广东省广州市数学高二上学期测试试题及解答

广东省广州市数学高二上学期测试试题及解答一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知函数f(x)=|x-2|+|x+3|，则不等式f(x)≤8的解集是()A.{x|-5/2≤x≤9/2}B.{x|-3≤x≤2}C.{x|x≤-3或x≥2}D.{x|-9/2≤x≤5/2}

首先，考虑函数fx根据绝对值的性质，我们可以将数轴分为三个区间进行讨论：当x≤fx=−x−2x−1≤8解得：x≥−9fx=−x−2当x≥fx=x−2x+1≤8解得：x≤72{x|{x−92≤x≤−3}∪{因此，最终解集为：{x|2、已知点Pa,b是圆x2+答案：1解析：设点Pa,b为了求ab根据基本不等式，对于任意非负实数x和y，有：x+y2≥xya2+b212≥14≥a2b2−12≤ab≤由于题目要求ab的最大值，所以ab的最大值为故答案为：123、若函数fx={2x答案：(解析：函数fx是一个分段函数，我们需要分别考虑x≤1当x≤1时，函数我们需要解不等式2x移项得2x由于2x是增函数，且21=2<当x>1时，函数我们需要解不等式log2利用对数的性质，将不等式转换为指数形式得x−即x≤但由于我们在这个区间内只考虑x>1的情况，所以解为综合以上两种情况，不等式fx≤2的解集为(−∞,3]（注意，虽然第二种情况我们得到了1<4、已知向量a→=1,1，ba然后，根据向量模的定义，计算a→a故答案为：26。5、已知函数f(x)={

x^2-2x,x≤0

(1/2)^x,x>0

}

若函数g(x)=f(x)-k有两个零点，则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1/2)C.[-1,0)∪(0,1/2)D.[-1,0)∪(0,1)

首先，我们分析函数fx当x≤0时，fx=x2−2x当x>0时，fx=12x，这是一个指数函数，其底数小于1，因此在0,+接下来，我们考虑函数gx由于fx在(−∞,0]和0,当k<0时，由于fx在x=0处已经为0，并且当x趋近于负无穷时，fx趋近于正无穷，因此gx在(−∞,0]上有一个零点。同时，由于k<0，gx当k>0时，为了使fx在(−∞,0fx在0,+∞上需要大于k，并且随着x的增大而减小到小于k。由于fx在0综合以上两种情况，实数k的取值范围是[−故答案为：D.[−6、已知函数fx=3a−1A.0,1B.0,1对于x<1，函数fx3a−a对于x≥1，函数0在分段点x=3a−1×1+4a≥log另外，我们还需要确保在x=1处，左边的函数值不大于其在x<limx→1−3a−1x+4a7a−a综合以上三个条件，我们得到：1故答案为：C.17、若命题“存在实数x使得x^2+2ax-a=0”为真命题，则实数a的取值范围是_______．A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.[-1,0)D.(-∞,-1]∪(0,+∞)答案：D解析：考虑方程x2+2计算判别式：Δ=2a24a2+4a≤−1 或 故选：D。8、已知a>0，b>0，若函数f(x)=4^x-a^x-1在[0,1]上有且零点只有一个，则a的取值范围是()A.(2,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[1,2]

首先，令t=2x，由于x函数fx=4x−接下来，我们考虑gt在1由于gt是一个开口向上的二次函数，且gt在g1⋅g2≤0g1对于第一种情况g1g1=1−a−1=−ag2=4−2a−1=3−2a对于第二种情况g1=0或g2=若g1=0，则a若g2=0，则a=32。但此时gt=t2−但我们需要考虑a在(32,2]的情况。此时，g1<进一步，当a=2时，当a>2时，g2>0，但ga2综上，a的取值范围是2,3（但a=3时g2>0且g1<故答案为：A.(2,3二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列命题正确的是()A.“x=1”是“x^2-3x+2=0”的充分不必要条件B.“x^2+2x-3>0”的一个充分不必要条件是“x>2”C.“x,y∈ℝ”且“x^2+y^2=0”的一个必要不充分条件是“x=y=0”D.命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”A.对于命题A，“x=1”代入”x2−3x+2=0“，得到B.对于命题B，“x2+2x−3>0”的解集是x<−3或x>1。“x>C.对于命题C，“x,y∈R”且”x2+yD.对于命题D，命题”若xy=0，则x=0或y=0“的否命题是”综上，正确答案是ABD。2、下列说法中正确的是()A.若p∨q为真命题，则p，q均为真命题B.命题“若x^2=1，则x=1”的否命题为“若x^2=1，则x≠1”C.“x=-1”是“x^2-5x-6=0”的必要不充分条件D.命题“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为真命题A.对于命题“若p∨q为真命题，则考虑p∨q的定义，只要p或q中有一个为真，因此，p∨q为真并不意味着p和所以A选项错误。B.对于命题“命题‘若x2=1，则x=1’的否命题为‘若否命题的定义是同时否定条件和结论。原命题的条件是x2=1其否命题应为“若x2≠1所以B选项错误。C.对于命题“‘x=−1’是‘x首先，解方程x2−5x−这意味着x=因此，x=所以C选项错误。D.对于命题“命题‘若xy=0，则x=0原命题的逆否命题是“若x≠0且y≠这是一个真命题，因为当x和y都不为0时，它们的乘积也不为0。所以D选项正确。故答案为：D。3、下列说法正确的是()A.两个数的差一定是正数B.两个数的和一定大于其中任何一个加数C.互为相反数的两个数的和为零D.两个数的积一定大于这两个数A.对于两个数的差，我们不能确定其正负性。例如，3−5=B.对于两个数的和，我们也不能确定它是否大于其中任何一个加数。例如，3+−2C.互为相反数的两个数，它们的和确实为零。例如，3和−3互为相反数，它们的和3D.对于两个数的积，我们不能确定它是否大于这两个数。例如，3×2=综上所述，正确答案是C。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、已知向量a→=1,2，ba→+a→+2b→⋅−1×−2+y=122、已知直线l₁：kx-y+1=0与直线l₂：x+ky-k-1=0相交，则交点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

