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文档简介
2025届福建省泉州市晋江市安溪一中、养正中学高一年级第二学期期末调研数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到次结束为止.某考生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围为()A. B. C. D.2.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知函数,其中,,其图象关于直线对称,对满足的,,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()A. B.C. D.4.设,是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()A. B. C. D.5.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为()A. B. C. D.6.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.7.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或8.已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.9.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.10.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为()A.-2 B.-1 C. D.11.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为______.14.在平面直角坐标系中,已知圆及点,设点是圆上的动点,在中,若的角平分线与相交于点,则的取值范围是_______.15.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.16.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中正确的是______.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同;②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元;④利润最高的月份是2月份.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.(2)当时,证明:.18.(12分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线与直线的直角坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,求的值.19.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,点P在棱DF上.(1)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,求PF的长度.20.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.(1)若平面,证明:平面.(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知.(1)求的单调区间;(2)当时,求证:对于,恒成立;(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据题意,分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知,,,则解得,由可得,答案选A本题考查离散型随机变量期望的求解,易错点为第三次发球分为两种情况:三次都不成功、第三次成功2.D【解析】
由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D.本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.3.B【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得的值,结合其对称轴,求得的值,进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得的单调递减区间.【详解】解:已知函数,其中,,其图像关于直线对称,对满足的,,有,∴.再根据其图像关于直线对称,可得,.∴,∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令,求得,则函数的单调递减区间是,,故选B.本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.4.B【解析】
设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,,即,由,列出相应方程,求出离心率.【详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,,即,由,所以有,化简得,所以离心率.故选:B.本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题.5.C【解析】
如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C.考点:外接球表面积和椎体的体积.6.D【解析】
与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小.【详解】,,又,∴,即,∴.故选:D.本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较.7.D【解析】
由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.8.D【解析】
根据题意,求出函数的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数,又由,分析可得答案.【详解】解:根据题意,函数,其导数函数,则有在上恒成立,则在上为增函数;又由,则;故选:.本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数单调性的性质,属于基础题.9.A【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.10.B【解析】若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,符合题意;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;综上选B.11.D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.12.B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x,可求得,代入圆柱的表面积公式,即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x,则由,得,∴.故答案为:本题考查了圆柱的轴截面和表面积,考查了学生空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.14.【解析】
由角平分线成比例定理推理可得,进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标,代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程,再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离,所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.【详解】由题可构建如图所示的图形,因为AQ是的角平分线,由角平分线成比例定理可知,所以.设点,点,即,则,所以.又因为点是圆上的动点,则,故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆,又即为该圆上的点与原点间的距离,因为,所以故答案为:本题考查与圆有关的距离的最值问题,常常转化到圆心的距离加减半径,还考查了求动点的轨迹方程,属于中档题.15.【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.16.①②③【解析】
通过图片信息直接观察,计算,找出答案即可.【详解】对于①,2至月份的收入的变化率为20,11至12月份的变化率为20,故相同,正确.对于②,支出最高值是2月份60万元,支出最低值是5月份的10万元,故支出最高值与支出最低值的比是6:1,正确.对于③,第三季度的7,8,9月每个月的收入分别为40万元,50万元,60万元,故第三季度的平均收入为50万元,正确.对于④,利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元,高于2月份的利润是80﹣60=20万元,错误.故答案为①②③.本题考查利用图象信息,分析归纳得出正确结论,属于基础题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)在上有解,,设,求导根据函数的单调性得到最值,得到答案.(2)证明,只需证,记,求导得到函数的单调性,得到函数的最小值,得到证明.【详解】(1)由题可得,在上有解,则,令,,当时,单调递增;当时,单调递减.所以是的最大值点,所以.(2)由,所以,要证明,只需证,即证.记在上单调递增,且,当时,单调递减;当时,单调递增.所以是的最小值点,,则,故.本题考查了函数的切线问题,证明不等式,意在考查学生的综合应用能力和转化能力.18.(1)曲线的直角坐标方程为;直线的直角坐标方程为(2)【解析】
(1)由公式可化极坐标方程为直角坐标方程,消参法可化参数方程为普通方程;(2)联立两曲线方程,解方程组得两交点坐标,从而得两点间距离.【详解】解:(1)曲线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为(2)据解,得或本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查参数方程与普通方程的互化,属于基础题.19.(1).(2).【解析】
(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,则(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),计算夹角得到答案.(2)设,0≤λ≤1,计算P(0,2λ,2﹣2λ),计算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根据夹角公式计算得到答案.【详解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四边形ABCD为矩形,∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中点,∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ,则cosθ,∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为.(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),设P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),设平面APC的法向量(x,y,z),则,取x=1,得(1,﹣1,),平面ADP的法向量(1,0,0),∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,∴|cos|,解得,∴P(0,,),∴PF的长度|PF|.本题考查了异面直线夹角,根据二面角求长度,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.(1);(2).【解析】
(1)根据椭圆的离心率为,得到,根据直线与圆的位置关系,得到原心到直线的距离等于半径,得到,从而求得,进而求得椭圆的方程;(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论,写出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,向量的数量积,结合已知条件求得结果.【详解】(1)由离心率为,可得,,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为,因与直线相切,则有,即,,,故而椭圆方程为.(2)①当直线l的斜率不存在时,,,由于;②当直线l的斜率为0时,,,则;③当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,,,由及,得,有,∴,,,,∴,综上所述:.该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,求向量数量积,在解题的过程中,注意对直线方程的分类讨论,属于中档题目.21.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)因为,利用线面平行的判定定理可证出平面,利用点线面的位置关系,得出和,由于底面,利用线面垂直的性质,得出,且,最后结合线面垂直的判定定理得出平面,即可证出平面.(2)由(1)可知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,标出点坐标,运用空间向量坐标运算求出所需向量,分别求出平面和平面的法向量,最后利用空间二面角公式,即可求出的余弦值.【详解】(1)证明:因为,平面,平面,所以平面,因为平面,平面,所以可设平面平面,又因为平面,所以.因为平面,平面,所以,从而得.因为底面,所以.因为,
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