浙江省杭州市2024-2025学年高一数学下学期教学质量检测试题含解析

PAGE18-浙江省杭州市2024-2025学年高一数学下学期教学质量检测试题（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合.【详解】，，.故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算实力，属于基础题.2.函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域是（）A.[2，+∞） B.（2，+∞） C.（﹣∞，2） D.（﹣∞，2]【答案】C【解析】试题分析：利用对数函数的性质求解．解：函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域满意：2﹣x＞0，解得x＜2．∴函数f（x）=log3（2﹣x）的定义域是（﹣∞，2）．故选C．考点：对数函数的定义域．3.已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：故选：C.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向右平移【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图像的变换原则即可求解.【详解】，函数向左平移，可得，故选：C【点睛】本题考查了三角函数的变换原则、诱导公式，属于基础题.5.已知向量，．若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算得出，然后利用平面对量数量积运算律计算的值，由此可计算出的值.【详解】，，又，，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用平面对量的数量积求向量的模，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算实力，属于基础题.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式化简，得，，以及，利用二倍角公式化简所求式子，可得答案.【详解】解：由得，因为，所以，则，所以，故选：A【点睛】此题考查了诱导公式、同角三角函数的关系、正余弦的二倍角公式等学问，属于基础题.7.若是公差不为的等差数列，满意，则该数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，可得，依据题意求得，然后利用等差数列的基本性质得出，利用等差数列求和公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，可得，，，即，，，所以，，由等差数列的基本性质可得，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算实力，属于中等题.8.如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合+=1，即可解得的值．【详解】半径r＝|OB|1，由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；∵点B的坐标为（，），|BC|，∴，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1，∴解得sin或，又点位于第一象限，∴0<<，∴sin，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.若不等式对随意实数恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】分类探讨，当时，转化为恒成立问题得且；当时，转化为或恒成立得且，综合即可求解.【详解】解：当时，即时，恒成立，所以恒成立，所以且；当时，即时，恒成立所以或恒成立，所以且，综上，故选：D【点睛】本题考查分类探讨和不等式恒成立问题，属中档题.10.已知平面对量，，，对随意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】设,,，由题意可得点在以为直径的圆周上，设圆心为,作出图形，过作,交于点,交圆于点,向量在上的投影的长等于向量在上的投影的长.所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.），设,则，则，可得答案.【详解】设,,,则,对随意实数x，y都有，成立即对随意实数x，y都有，成立即，.所以点在以为直径的圆周上.设圆心为.为向量在上的投影的长.过作交于点,交圆于点,如图,由，则所以向量在上的投影的长等于向量在上的投影.所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.）.则设,则，则当时，有最大值所以的最大值以为故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难题.二、填空题：（本大题有7小题，11－14每小题6分，15－17每小题4分，共36分）．11.向量，，且，则__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，可求得的值，然后利用平面对量数量积的坐标运算可计算得出的值.【详解】，，且，，解得，则，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数，同时也考查了平面对量数量积的坐标运算，考查计算实力，属于基础题.12.有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为，扇形面积为．【答案】，．【解析】试题分析：，∴弦长为，面积．考点：1．弧度制；2．扇形的弧长面积公式．13.函数的部分图像如图所示．若（点A为图像的一个最高点），，则__________，__________．

【答案】(1).(2).【解析】【分析】由点为图像的一个最高点，可求出振幅，再由，可求出周期，从而可求出的值，然后代入其中的一个点的坐标可求出的值.【详解】解：因为点为图像的一个最高点，所以，由图可知，，得，所以，解得，所以，将点坐标代入中，得，所以，，因为，所以，故答案为：；【点睛】此题考查了由三角函数的图像求解析式，考查了正弦函数的图像和性质，属于基础题.14.已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由奇函数的性质得出，可求得实数的值，然后求出代值计算即可.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，则，解得.所以，当时，，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用奇函数的性质求参数，同时也考查了函数值的计算，考查计算实力，属于基础题.15.在数列中，，，且数列为等比数列，则__________．【答案】【解析】【分析】由等比数列通项公式求出，然后由累乘法求得．【详解】∵为等比数列，由已知，，，∴，∴时，，也适合此式，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式．假如已知，则用累加法求通项公式，假如已知，则用连乘法求通项公式．16.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别在边BC，CD上，且，则的大小为__________．【答案】【解析】【分析】先分别设，，则在中，由勾股定理得，再分别表示出，，之后利用正切的和角公式求即可解决.【详解】解：设，，则，，因为是直角三角形，，所以由勾股定理得：，化简得,在中，，在中，，所以，又因为，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理实力与运算实力，是中档题.17.已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】因为，所以，画出的图像，通过分析图像与x轴交点，结合分段函数的性质，可求出a的范围．【详解】由题意得，即，如图所示，因为恰有两个不同的零点，即的图像与x轴有两个交点．若当时，有两个零点，则令，解得或，则当时，没有零点，所以．若当时，有一个零点，则当时，必有一个零点，即，综上【点睛】本题考查了函数的零点与方程，应用数形结合的方法，将方程求根问题，转换成图像与x轴交点的问题，再结合零点个数，进行分析推断，属中档题．三、解答题：（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．18.设集合，．（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）解出集合、，由可求得实数的值；（Ⅱ）求得，利用可得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ），，，且，所以，，解得；（Ⅱ），，则或，又，所以，解得.因此，实数的取值范围是．【点睛】本题考查利用集合的运算求参数，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算实力，属于基础题.19.已知函数，．（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）．又，，即，．（2），，且，，即的取值范围是．20.已知数列的前n项和满意，且是，的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（1）先依据得是以2为公比的等比数列，再依据是，的等差中项列式解得即可求解；（2）先依据对数求出，再依据错位相减法求和即可.【详解】（Ⅰ）因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列．又是，的等差中项，所以，即，解得，所以数列的通项公式．（Ⅱ）由（1）及得，，设，则①②①－②得：．【点睛】本题考查等比数列的定义，错位相减法求和，考查数学运算实力，是中档题.21.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，AB边上中线CD长为4．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由诱导公式和两角和的余弦公式可得；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，设，，，由余弦定理得，再在中，由余弦定理求得，从而得各边长，由面积公式可得三角形面积．【详解】（Ⅰ）∵，，∴，，，∴．（Ⅱ）∵，设，，，由余弦定理：，，∴，在中，，即，解得（舍去），∴，，．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式和同角间的三角函数关系，诱导公式，三角形面积公式等等公式，驾驭正弦定理、余弦定理是解题关键．22.定义函数，其中为自变量，为常数．（Ⅰ）若函数在区间上的最小值为，求的值；（Ⅱ）集合，，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）令，设，然后分、、三种状况探讨，分析函数在区间上的单调性，求得函数在区间上的最小值，结合已知条件可求得实数的值；（Ⅱ）计算得出，由得出，换元，求出的取值范围为，将方程变形为，依据题意可知，关于的方程在上有解，求得函数在区间上的值域，可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为，令，则．①若，即，则函数在上为增函数，，冲突；②若，即，则函数在上为减函数，，解得，冲突；③若