首先，我们找出两条直线的斜率。对于直线l1:k对于直线l2:x接下来，我们分析两条直线的位置关系。当k>m1=km2=−由于两条直线的斜率异号，它们必然相交于第一象限或第四象限。当k=l1l2此时两条直线相交于点1,当k<m1=km2=−由于两条直线的斜率异号，它们必然相交于第二象限或第四象限。综合以上三种情况，我们发现两条直线的交点不可能在第三象限。故答案为：C.第三象限。3、已知全集U={x∈ℕ|x≤5}，集合A={1,2,4}，B={2,3,5}，则A∩(∁UB)=()A.{1,2,4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}答案：B解析：首先确定全集U的元素。根据题目，全集U={x接着求集合B的补集∁UB。补集的定义是在全集U中但不在B中的元素组成的集合。因此，最后求集合A与集合∁UB的交集A∩故答案为：B.{1四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题题目：在棱长为2的正方体ABCD-A’B’C’D’中，E,F分别为AB,AD的中点。求证：A’F⊥平面C’EF；求点A到平面C’EF的距离。答案：证明：第一步，连接A’C’和C’D。由于正方体的性质，我们知道A’C’⊥C’D，且A’C’⊥DD’。第二步，由于DD’∥AA’，所以A’C’⊥AA’。又因为AA’∩DD’=D，所以A’C’⊥平面ADD’A’。第三步，由于EF在平面ADD’A’内，所以A’C’⊥EF。第四步，在三角形A’D’F中，由于E,F分别为AB,AD的中点，所以EF∥BD’。又因为BD’⊥A’D’，所以EF⊥A’D’。第五步，由于A’C’∩A’D’=A’，所以EF⊥平面A’C’D’。又因为A’F在平面A’C’D’内，所以EF⊥A’F。第六步，结合第三步和第五步的结论，我们得到A’F⊥平面C’EF。求距离：第一步，由于A’F⊥平面C’EF，所以A’F是点A’到平面C’EF的垂线。第二步，连接AF，由于AA’⊥平面ABCD，所以AA’⊥AF。又因为AF在平面ABCD内，所以AA’⊥平面A’EF。第三步，由于A’F⊥平面C’EF，所以A’F也是点A到平面C’EF的垂线（因为AA’与A’F共线）。第四步，计算A’F的长度。在直角三角形A’D’F中，A’D’=2，D’F=√2（因为F是AD的中点，且正方体的棱长为2），所以A’F=√(A’D’^2-D’F^2)=√(4-2)=√2。所以，点A到平面C’EF的距离为√2。解析：本题主要考查了正方体的性质、空间几何中的垂直关系以及点到平面的距离计算。通过连接辅助线，利用正方体的性质和垂直关系的传递性，我们可以证明A’F⊥平面C’EF。然后，利用点到平面的距离等于该点到平面内任意一点的连线中垂线段的长度，我们求出点A到平面C’EF的距离。第二题题目：已知函数fx=logax−1+1（a>0答案：2解析：首先，对于函数fx=logax−1+1将x=2代入fx因此，函数fx的图象恒过定点P接下来，设幂函数为gx=x由于点P2,1在幂函数g解这个方程，得到α=0（注意：这里α不能取使得底数为0或负数的值，但在这个特定情况下，只有因此，幂函数为gx=x最后，代入x=2，得到g2=20=1。但这里有一个错误，因为实际上当注意：上述解析中的最后一步关于g2的值存在错误，正确的答案应该是g2=1（如果第三题题目：已知函数f(x)=|x-2|+|x+3|。求不等式f(x)≥9的解集；若∃x₀∈ℝ，使得f(x₀)<m成立，求实数m的取值范围。答案：当x≤−3时，fx=当−3<x<2当x≥2时，fx=x综上，不等式fx≥9由绝对值的三角不等式a+b≥因为∃x0∈R，使得由于fxmin=解析：对于绝对值函数，我们需要分区间讨论。根据x的取值范围，去掉绝对值符号，转化为一次不等式求解。利用绝对值的三角不等式求出fx的最小值，然后根据存在性命题确定m第四题题目：已知函数fx=logax2−2a答案：实数a的取值范围是0,解析：令gx=x由于对数函数logax的单调性取决于底数a，当a>1时，loga题目要求fx在区间−∞,−1上是增函数。由于f当a>1时，logax是增函数，但此时需要gx在−∞,−1上也是增函数且gx>当0<a<1时，logax是减函数。此时需要gx在−∞,−1上是减函数且g接下来需要确保gx>0在−∞,−1上恒成立。由于gg−要使g−1>0，即2a−2>0，解得a>1。但这与之前的0<a<1矛盾。然而，这里我们需要注意到，由于gx在−