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经济数学基础辅导第12讲顾静相3.3函数的单调性教学要求

掌握利用导数判断函数的单调性方法．函数的单调性

从几何直观上分析，容易看到，下图中的曲线是上升的，其上每一点处的切线与

x轴正向的夹角都是锐角，切线的斜率大于零，即f(x)

在相应点处的导数大于零；函数的单调性相反地，下图中的曲线是下降的，其上每一点处的切线与

x轴正向的夹角都是钝角，切线的斜率小于零，即

f(x)在相应点处的导数小于零．函数单调性的判别定理

定理3.4设函数

y=f(x)

在区间

(a,b)

内可导．

（1）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)>0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调增加；

（2）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)<0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调减少．函数单调性的判别定理

定理3.4设函数

y=f(x)

在区间

(a,b)

内可导．

（1）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)>0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调增加；

（2）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)<0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调减少．

如果将定理中的开区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理的结论仍成立．

保持

f

(x)不变号的区间，就是函数

y=f(x)

的单调区间．函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,+∞)；因为

，令

，得

x1=1，x2=2；

函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,+∞)；因为

，令

，得

x1=1，x2=2；

以点

x1=1，x2=2为分点，将函数定义域分为三个子区间：(-∞,1)，(1,2)，(2,+∞)；当

x∈(-∞,1)时，f

(x)>0；当

x∈(1,2)时，f

(x)<0；当

x∈(2,+∞)时，f

(x)>0；函数单调性的判别当

x∈(-∞,1)时，f

(x)>0；当

x∈(1,2)时，f

(x)<0；当

x∈(2,+∞)时，f

(x)>0；所以该函数的单调增加区间为(-∞,1)

和

(2,+∞)，单调减少区间为(1,2)．函数单调性的判别例2求函数

的单调区间．函数单调性的判别例2求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)；因为

，

(x

≠

-1)；所以函数在

(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调增加．函数单调性的判别例3

试证当

x>0

时，

．函数单调性的判别例3

试证当

x>0

时，

．证

只需证明当

x>0

时，有

．因为

f(x)在

[0,+∞)连续，在

(0,+∞)

可导，且

，函数单调性的判别当

x>0

时，

，f(

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