选化学与全不选化学是对立事件判断出B错误，再然后根据条件概率的计算判断出C错

误，最后根据乙、丙两名同学各自选物理的概率判断出D正确.

【详解】

A项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即点=10种选法，故A正确;

B项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B错误；

C[_2

c项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是卷故c错误；

史」

D项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率^-2,

_1X_1—_1

所以乙、丙两名同学都选物理的概率是22-4,D正确，

故选：AD.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及组合数的运算，考查对立事件的

判定以及条件概率的计算，考查运算求解能力，考查推理能力，是中档题.

24、BD

【分析】

A选项，利用导数求V=/（x）在x=l处的切线斜率，进而得切线方程，A错误；C选项，

由y=〃x）的导数推导函数y=/（x）的单调性，利用函数的单调性来判定了⑶既无

最小值也无既最大值；B选项，由函数y=/（x）的单调性及/（-1）=/"）二°,可得了（X）恰有

2个零点；D选项，根据演芯2>0分类讨论，利用/（公）+/3）=0得再根据函

数的单调性可得x/2=l,D正确.

【详解】

对于A,当x>0时，由于函数/W=lnX-X+x,

所以

所以」（1）=0,

所以曲线y=在x=l处的切线方程为了=7（x7）,

即x+y-l=o,故A错误;

jfr（x）—5-1="（---）——<0

对于B、C,因为x>0时，xx2x4,

所以了⑶在区间（0，的）上单调递减.

1-、11T

/cu*/（r）=ln（-x）-x+A/（x）=---y-l

x<0时，x,xx

同理可知,（X）在区间（-8,0）上单调递减，所以C错误；

又/（-1）=0,/。）=0,

所以了⑶恰有2个零点，所以B正确；

对于D,若才2>0,由〃药）+/Q）=0,

/\?、（,1）,111

XZ

/（1）=-/（2）=-lnx2-x2+—=ln—+-—=/—

kX2）x2_LX、

得为，

0r.〃幻=/@]

即\X2j.

因为/（X）在（°，E°）上单调递减，所以“-兀，即*2=1.

同理可证当々<0,々<0时，命题也成立.故D正确.

故选BD.

二、填空题

1、吗）

【分析】

根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数用的取

值范围.

【详解】

—+^--=1

解：由题可知，方程幡\-m表示焦点在V轴上的椭圆，

0<w<—

可得1-ra>m>0,解得：2,

所以实数制的取值范围为：

(0,1)

故答案为：2\

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.

40斤40开

2、~~

【分析】

2r=过_

在A/BC中，利用正弦定理，求得外接圆直径为‘一二厚，再结合球的性质，求得球的半径,

进而求得外接球的表面积，得到答案.

【详解】

在中，因为NB/C=120。，5C=A/7,

2-BC

sinZ.BACy/3

可得的外圆球直径为2

(2A)2=(2r)2+^42=+4,=—40

又由球的性质，可得3

会d=—

所以球的表面S积为一3.

40开

故答案为：

【点睛】

运用公式改=户+屋(r为底面多边形的外接圆的半径，穴为几何体的外接球的半径，d表

示球心到底面的距离)求得球的半径，该公式是求解球的半径的常用公式，该方法的实质是

通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.

3、2x+y+l=0

【分析】

根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四

点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程.

【详解】

OM：^+/-2X-27-2=0,则+(>-1)2=4,圆心为(1」)，半径r=2,

如图，连接四边形皿B的面积为以正阳”圻，要使|E舷H4最小，则需四

边形尸⑷，B的面积最小，

即只需△叫M的面积最小，因为MM=2,,所以只需|取|最小，又

陷==加叶4,

所以只需直线2xty+2=°上的动点尸到点"的距离最小，其最小值是圆心到直线，的距离

/，此时FML,

2x+y+2=0fx=-1

所以直线的方程为x-2y+l=0.由1-2>+1=0,解得]了=0,所以产(-1,0),

所以点EAK8四点共圆，所以以点刃/为直径的圆的方程为"+"-/=*)’,即

/+y'-2x-2y—2=0

/+/_了_]=0,联立两个圆的方程Ix2+/-7-1=0得直线"的方程为：2x+y+l=0.

故答案为：2x+y+l=0

【点睛】

在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长

等问题.

4、［2,2旬

【分析】

由余弦定理得出〃+/=/+2而加。，由三角形的面积公式得出c2=2absmC,进而可得出

±+：=20sin(c+皙2+士

。右〈4九利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得ba的取值范围.

【详解】

如下图所示:

由余弦定理得/=/-2而cos。，..a2+b2=c24-2abcosC,

：CD=-AB=-c,-S/=」aBsinC=Lc£,,

22,由三角形的面积公式得皿222,得c2=2absinC,

baa2+b2_r-.(开、

a2+b2=2ab(sinC+cosC)=2应aSsinC+g—I—=--------=2J2sinC4--

则abab\A)

7T7T5TT7F7F厂开ba

—<C+—<—C+—=—C*——公+取得最大值虚.

0<C<7F,444,当42时，即当4时,g2

*“「1=2

由基本不等式可得当且仅当时，等号成立,

因此，£+5的取值范